P^ Pa
vent pour éviter que les pressions "7-> "y ^^ l^s frottements
APPLIQUÉB AUX HACHINIS. 871
qui en résultent n'acquièrent une trop grande influence, on doit remplacer ces frottements par ceux qui ont lieu sur les arêtes extérieures de ces collets; a, b, l expriment alors les dislances qui les séparent, soit du plan de la puissance P, soit entre elles.
77. Frottement du collier et des guides de la charge, — Lorsque le poids Q ne doit pas tourner librement avec la vis, et qu41 est contraint à se mouvoir parallèlement à lui-même, il ne se trouve lié à elle que par un collier on anneau, qui donne lieu à un frottement dont le bras de levier s'évaluera d'après ce qui a été dit au n°37et dont le moment sera représenté par une expression de la forme
qu'on ajoutera au second membre de l'équation ci-dessus; mais, comme ce frottement peut donner lieu à une pression sur les guides du poids Q, il sera nécessaire, dans certains cas, de tenir compte de la résistance qui en résulte.
Nommant (32) L la distance de l'axe de la vis à laquelle il agit;/^ le coefficient qui lui est relatif, son intensité absolue sera mesurée par l'expression
fn . f,c) ip'-^-pp'-^P'') ^ (p'4-pp^-f-p'») ^ ^,^. •^ *-^ ^ (P'hp')L ""3 (p-f-p'jL •^•^^'
car le moment de la pression qui y donne lieu doit être évidemment égal à celui du frottement sur le collier de la charge; l'expression ci-dessus devra d'ailleurs être ajoutée à Q dans l'équation d'équilibre de la vis, c'est-à-dire qu'on devra y remplacer Q par
quantité à laquelle il faudra en outre ajouter le poids propre de cette vis et de son équipage, pour obtenir la charge totale de l'écrou.
3^3 CODIS Dl ■tCAKIQDB
78. Frottement du pivot det vis de compreuion. — Il ar^ rive quelquefois que, î'écrou restant âxe, l'objet de la vis est de presser, comprimer ou refouler certains corps vers son extrémité inférieure B {fig. 96]; cette extrémité formant alors pivot donne lieu à un frottement dont on tiendra compte en ajoutant (38) un terme de la forme
au second membre de l'équation d'équilibre, p étant le plus grand rayon de la partie frottante, Q la force de compression, et par conséquent Q — 9 la charge agissant réellement pour refouler I'écrou de bas en haut, q désignant te poids de la vis.
79. Frottement des guides de t'éerou mobile suivant l'axe. — Dansd'autrescas [fig. 97), la vis est seulement susceptible
de tourner autour de son a\e AB, sans que celui-ci se déplace, I'écrou abcd étant seul mobile le long de cet axe, sans pouvoir tourner; alors la vis frotte sur un pivot inférieur ou sur des épaulements B placés aux extrémités, tandis que I'écrou est maintenu dans une direction parallèle, au moyen de guides à oreilles, de coulisses, etc.; on ne sera donc point embarrassé d'établir l'équation d'équilibre pour ce cas, en observant que la charge de la vis se compose du poids Q de
APPLIQUÉB AUX MACHINES. $73
l*écrou ei de son équipage, ainsi que du frottement des guides, dont la valeur sera ici évidemment
retp ayant les significations indiquées au n^ 73, et L étant la distance du point d'appui des guides à l'axe de la vis, de sorte qu'on aura, dans le cas actuel, pour déterminer la valeur de p,
d'où
tanggt +f
I — /langa — -^ (langa ^/)
valeur qu'il faudra introduire à la place de
Q tangg-i-/ I— /langa'
dans l'équation d'équilibre du n^ 75 ci-dessus.
Quant à la pression verticale supportée par l'épaulement supérieur ou inférieur de la vis, elle sera, q étant le poids de cette vis et de son équipage, en supposant que la vis ait à soulever la charge Q,
i—/tang «—/''£ (langa 4-/)
d'où il est facile de conclure le moment du frottement de l'épaