PR
d^{a +ftQ)
-/pN-f-/;p'N'+-/Mp,
Vp sin « 1* -t- P'/»' co^a
t- —j- ;o,9bsma -1-0,4 cosa).
(0,96 sina — o,4cosff).
APPLlQUiB AUX MACHINES. SSg
valeurs dans lesquelles cosa devra toujours êtreipris abstraction faite du signe, mais non pas sina.
Lorsque P représente la somme de plusieurs puissances égales et symétriquement distribuées autour de l'axe AÂ% ce qui arrive dans le cabestan manœuvré par des hommes, les composantes de ces puissances qui agissent sur les tourillons s'entre-détruisent réciproquement, et Ton a simplement alors
d'où l'on tire immédiatement la valeur de Q.
Enfin, dans le cas où P serait quelconque, mais// =/•, p = p, réquation d'équilibre deviendrait
PR ^ Qr+ ^'^(^^^^Q^ r-i-/p [0,960 ~ 0,96? sina h- 0,4 ^-^^^ P cosa] ^ i/M p,
et donnerait, pour la valeur de P,
p ^ Qr -^ 1 rf»- (g -^ feQ) + o, 96/.PQ -f- \fMp^ R -h/,p [0,96 sina — 0,4 7 cosa]
formule applicable à toutes les situations des barres du manège, pourvu qu'en attribuant à sina le signe qui lui convient on ne prenne que les valeurs absolues de cosa.
Des treuils on arbres tonmants conduits par des cordes
et conrroies sans fin.
61. Équations et données fondamentales de la question. — Pour offrir un exemple de la manière de calculer les résistances qui proviennent de la tension et de la roideur des cordes dans un pareil système, nous considérerons les deux arbres de roues A et A' {Jig» 88) horizontaux, parallèles et qui se communiquent le mouvement au moyen d'une corde sans fin BB'D'D, passant sur deux tambours de rayons différents R et R'tfNous supposerons que le treuil A soit sollicité par une résistance verticale Q, agissant à la circonférence d'une roue de rayon r, et qui doit être ici censée comprendre toutes les
COURS BB MÉGANIQUB
résistances passives, telles que roideurde cordes, etc., qui se développent en son point d'application. La difficulté se réduit évidemment à déterminer les tensions séparées des deux
Fig. 88.
branches BB% DD' de la corde sans fin, tensions dont la différence exprime la valeur de la puissance qui doit vaincre à la fois la résistance active Q, la roideur de la corde en son point d'enroulement D, et les frottements sur les tourillons A, qui naissent tant du poids et de la charge Q du treuil que de la résultante des tensions dont il s'agit. Nommant
T la tension qui agit, du côté de la puissance, avec le rayon R;
T' celle qui agit, du côté de la résistance, avec le même rayon;
9 l'angle formé par ces tensions avec l'horizontale AÂ';
p le rayon des tourillons de l'arbre A;
f fy la valeur de r ^^ qui leur correspond ;
M le poids du treuil et de son équipage, censé agir sur l'axe;
— ■ r; la roideur due a la tension T';
aR
observant d'ailleurs qu'ici les composantes horizontales et verticales des forces sur les tourillons agissent pour les presser tous deux dans le même sens, on pourra (53) les supposer toutes transportées en un même point de l'axe, de sorte qu'on aiira, pour calculer T et T',
(T~r)R = Qr-r-
R-H/pN,
APPLIQUÊB AUX MAGHIIIBS. 34 1
équation dans laquelle on prendra
N = v/[M 4- Q — (T — T') sinçp 4- (T -h T')' cos»cp = 0,96 [M -f- Q — (T — T') sincp] -f- o,4(T -f- T') cos<p,
si la somme des composantes verticales surpasse celle des composantes horizontales, ainsi qu'il arrive dans presque toutes les applications, et si, du reste, les forces Q, T et T' agissent dans l'intervalle même qui sépare les tourillons; lorsque cette dernière circonstance n'a pas lieu, il faut décomposer séparément chacune de ces forces sur les appuis, et opérer comme on la fait (60) à l'occasion du cabestan, ou dans la Note du n"* 54. L'équation ci-dessus ne suffisant pas pour déterminer T et T', on remarquera que la corde ou courroie sans fin, qui conduit les tambours, possède une tension naturelle ou propre, indépendante de l'action des forces appliquées aux deux roues, et dont l'intensité dépend uniquement de la volonté du constructeur; c'est celle qui a lieu dans l'instant où le système est au repos et avant que la puissance et les résistances soient mises en action. Si cette tension primitive, égale pour les deux branches et que nous désignerons par Ti, était connue, il serait facile de déterminer les valeurs de T et de T', au moyen de l'équation ci-dessus; car, dès que la puissance commence à agir pour entraîner la résistance Q, la tension augmente, dans la branche supérieure BB', précisément de quantités égales à celles dont elle diminue dans l'autre branche DD^ et cela parce que les allongements et les raccourcissements de ces deux branches, supposées déjà fortement tendues en vertu de T,, doivent eux-mêmes être égaux, les distances BB' et DD' conservant des grandeurs invariables. On a donc, pour une position quelconque du système, dans laquelle la tension de BB' serait devenue T et celle de DD', T',
(*) Relation entre les tensions des deux brins d'une courroie, — La relation T -4-T'= 2Tj est due à Poncelet; elle est d'une eiactituda très-suffisante pour les applications et se recommande par sa simplicité.
Si l'on Teut établir la relation rigoureuse, Il faut exprimer que, quel que soit
34^ COU«S BB MÉCA^NIQUB
relation qui, combinée avec l'équation d'équilibre ci-dessus, donnera immédiatement T etT' en fonction de T. et de Q.
62. Tension propre de la courroie. — La tension T,, primitivement donnée à la corde, est nécessaire pour empêcher cette corde de glisser (16), sous l'action de la résistance Q, dans les positions les plus défavorables des tambours, c'està-dire dans celles où T — T' doit avoir le maximum de sa valeur. En effet, considérant le système dans cette position, qui est à déterminer pour chaque cas où l'intensité des forces serait susceptible de varier, on aura, entre T, T' et Ti, les mêmes relations que ci-dessus, et de plus, pour que le glissement n'ait pas lieu,
relation dans laquelle e,/, S et R ont les signiQcations indi-
l*état des tensions aux divers points, la longueur naturelle de la courroie qui répond à la longueur effecti?e résultant du tracé reste constante. En partant de la loi de répartition des tensions sur les poulies indiquée dans la Note du n^ 16, et désignant par D la distance des deux axes, par R et R' les rayons des deux poulies, par m et m' = 3 tt — m les angles qui correspondent aux arcs embrasses par la courroie, si Ton exprime que la somme des diverses longueurs primitives qui répondent aux brins rectilignes, aux parties enroulées sans changement de tension et aux parties qui glissent sur les poulies est constante et égale à la longueur naturelle du parcours supposé à la tension uniforme T, , on trouve
p^R^^-ijogi;) D-^R-(m-^jlogj;) ^^ /Ti-^aT'X
i-+-aT "*" i-+-aT' "^ / '°^ VT' i -^- aT /
3D-+-mR-f-m'R'
Dans le cas où la distance des deux arbres est très-grande par rapport aux arcs embrassés, cette relation peut être réduite à
I f-ai "^ i-+-ar i-r-aT,*
d'où Ton tire
i-haP r — T,
i-f- aT" T, — t' Le premier membre est le coefficient de ralentissement; il est égal à une
IFPLlQUtK AUX HlCHiniB. 343
quées dans le n° 16, et qui servira, conjointement avec les deux premières, à déterminer la plus petite valeur qu'il est nécessaire de donnera Ti, pour empêcher le glissement d'avoir lieu, valeur qu'il faudra augmenter de quelque chose, par exemple de — ou ~, selon les 'cas, pour parer à l'incoavénieot des secousses et accidents quelconques qui peuvent augmenter momestanément les résistances ou détendre U courroie, la corde conductrice.
Cette dernière circonstance se présente ordinairement pour les lanières en cuir lors des temps humides, et pour les cordes de chanvre, lors des sécheresses, mais elle arrive surtout dans les premiers jours qui suivent leur installation sur les poulies et tambours ('); aussi les personnes chargées de la direction des machines de cette espèce se voient-elles obligées de retendre fréquemment ces cordes ou courroies, par les moyens
rnction A dont la valeur resie comprise, dans lus conditions pratique! d'inatallation, entre 0,98 et 1 (Note du n" 15 Jj l'équation précédente derlent donc
dans laquelle il faut donnera i la valeur qiéciile k chaque Ca*. Pour il = 1, ou retrouve lu formule de Poneelet; on toit que celle-ci est d'autant plus exacte que la difTûrcnce des tensions est plu»i[aible.
La courroie peut être censée divisée en deux parties, l'une a In tension oiOTcnne T', l'autre 'a la tension moyenne T et telles que la somme de leurs longueurs naturelle* l et '' soit égale à la longueur naturelle tolalei on a ainsi la re-
qui, combinée ivec l'équation (1) donne I
telles que A puisse être considéré comme constant, I et t' le seront également,
pendant tout le mouTement.
Cette propriété permet d'établir les équations do mouvement des deux poulias, en tensnt compte des déformations élastiques delà courroie; cesëquations sont celles de la Note du n" 46, Section II, dans lesquelles A doit être remplacé par Ik (Compta readui de l'Jeadéni» Jet SeUncti, 3 mars 1S73). (K.)
(' ) Pour éviter ce* ineonrénienti qui sont fort* gtnant, lors de la première mise en marcbe d'une usine, le mieux est de tendre le* coarrolM, aiani de les mettre en place, a une charge supArlonra à etMm q>'dlM «ttront k supporter pendant le foncUonnemcul, el de les n pendant plusieurs jours. Voir, à ce sujet, Vtntra irielle, î* édition, qui contient dea ri les allongements des dlniwi eipic«E de rourroiïs a
: les maintenir ssn Mtte ta^j^^^^H >i«s Ol^^^^^^^^^^^^^H
344 COURS DE MÉGINIQUB
qui ont été Indiqués dans la précédente Section, et dont les meilleurs, sans contredit, consistent dans les poulies ou rouleaux de pression,qul permettent de graduer à volonté la tension jusqu'au point où il n*y a plus de glissement. Mais le plus souvent, et pour parer aux accidents de toute espèce, on •donne aux courroies un excès de tension tel, que les frottements qui en résultent §ur les tourillons des arbres enlèvent à ce mode de communiquer le mouvement une partie des avantages qui peuvent y être attachés; d'ailleurs ce cas est surtout celui des machines à actions ou à mouvements alternatifs, et qui sont dépourvues d'un volant capable de maintenir la constance de la vitesse des tambours qui portent leç courroies.
63. Meulière de calculer la tension primitive, dans les différents cas (*). — Dans le cas d'une machine toute construite et marchant uniformément avec courroies et poulies de tension, on pourra se servir des relations du n" 57, pour calculer directement les efforts éprouvés par les courroies, toutes les fois que la pression de la poulie sera donnée ou déiermînable a priori, car cet effort est, dans tous les cas, égal et directement contraire à la résultante des tensions correspondantes. Mais, s'il n'existe pas de poulie de tension, il faudra recourir
( * ) Détermination des dimensions des courroies et des câbles. — Lorsqu'il s'agit d'établir une transmission de mouvement, on détermine par une étude préalable le nombre de chevaux que chaque arbre doit transmettre en moyenne, en tenant compte des résistances passives, suivant les règles exposées dans le texte.
Soit N le travail en chevaux qui doit être transmis par une courroie, ou par un câble, monté sur deux poulies de rayons R et R' faisant respectivement m et m' tours par minute; on a R m = R'm'.
L*eflbrt moyen P est donné par la relation
Pour qu'il n'y ait glissement total sur aucune des deux poulies, il faut que l'on ait
Il L^
T<T'eR et 1 <T e R' .
On déterminera, dans chaque cas, la plus petite des deux valeurs e R et e R' ,
à Texpérience pour déterminer T, : par exemple, ayant ôté au treuil A' {fig. 88) toute liberté de se mouvoir, supprimé Q ainsi que l'équipage par lequel cette force agit, on appliquera à l'extrémité d'un levier horizontal, suffisamment long et solidement lié à la roue A, un contre-poids^ justement capable de faire glisser le tambour sous la courroie, dans lé sens contraire à son mouvement naturel; nommant Qt ce contre-poids, n son bras de levier et toujours T, T' les tensions correspondantes des branches BB' et DD', on aura évidemment (61 et 62)
Q.r.=i(T-r)R-^/.po,96[M-f-Q.-(T-T')sin(p]
-f-/.po,4(T-f-r)cos9,
T = eRT', T4-T'=2T,.
Pour tirer de ces équations la valeur de Tt, on posera
T-+-T'=r(i4-^VT'=iKT', T~T'=(e^i)T'=K'T'; substituant dans la première des équations dont il s'agit, elle
que nous désignerons par y. On se servira à cet effet des tables de coefflcients de frottement déterminés par M. Morin; en Toici quelques chiffres:
Courroies ordinaires sur poulies en fonte /= o, 28
» humides » /= o,38
» ordinaires sur tambours en bois /= 0,^7
» neuves » ... /=o,5a(
Cordes de chanvre • /=o,5o
On posera
T = nT'y,
«.étant une fraction d'autant plus petite que le travail à transmettre est plus inégvlier, et que l'on doit supposer égale au plus à 0,^. D'un autre côté, on a taiiktioli
On trouve ainsi, pour la plus forte des deux tensions de la courroie,
La section à donner à la courroie ou au cld>le pour supporter cette tension
346 COURS DE HfiCANIQUB
donnera immédiatement T' et, par suite,
i.-,ii-f-i ;-,ivi -:^^K'K-/.p(o,96K'sin9-o,4Kcos(p)*
Généralement on n'aura aucun moyen direct d'apprécier la tension propre Tt des courroies sans On, et alors il conviendra d'opérer comme il a été prescrit ci-dessus (61 et 62), pour en calculer au moins approximativement la valeur. Posant encore ici
(T-4-r)=: (i-r-eVT'mKT', T-r=(e»^-i)r=rK'r,
mettant ces valeurs de T -4- T' et de T — T' dans les équations du n^ 61, on en déduira d'abord T, puis
T - -K Qr-^iflrfi--+-o,96/.p(M + Q)
K'R— i*6-4-/,p(o,96K'sin9 — o,4Kcos9)
dont, conformément à ce qui a été exposé au n'' 62, la valeur devra être prise pour la position la plus défavorable du sys-
se déterminera à l'aide des coefficients de résistance dont on trouvera des tables dans V Introduction à la Mécanique industrielle ; ordinairement on fait porter aux courroies en cuir j de kilogramme par millimètre carré de section; mais, quand le travail est bien régulier, on peut aller au double de cette charge. L'épaisseur ordinaire des courroies en cuir est de 4™™i^; il est rare qu'elle atteigne 6 millimétrés; d'un autre côté, leur largeur ne peut guère dépasser o^'fJo. On est donc souvent conduit, soit à augmenter les vitesses des courroies afin de diminuer la tension, soit à se servir de plusieurs courroies parallèles, ce qui, dans certains cas, nuit à la régularité de la transmission, soit enfin à doubler les courroies; ce dernier procédé n'est pas sans inconvénient à cause de l'inégale répartition des tensions dans une même section et de la roideur que présente une courroie de grande épaisseur.
Influence de la longueur des courroies sur le fonctionnement» — On a établi certaines régies pratiques pour déterminer les limites entre lesquelles il c<mTl<Mlt de maintenir l'écarlement des poulies, et par suite les longueurs de couiro^fl. L'expérience démontre en efiet que, lorsqu'un outil est trop éloigné delà trftUi* mission qui lui donne le mouvement à l'aide d'une courroie, son fonctionnement devient irrégulier, par suite des grandes oscillations delà vitesse; lorsque, au contraire, il est trop rapproché, le mouvement est dur, saccadé, la courroie glisse et souvent tombe ou se rompt. Ces derniers faits, dont il n'a pas été tenu compte dans l'étude générale de la régularisation du mouvement, dépendent surtout du degré de brusquerie avec lequel se font les variations de tension de la
APPLIQUÉE AUX MAGHIIfBS. 34?
tème, répondant ici au maximum de Qr -h o, 96 /,pQ, ei, de plus, être augmentée de 71^ ou 7, selon que le mouvement de la machine sera plus ou moins régulier.
64. Solution définitive de la question. — Ayant obtenu, par l'un ou l'autre des procédés qui viennent d'être exposés, la valeur vraie ou approchée de T,, on procédera au calcul des tensions T et T', relatives à une position quelconque et donnée du système, en éliminant successivement ces ten* sions, entre l'équation d'équilibre du n"* 61 et la relation
Substituant» par exemple, la valeur aT, — T' de T dans l'équation dont il s'agit, on en tirera
T, [R -y; 0(0,96 sm<p-o,4 cos^)] ^^.Jjl^ v __ ^
R-ho,96/;p8inf -h — -
courroie, degré qui est mesuré par la valeur de -j- (Note du n<>46, Section II).
Il existe donc, pour chaque cas, une limite d de Tamplitude des oscillations
de la vitesse et une limite t du maximum de --r- qu'il convient de ne pas dépasser.
En général, la transmission principale d'une usine fait marcher un grand nombre de machines-outils dont chacune ne consomme qu'une petite partie du travail total transrois; dans ce cas, les variations de la résistance d'un outil en particulier ne peuvent avoir une influence immédiate sensible sur la vitesse de l'arbre moteur, en sorte que, si le mouvement de celui-ci est convenablement régularisé, on peut supposer qu'il reste uniforme pendant toute la période considérée de perturbation de l'outili Dans cette hypothèse, en désignant par
XI la vitesse angulaire constante de l'arbre moteur; ft» la vitesse angulaire variable de l'arbre de l'outil ; Q la tension normale du brin menant;
T cette tension à un instant quelconque, sous l'action d'une variation q de la résistance,
on trouve, d'après les Notes du n^ 46, Section II, et du n» 61, Section 111, dont les autres notations sont conservées,
T = Q -t- y ( I — cos ■ 1 > rft»s= Rû — y i/— sin
^\ ^Um) V'"
yjlftm Ces équations rendent compte des divers faits observés dans la pratique et
348 COURS BB MÉGàNIQUB
* et, par suite,
fw. w^ r , ^ • , X .1.. Il f^^^ /.y M -»- Q Or
T.[R-+-/,p(o,96sin«p-+-o,4cos^)-+-jrf«*q-4--7- -+-o,96/,p "^ •
R -H 0,96/, p siny -+- -^-
Comme le terme (T — T')sin(p, qui entre dans l'expression de N (61), est généralement fort petit à regard des autres, on pourra, sans inconvénient pour l'exactitude et pour la simplification des calculs, le remplacer par sa valeur approchée
Or
^r^ sïïïOy relative à l'hypothèse où il n'existe pas de résistances
MX
passives, ce qui donnera sur-le-champ
N z=z 0,96 ^M -f- Q — ^ Qsincp j -f- o,8T,coscp
et permettra ainsi de calculer, a priori, la valeur du terme /Np qui, dans l'équation de l'équilibre, représente le moment
montrent Tinfluence de la longueur et de rallongement de la courroie sur les variations de la vitesse et de la tension. D'après ce qui a été dit ci-dessus, pour que la transmission s'effectue convenablement, on doit avoir
^lacm
<T et q\—<d.
Ces conditions peuvent toujours être remplies, quel que soit /a, si m a une valeur suffisante; on voit de plus que, si l'on fait /a = -9 la valeur qu'il est
nécessaire de donner à m pour satisfaire à la fois aux deux conditions est un minimum. 11 suit de là que, quand la section de la courroie est donnée, il existe une valeur particulière de / qui, pour assurer un mode de fonctionnement défini, exige un minimum d'énergie du volant. 11 en résulte encore que, lorsque la régularité voulue a été assurée à une machine«outil, à l'aide d'un volant convenable, pour une longueur de courroie déterminée, cette régularité n'existe plus au même degré, si l'on change la valeur de l'allongement total de la courroie par unité de charge; il faut donc, pour rester dans les mêmes conditions, si l'on augmente la distance de la machine à la transmission, augmenter en même temps la section ou la roideur de la courroie de telle manière que la, reste le même; il faudrait la diminuer si l'on voulait rapprocher les arbres; mais, comme on est limité par la néoeasité de conserver à la courroie une résistance suffisante, on sera toujours exposé aux inconvénients d'un mouvement saccadé, dès que la distance des arbres aéra trop faible. (K.)
APPLIQUÉS AUX MAGHIKBS. 349
du frottement développé sur les tourillons de l'arbre À, que Ton considère.
Une fois ces calculs terminés, tout ce qui concerne le treuil A\ auquel est appliquée directement la puissance P, ne présentera absolument aucune difficulté; car on aura, pour évaluer P, une équation de la forme
PR'={T T')R'-H'iîil±^ ^ ' an
-+-/, p v/[M'-f-(T — T')sin«p4-Pc05aP-f-[(T-+-T')cos^-P8ina]',
dans laquelle tout sera connu, sauf P, que Ton en déduira par les méthodes déjà souvent rappelées.
Dans les applications de ces différentes solutions à chaque cas particulier, on pourra d'ailleurs remarquer : i"* que, si les cordons BB' et DD' {Jig. 88) sont parallèles, ou que R = R', il n'y aura aucun changement à opérer dans les résultats à regard des coefflcients numériques 0^96 et 0,4» de sorte qu'il suffira d'y supposer simplement sinf = 0 et cosf = 1; et 2^ que, si ces cordons forment entre eux un angle quelconque, on aura, pour calculer directement siuf et cosf, les relations
BB'r=:AA'cos9, A'B'-AB=rR'-R=:AA'sin9,
dans lesquelles BB' et AA' sont donnés a priori.
Des palans on ponlies monflées.
65. Palans à poulies égales et à cordons sensiblement parailèles. — Les considérations qui précèdent mettent en état de tenir compte du frottement et de la roideur des cordes dans toutes les machines composées, telles que les mou/les, les chèvres^ les grues, etc., où il entre des poulies et tambours mis en actions par ces cordes; nous allons en présenter quelques exemples particuliers.
Considérons d'abord le palan [Jig. 89}, composé de deux moufles ou systèmes de poulies égales, montées sur deux axes séparés, «soutenus par des chapes, dont l'une est attachée à un point fixe et l'autre supporte une charge ou effort quel-
Fig. 89.
35o COOKS DE MÉGUnQOB
conque. Mous supposerons parallèles les dlETérents cordant ou brios, et nous négligerons leur poids aussi bien que celui de ces poulies, qui, dans les cas les plus ordinaires, exercent assez peu d'influence.
D'après ces hypothèses et en conservant les mêmes dénominations qu'aux n" 57 et 58, on aura, pour exprimer les conditions de l'équilibre d'une poulie quelconque, appartenant k l'une ou à l'autre chape, l'équation
d'où
: Tr M- id>'{a -+- ftT') -t-/'p(T 4- r ),
rormule dans laquelle on Tera, pour abréger.
r-fp '
ce qui donne, pour une poulie quelconque, l'équation
T = « -H pT', «
dans laquelle a et ^ sont des consuntes. Cela posé, nommons
Q la charge que supporte la chape inférieure du palan, y compris son équipage;
fj, U, /„..., (,, (»+., les tensions des cordons successifs, dont le premier est supposé attaché à la chape supérieure ou fixe, et dont le dernier est censé sollicité directement par la puissance et appartenir à la dernière des poulies supérieures;
on aura, en observant que la charge Q se trouve à la fois soutenue par tous les cordons, celui-ci excepté.
ÀPPLIQUÉB AUX MàCHIHES. 35 1
L'équation précédente donne d'ailleurs, pour les poulieis successives,
fi— 6)
/^=a-4-p/,= a-+-ap-^P'/, = a(i-t-P)-f-P'/,-f- ^ a ii^^ H- p'/„
et par suite
ou
d'où
Donc enfln on aura, pour calculer /„ et /„4.„ les formules
dont la première servira dans le cas où le cordon sur lequel agit la puissance aboutira directement à une poulie de la chape mobile.
La même analyse serait évidemment applicable à toute combinaison de poulies égales, dont les cordons ou brins for^ meraient consécutivement les mêmes angles, soit entre eux, soit avec la verticale, ce qui se présente quelquefois dans les machines destinées à soulever des fardeaux. Il est évident, en effet, d'après les n"** 57 et 58, que l'on aura sensiblement, pour
COURS DB MÉCàNIQUB
les poulies mobiles comme pour les poulies (ixes, et en conservant les notations du premier de ces numéros,
Tr=TV-+-|rf«'(a-+-6r)-h/'pv^(T-+-TVcos'<p-4-(T — T7sin»<p, d'où l'on tire, avec un degré d'approximation très-suffisant,
-__ [r -^ ^d^b -h f p{o ycfi cos(^ — o y^ sïnQ)]T -h jd^a
r— /'p(o,96cos9 -h o,4sincp)
expression linéaire et où il n'y a de variables, par hypothèse, que T et T'.
66. application numérique au palan des pontonniers. — Le palan employé au service des équipages de
F»6- 90- ponts {Jig. 90) est composé de deux systèmes de quatre poulies égales en cuivre, dont le rayon commun r est égal à oP^oSgS, mesuré à partir du milieu de la corde qui, elle-même, a pour diamètre d=:o'^yOi8, Ces poulies sont percées d'un œil dont le rayon p = o'^yOïoS; elles tournent sans enduit autour d'un boulon en fer, de sorte qu'on a ici, d'après les expériences de Coulomb,
et par suite
d'où l'on tire
rH-/'p=: o",o6o9, r — /'p==o°>,o577.
Le tableau du n"* 12 donne, pour une corde de diamètre d' = o«»,oa, enroulée sur un tambour de I mètre de diamètre,
tJ l'exposant /x étant ici égal à i",75 environ, ce qui
convient aux cordes presque neuves. Supposant
donc que celle de notre palan soit dans le même état, on
d'^a = o^«,2a246, d'^b = o^«,oo974.
aura, d'après le n° 12, d^a = d'^a (^,)'-= 0,22246 (^^ '"':= o, 18993 = o, 19,
d^h = d'v^b (4)^= 0*00974 (— ) =o,oo83i6=r o,oo83, ce qui donne
a = 7T-^ i>o4o, p= '—Tv^ -=1,1267.
Substituant ces valeurs dans la formule
en observant qu'ici n — 8 et, par suite,
il viendra
s'il n'y avait pas de résistances passives, on aurait évidemment
Ces résistances exigent donc, de la part de la puissance, un surcroît d'eflFort mesuré par
et dont le rapport à la charge Q augmente indéfiniment à mesure que cette charge diminue, circonstance qui tient à la partie constante d^a de la roideur des cordages.
Supposant, par exemple, que le fardeau à soulever soit une pièce de 24 du poids de 2800 kilogrammes, la puissance devra développer un effort d'environ 585^«,a9, au lieu de
o, 125Q = 35o kilogrammes
seulement qu'elle aurait à exercer s'il n'y avait pas de résistances nuisibles : ces résistances absorbent donc à elles seules
coims DE iitCAinQDt
585,29" revient au même, l'effet utile est réduit aux r
de l'effort ou du travail moteur, ou, ce qui 35o 585,29"
de la quantité de travail dépensé, l'un et l'autre étanl ici évidemment proportionnels aux efforts qui leur correspondent et rapportés au même point d'application, au même chemin parcouru.
G7. Moajîettei à pouliei inégales et à cordons parallèles. — La^g. 91 représente un système de moufles
FiE-91. souvent employé, dans les constructions, pour élever les matériaux au sommet des édifices, * et dans lequel les cordons sont encore sensiblement parallèles, mais dont les poulies sont Iné^les pour chaque moufle et montées sur ^ des axes différents, unis par la même chape; les valeurs de a et de ^ changeant ainsi d'une poulie à la suivante, il devient indispensable de calculer de proche en proche les tensions /„ '],■■■, '., ^+1 qui apparUenneniaux poulies consécutives, en fonction de la tension /, du premier cordon , de sorte que l'on a la suite d'équations
hP,^.
desquelles on tirera la valeur de l„ puis ensuite celle de t. et de (,4.,, en posant encore l'équaiion
î, + |3, + ...-hP^.)(,.
Ces calculs se simpliÛent dans la plupart des cas, attendu que les poulies, symétriquement placées dans les deux chapes, reçoivent ordinairement des rayons égaux aussi bien que leurs tourillons. "'.
APPUQUtl àVX MlCHUin. 3S5
68. Calcul de la chèvre d'artillerie. — Prenam pour exemple la chèvre d'arlillerie {Jig. 9:1} et conservaat pour les pou-
lies mouflées les déaomiDations du □" 65, 00 observera que le cordon de la putssaoce, dont la tension est Wi, o'esl point ici parallèle aux autres, attendu qu'il s'enroule sur letreuU de la chèvre, de sorte qu'il faudra considérer à part l'équilibre qui, sur la dernière poulie supérieure, existe entre t,„ et /.. Cela posé, on aura d'abord, pour calculer la tension /. (6S),
puis (57), pour calculer celle (.h-, du dernier cordon qai fait l'angle « avec la verticale,
/,+,r=/,r-i '- 1- / p \'(''. + '.+. costp )' 4- /'„+, sin' ç,
équation qui, en posant {voir la Note I à la fin de celte Section)
^(/,H- („+, cosf)'-t- l'sln'ep = o,986{(, + /„+, cos If) -1-0,233/,+, sinip,
valeur exacte il -,4- pi'ès> ^^i^"*'*' <iue t,-t-t,^,cosf surpasse au
356 COURS DB ■ÉGÀIIIQUB
moins le doubIFde t^^t sincp, donne
^ ^ /, (r -^ 1 d^b + 0,986/^p) -h I d^a *^' r-—/'p (0,9860059 -f- o,233sin(p)
tnjr-^^d^b-h 0,986/^p ) -f- I cft^g
attendu encore que/2sin(p étant ici toujours plus petit que coscp, la quantité 0,9860059 + o, 233 sin 9, qui entre au dénominateur, est à Yï près la valeur exacte de
v/cos*9 -f-sin'9 =r i.
La tension /.^.i du cordon qui sollicite le treuil de la chèvre étant ainsi connue, on procédera comme à l'ordinaire au calcul de la puissance nécessaire à appliquera ce treuil, pour vaincre toutes les résistances réunies; mais il se présente ici une difGculté résultant de ce que les hommes qui opèrent la manœuvre de la chèvre n'agissent ni avec le même effort, ni sous le même angle, ni au même point des leviers, dont l'inclinaison varie d'ailleurs k chaque instant. C'est nécessairement le cas de se borner h calculer, d'une manière approximative, la valeur moyenne de l'effort ou du travail qu'ils doivent développer sur les leviers, à chaque révolution ou dans un temps donné, pour vaincre toutes les résistances réunies, et de s'assurer s'ils sont réellement capables de cet effort ou de ce travail.
A cet effet, on remarquera que l'action des bommes sur la machine peut toujours être censée décomposée en deux autres, dont l'une, perpendiculaire aux leviers, produit seule le mouvement, et dont l'autre, dirigée suivant ces mêmes leviers, sert uniquement à presser les tourillons du treuil sur les coussinets, et peut, sans erreur sensible, être négligée, puisqu'elle n'influe que sur le frottement assez petit de ce treuil. Nommant donc
P l'effort perpendiculaire au levier; oc l'angle que sa direction forme avec la verticale; R sa distance moyenne à l'axe, qu'on peut supposer égale aux f ou aux I environ de la longueur des leviers;
on aura, pour déterminer P, en faisant attention qu*ici les composantes de /«+i» qui agissent sur les tourillons, l'emportent nécessairement sur celles qui proviennent de M et de P,
■+-/! P' V('«+i COS9 — M — P cosa)' -4- (^+1 sin 9 — Psin a)%
équation dans laquelle ^^ // , p' et M ont les significations déjà souvent indiquées, et qu'on résoudra d'ailleurs, à la manière ordinaire, en y remplaçant, par exemple, le radical par sa valeur approchée
(0,96 cos 9 -f- 0,4 sin cp) /«+,-— o,96M — (0,96 cosa -h 0,4 sin a) P = /«+, — o,96M — (0,96 cosa -h 0,4 sina)P,
puisqu'ici, l'angle cp étant au-dessous de 4^ degrés, on a encore, à Yî près,
0,96 COS9 -H 0,4 sino = I.
Mais comme l'angle a est susceptible de varier de zéro à 90 degrés environ, et que nous avons négligé le poids des leviers et les composantes de l'effort qu'exercent les hommes dans le sens de leur direction, on pourra également substituer, à l'expression 0,96 cosa + o,4sina, sa plus grande valeur i, qui répond à l'angle pour lequel 0,4 cosa = 0,96 sin a. On trouvera d'après cela, pour l'effort moyen,
p/.^.(r-+irfi-6+/;p-)-f-^rfra-o,96/:p-M
De la résistance des chaînes (').
69. Calcul du frottement des chaînes plates, — Nous avons vu qu'au lieu de cordes ou de courroies on emploie quelquefois des chaînes pour communiquer le mouvement. Malheureusement on n'a point encore fait d'expériences spéciales pour déterminer leur résistance absolue. Celle qui provient
(') Ce Chapitre ne figure que dansTcdition de 1826. (K.)
des courroies ne parait pas toutefois être considérable, ainsi que nous l'avons expliqué (15), attendu leur peu d'épaisseur et leur flexibilité naturelle.
Quant aux chaînes, elles occasionnent des résistances qu'il n'est pas toujours permis de négliger : celles qu'on regarde ordinairement comme les plus avantageuses sont les chaînes plates à articulations, dont chaque chaînon est lié par deux boulonnets au chaînon qui précède ou qui suit {voir^ pour la forme de la chaîne, la^îg. 4^» page 2o3).
Considérant une telle chaîne passant sur une poulie ou un tambour mobile sur son axe A, et sollicitée à l'une de ses extrémités par une résistance Q et à l'autre par une puis^ sance P destinée à mettre le système en équilibre, on remarquera qu'en imprimant un mouvement infiniment petit à la poulie, dans le sens de P» l'angle décrit par les branches extérieures des chaînes autour des boulons des chaînons déjà appuyés sur la poulie est égal à l'angle décrit par la poulie elle-même autour de son centre; mais, en nommant ds le petit arc parcouru par le point des boulonnets où s'exerce le frottement, €b sera la vitesse virtuelle de ce frottement mesuré par
/ j ^^ Q oorfQ pour le tourillon du chaînon qui vient sur
la poulie, et par/'P pour le tourillon de celui qui la quitte, en sorte que f'Qds^f^ds seront les moments virtuels respectifs de ces frottements. Ceux des forces P et Q ellesmêmes étant PrfS, QrfS, en nommant rfS l'arc élémentaire décrit par le centre des boulonnets autour de A, on aura l'équation
Pf/S=.QrfS-f-/'{P-hQ)rf5,
mais les arcs ds^ dS, qui mesurent des angles au centre égaux d'après ce qui précède, sont proportionnels à leurs rayons, que nous nommerons respectivement r et R, et qui sont évidemment ici le rayon du trou du boulon et .la distance du centre A de la poulie au point milieu cp de la chaîne; donc réquation deviendra
PR = QR-+^/(P-f-Q)r;
AFPLIQUfiE AUX MACHINES. 359
P-0l±/:> et P-Q , ^f' 0
c'est-à-dire que, pour lenîr compte de la résistance de la chaîne dans l'équation d'équilibre de la machine où entre la
poulie, il faudra augmenter la tension Q de p^ "^ ^ Q, abso-
lument de la même manière qu'on l'a fait pour la roideur des cordes. En négligeant d'ailleurs le terme /'r vis-à-vis* de R, on retombera sur l'expression
^frQ ^f rO
donnée par Coulomb dans sa Théorie des machines simples.
On remarquera que les chaînes plates et à articulations dont il s'agit ici peuvent, lorsqu'elles ne sont pas rigoureusement exécutées, donner Heu k un autre frottement résultant de la pression de chaque ehalnon sur la gorge de la poulie à l'instant où l'arrondissement de l'extrémîté {voir Jig. 4^, p. 2o3, pour la forme' de la chaîne], venant à poser sur cette gorge, le chaînon continue à tourner autour de son boulon antérieur jusqu'à ce qu'il se trouye appliqué en entier sur la poulie; ce frottement aurait évidemment lieu pour tous les chaînons dont l'épaisseur serait un peu plus forte que celle des chaînons qui^ les précèdent ou les suivent immédiatement, et il aurait pour bras de levier la demi-épaisseur de la chaîne. Il serait possible de tenir compte de ce nouveau frottement, mais il vaudra mieux chercher à l'éviter par une exécution exacte et régulière des chaînons. Nous ne parlerons pas des chaînes à anneaux tors qui, outre ces inconvénients, ont encore celui d'occasionner deâ ressauts et secousses provenant du renversement des anneaux tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre; on doit les rejeter entièrement. On diminuera d'ailleurs ces inconvénients, ainsi que celui du frottement des boulons et de la variation du bras de levier de la puissance, provenant de ce que les chaînons forment un polygone autour de la poulie, en augmentant convenablement le rayon de cette
36o COURS DB MÉCANIQUE
poulie et diminuant au contraire, le plus possible» la longueur des chaînons.
La disposition suivante des chaînes nous parait être celle qui est la plus avantageuse possible.
70. Disposition de ui plus avantageuse des chaînes sur les poulies ou tambours. — Concevons une chaîne ordinaire {Jig. 93) formée d'anneaux oblongs, plans, d'une petite longueur et perpendiculaires les uns aux autres; on creusera,
Fig. 93.
dans le milieu de la gorge de la poulie ou du tambour, une rainure destinée à recevoir Jes maillons qui se présentent perpendiculairement à cette gorge; les longues branches des autres s*appliqueront à plat sur la gorge de la poulie, sans frotter. On peut voir cette disposition appliquée au modèle du pont-levis à la Dobenheim, qui se trouve au cabinet de l'École d'application; elle est également employée dans des machines en grand, notamment à certains ponts-levis et à la grue de MM. Wilson et Manby à Charenton ; la chaîne s'enroule à plusieurs reprises sur l'arbre en fonte du treuil, qui porte des rainures hélicoïdes pour recevoir les maillons qui se présentent d'équerre : cet arbre forme ainsi une véritable vis à filets carrés.
Il est à remarquer que dans ce système, qui réunit les avantages de la solidité et de la simplicité, le frottement, au point de contact de deux maillons consécutifs, peut, dans certains cas, être réduit à un simple roulement.
APPLIQUÉE AUX llÀGHllfES. 36 1
Pour le démontrer, nous remarquerons qu'il se passe ici exactement la même chose que lorsqu'un tourillon roule dans un palier, ou lorsque l'œil d'une roue roule sur un tourillon, c'est-à-dire que le point de contact m [Jig. 94) des deux chaî-
Fig. g/j.
Va
nons, qui d'abord est en a dans l'axe de l'anneau mobile, se déplace quand cet anneau vient à rouler sur la branche transversale de l'anneau précédent ad, supposé Gxe et déjà placé sur la poulie : or la quantité de ce déplacement est relative à langle formé par le^ axes ri6 et ad de ces chaînons; si donc cet angle, parvenu à sa plus grande valeur, est tel que, pour la position correspondante du point de contact m, le frottement en ce point suffise encore pour empêcher le glissement, ou que la tangente de l'angle hmc, formé par le rayon cm de l'anneau et la direction bm du chaînon suivant, soit plus petite que/, il n'y aura eu que simple roulement ou frottement de la seconde espèce, dont la valeur est tout à fait négligeable à l'égard de l'autre.
On pourrait, d'après cela, rechercher quels sont les rapports à établir entre les dimensions des anneaux et celles de la poulie ^pourquele frottement devînt nul; il nous sufflra de remarr^uer ici que l'arc am, décrit par le point de contact m sur le chaînon, sera d'autant plus petit que l'angle extérieur formé par deux chaînons successifs placés sur la poulie le sera luimême davantage et qu'il y aura plus de différence entre la grosseur du tourillon ou du fer rond qUi forme les anneaux et le rayon cm du cercle qui termine ces mêmes anneaux.
GOCES DB MÉCÀHltîlIB
Manière de Uaair compte du poids dei cordée et courroies
dans les équations d'équilibre.
71. Loi générale des tensions en chaque point d'une corde pesante^ soutenue par des rouleaux ou surfaces quelconques, — Soit abcd. . .g (fig. gS) une corde sollicitée» à ses exirémités, par des forces quelconques et passant sur des poulies
ou rouleaux de renvoi A, B, C mobiles autour de leurs centres. On conçoit que le poids de cette corde influera sur les conditions de Téquilibre : i*" en ce qu'il chargera les points d'appui A, B, C qui la supportent; t,"" en ce qu'il modifiera la tension naturelle en chaque point. Cela posé» nous admettrons que les forces étrangères qui sollicitent la corde soient assez grandes pour que Ton puisse la considérer comme exac» . tement appliquée sur chaque rouleau et comme à peu près" tendue en ligne droite d'un rouleau à l'autre » c'est-à-dire de b en c, de d en e, ce qui a presque toujours lieu dans les applications : par exemple, nous supposerons que l'extrémité inférieure g de la corde supporte un poids Q, et que son extrémité supérieure a soit liée à l'arbre d'un treuil
AFFLIQDÊI AUX MACHIMBS. 363
sollicité par une puissance P, qui met tout le système en équilibre, y compris les résistances passives.
Nommant p le poids du mètre courant de la corde, celui d'un élément quelconque mn = dsy appartenant ou non à la surface des rouleaux, sera pds, et si a désigne l'angle formé parcetélémentavecla verticale, on pourra concevoirpc/^décomposé en deux forces : Tune pds cosa,qui agira dans 1^ sens de la corde pour l'entratner vers l'extrémité la plus basse de mn; l'autre pàssinoif qui agira perpendiculairement à sa direction et servira simplement à modifier la pression sur les appuis A, B» C, de sorte qu'elle sera détruite, soit directement par la résistance qu'ils lui opposent en chaque point des rouleaux, soit indirectement par la rigidité propre de la corde (*), dans les parties libres ou inierposées entre chaque couple de rouleaux.
Considérant d'abord l'ensemble des premières composantes, on remarquera que chacune d'elles /ii/^cosa exprime le poids d'une portion de corde pareille, égale à la projection m'n' de l'élément mn sur la verticale quelconque LH, c'est-à-dire à la hauteur dh de cet élément, et sollicitant la corde dans le sens de la pesanteur; la tension croît donc progressivement, depuis le point le plus bas dé chaque rouleau jusqu'au point le plus élevé de la corde sur ce rouleau ou sur les rouleaux adjacents, et cela de quantités />A proportionnelles à la hauteur h de chaque point au-dessus du point le plus bas dont il s'agit, quantités qui sont ainsi indépendantes de la nature de la courbe formée par la corde ou celle des surfaces qui la supportent. En général, si nous nommons tx la tension, en un point quelconque, dont Ai est la hauteur au-dessus d'un plan horizontal et inférieur donné, t celle qui a lieu à un antre point également quelconque et dont l'élévation, au-dessus de
(*) Pour les parties qni forment chaînettes, le poids /»</i de chaque élément est, comme on sait, égal et de signe contraire ii la résultante des tensions consécutives, et la composante j'c/lfsinflc est détruite par la somme des composantes de ces tensions suivant la normale, ou par la force td$ = r</a, t désignant, comme dans la Note du n® 16, la valeur de la tension au point considéré, et dO la variation de Tangle de contingence, évidemment égole à celle de l'angle «.
364 COUES DE MÉCANIQUE
ce plan, soit A, on aura, eu égard seulement au poids de la corde,
pdh = ti-hp{h — A,),
quantité dont le second terme sera positif ou négatif selon que h sera plus grand ou plus petit que ht.
Ainsi, par exemple, la tension au point le plus élevé du rouleau B, ou le plus bas du rouleau A, ou enfin au point d'attache a de la corde sur ce dernier rouleau, peut être censée composée de deux autres, dont Tune, égale à celle qui aurait lieu en ce même point si la corde était sans pesanteur, et Tautre égale au poids d'une corde pareille ayant pour longueur la différence positive ou négative entre la hauteur de ce même point et celui g qui sert d'attache à Q; ce qui revient à dire notamment que la tension qui^ en a, ferait équilibre au poids seul de la corde, est équivalente au poids en question, et agit pour favoriser la puissance P ou la résistance Q, selon que ce point se trouve situé au-dessous ou au-dessus du point d'attache g.
72. Indication de la marche à suivre dans les divers ccu, pour calculer V influence du poids des cordes.— En particulier, si les deux bouts de la corde se rejoignent exactement, ou si celte corde était sans fin, son poids ne ferait que presser les appuis et n'augmenterait ni ne diminuerait en rien l'action de la puissance, principe évident et dont on pourrait se servir pour établir celui qui précède : le principe des vitesses virtuelles en fournirait une autre démonstration très-simple.
Lorsque l'extrémité g de la corde, au lieu d'être libre ou simplement sollicitée par un poids Q, est solidement attachée à un point fixe, le poids du cordon qui lui correspond se trouve ordinairement .détruit par la résistance de ce point, et alors il faut considérer l'équilibre de la corde à partir du point le plus bas de ce cordon. Ce cas est notamment celui des palans et de la chèvre d'artillerie. Prenant donc, pour chacune des positions du système, la hauteur comprise entre le point inférieur des poulies mobiles et l'extrémité de la corde qui
APPUQUÉB AUX MACHINB8. 365
répond à la puissance, multipliant cette hauteur par le poids de Tunité de longueur de cette corde, on aura la quantité dont il faut augmenter ou diminuer la tension t^i du dernier brin, selon que la moufle mobile se trouvera au-dessous ou au-dessus de l'horizontale du point dont il s'agit.
Quant aux composantes normUespdssinoc, qui contribuent à augmenter les frottements sur les appuis ou tourillons des poulies, on peut presque toujours les négliger vis-à-vis des pressions qui résultent, sur ces mêmes appuis, des tensions que font naître, aux différents points, les forces P et Q appliquées au système. Si d'ailleurs on voulait opérer rigoureusement, il faudrait considérer ce qui se passe d'un cordon au cordon suivant, à partir de celui qui soutient immédiatement le poids Q ou qui est attaché au point fîxe, et déterminer ainsi, de proche en proche, la tension de la corde en ses points de contact sur les diverses poulies et les pressions qui en résultent sur chaque tourillon, ce qui tend k compliquer un peu les calculs et n'offre, du reste, rien de bien difficile, quand les cordons sont à peu près tendus en ligne droite.
Si les cordons des palans sont verticaux, il sera suffisamment exact de supposer les tourillons de chacune des poulies supérieures chargés du poids entier des deux cordons qui aboutissent à cette poulie, ou, ce qui revient au même, on supposera, dans les équations d'équilibre, les tensions, aux points de contact de chacun des cordons avec les poulies supérieures, augmentées du poids de ces mêmes cordons.
Si les cordons, au lieu d'être verticaux, étaient inclinés d'une manière quelconque, les tensions enjeurs extrémités supérieures seraient encore déterminées, au moyen de celles de leurs extrémités les plus basses, d'après le principe du n®71, c'est-à-dire que les premières surpasseraient respectivement les secondes de quantités égales au poids de portions de corde ayant pour longueur la hauteur comprise entre les extrémités de chaque brin; mais on aurait de plus à tenir compte des composantes normales pdssinaili }, qui produisent un surcroît de pression sur les appuis ou tourillons des poulies; cela ne présentera aucune difficulté si les cordons peuvent être censés tendus sensiblement en ligne droite»
OOUtS DE MtGANIQUB
entre leurs points de contact respectifs sur ces poulies, ce qui est le cas le plus ordinaire des applications.
A l'égard des portions de cordons embrassant les gorges de poulies, on pourrait, sans inconvénient, négliger totalement leur poids; mais, si l'on veut en tenir compte, on le supposera réuni k celui de ces poulies, dans le terme qui concerne le frottement des tourillons, et l'on ajoutera soifi moment à celui des autres forces, en observant, d'après le principe du n^^Tl, qu'il a pour valeur le produit du rayon des poulies par le poids d'une portion de corde pareille, égale à la projection de l'arc embrassé et agissant à l'extrémité la plus basse de cet arc.
Frottement de la vis à filets carrés.
73. Expression du moment des résistances par rapport à l'axe de la vis. — Soit [Jig. 96) AB l'axe, supposé vertical.
d'une vis à filets carrés, destinée à soulever un poids Q par l'intermédiaire d'une puissance horizontale P appliquée à l'extrémité du bras de levier R, de sorte que l'écrou ab est ici censé fixe. On peut toujours supposer que la charge Q soit distribuée uniformément sur un certain filet hélicoTde de la vis ou de l'écrou, que nous nommerons JiJet moyen^ et s'y trouve posée comme sur un plan incliné formant, avec l'horizon, un angle égal à celui des plans tangents à ce filet.
APPUQUtB AUX MACUMBS. 367
Nommant donc
r le rayon du cylindre qui contient l'hélice ou le ûlet moyen dont il s'agit;
p la force horizontale, tangente à ce cylindre» qui serait capable de vaincre le poids Q et les frottements qui en résultent sur ia surface du filet moyen ;
h la hauleur du pas de la vis ou de l'écrou ;
TT = 3, 1415926 le rapport de la circonférence au diamètre;
a i*angle d|inclinaison constante du filet moyen à l'horizon;
/le coefficient du frottement pour les substances en contact,
on aura, d*après le n^ 18,
iang« -f-/ ^ h -h tinfr ^ I — /langa 27rr— /A'
dont le moment, par rapport à l'axe de la vis, est
^ tanga -h f ^ A -+- 2 7r/r '^ 1 — ytanga 2nr—fn
C'est ce moment qu'il faudra introduire dans l'équation d'équilibre (n^^'SO et suivants) des forces qui sollicitent la vis ou récrou dans son mouvement de rotation autour de l'axe fixe AB.
La valeur ci-dessus de p peut se mettre sous la forme
' . ^^iH-tang'a ^h -^ A»-h4^''''
p=Qlanga4-/Q jr-^ — =Q h/Q -. — j^-^
r >^ D -^^i— /tanga 2nr -^ nn r {t^tz r — fhy
on voit que la portion de p^ employée seule à vaincre le frottement, a pour expression
^ i-htang'g ^ I— /tanga'
dont la valeur crott progressivement avec tang a, jusqu'à devenir infinie quand tanga = ^9 limite passé laquelle la puissance horizontale p et, par suite, la force P appliquée à l'extrémité du bras de levier ne pourraient plus faire mouvoir la vis en l'élevant le long des filets de l'écrou (19),
368 GO.DES DE ■ÉCàNIQUB
Il sem.blerait, d'après cela, qu*il dût y avoir, en général, de Tavantage à diminuer Tangle d'inclinaison a des hélices; mais on arrivera à une conséquence tout opposée si l'on considère que le rapport
/(ï^-tang'a) 2/
V tanga(i— /langa) sin2a— /(i -*cos2a)
du terme p relatif au frottement à celui qui représente la portion utilisée de la puissance décroît constamment/ depuis la valeur 6 de a, qui le rend infini, jusqu'à la valeur de a répondant à tang2a = ^9 qui le rend un minimum : la même chose
se conclut aussi directement de la comparaison de la quantité de travail utilisée a celle dépensée par p, et dont le rapport est ici évidemment
tanga(i — -/tanga) sin2a— /(i -- cosag) langa -r-/ ~ sin2a -(-/(a -i- cosaa)
sin2a 4-/(1 4- cos'iol)
Ce rapport, dont le maximum répond à tangua — ^» devient
nul pour la valeur de a qui répond à tanga = -» c'est-à-dire
pour la même valeur qui rend infinie l'expression du frottement.
Supposant, par exemple, /— 0,12, ce qui convient au cas où l'écrou serait en cuivre et la vis en fer, les surfaces étant onctueuses; puis tanga = 1^, ce qui se présente souvent, notamment dans les pressoirs à vis, le rapport ci-dessus deviendra 0,249» ainsi le travail dépensé par la puissance pour élever la charge Q serait presque quadruple de celui qui répond à l'effet utile. Si tanga était égal à 7, le même rapport deviendrait o,655 : ces résultats mettent d'ailleurs en évidence l'énorme influence exercée par le frottement des vis et des écrous.
APPLIQUÉB AUX HACHINBS. 869
li. Propriétés et emplois divers des vis. — On conclut aussi de ce qui a été dit (18 et 19), pour le cas du plan incliné, que si tattgaest au-dessus de/, la vis non-seulement ne tendra pas à descendre d'elle-même ou à se desserrer sous l'effort qu'èBe supporte, mais encore exigera, pour être entraînée par la puissance p supposée agir dans le sens contraire de celui qu'elle avait précédemment, un effort mesuré par
^/— tanga ^^ (i -+- langea) ^,
n = Q - — ^ — - — =/Q TT^ — ' — Qtanga.
'^ ^i-f-/langa -^ ^ n-/tanga ^ ^
Ce cas est précisément celui des boulons d'assemblage, qui doivent maintenir l'état de compression-réciproque de certains corps, après que la puissance a exercé son action sur la vis ou récrou. On sait qu'il en est tout autrement des vis de balanciers à découper,à étamper ou à battre la monnaie, et qui portent des filets doubles ou triples afin de pouvoir donnera leurs hélices moyennes une grande inclinaison sur l'axe. Quelquefois d'ailleurs il arrive, même pour les vis où la relation tanga <;/est satisfaite, que les secousses ou vibrations éprouvées par les boulons d'assemblage font desserrer lesécrous; ce qui exige qu'on s'oppose à cet effet en plaçant deux écrous l'un sur l'autre, ou mettant directement obstacle au mouvement de l'écrou simple, par un moyen facile à imaginer.-
75. Frottement latéral de la vis dans le cas où elle est uni" quement guidée par l'écrou, — Les résultats exposés dans le n"* 73 resteraient évidemment les mêmes si la puissance P était immédiatement appliquée à l'écrou; mais, en général, la valeur de cette puissance variera suivant son bras de levier R, et la manière dont lavis et l'écrou seront supportés ou guidés dans leur mouvement. Il se présente, en effet, divers cas à examiner.
Supposant, par exemple, l'écrou ab (fig. 96) complètement fixe, il se peut que la vis, n'ayant pour objet que de soulever un poids qui a la faculté de tourner avec elle, soit uniquement guidée, dans sa course, par l'écrou; alors la puissance P, agissant à une certaine distance de l'axe AB, tendra à faire appuyer la surface extérieure et cylindrique des filets
370 COURS DB HÉGANIQUB
de la vis contre la surface correspondante de l'écrou; il faudra donc décomposer la puissance P en deux autres parallèles, agissant dans les plans qui limitent cet écrou vers le haut et vers le bas^ et qui contiennent les fllets de vis soumis à la pression latérale. 1.
Nommant a ei b les distances du plan dans lequel agit P aux plans perpendiculaires à l'axe de la vis qui limitent l'écrou, / la dislance de ces. deux plans ou l'épaisseur de l'écrou, on aura : pour la composante agissant dans le plan supérieur
dans le sens de P,
Vb
pour la composante agissant dans le plan inférieur dans le sens
contraire de P,
Pa
Ces pressions donnant lieu aux frottements /P jj /P j qui
s'exercent sur te surface cylindrique extérieure des filets auront pour bras de levier le rayon r' de cette surface, un peu supérieur à r; on aura donc, en observant que les pressions normales et l.es frottements tangentiels à la surface hélicoîde des filets de la vis sont distribués symétriquement tout autour de son axe, de sorte qu'ils ne tendent nullement à en changer la direction, on aura, dis-je, l'équation d'équilibre
i-/langa -^ \ / l )
Si, d'ailleurs, la puissance P se composait de deux ou plusieurs forces égales agissant symétriquement autour de Taxe de la vis, le dernier terme de l'équation ci-dessus serait évidemment nul.
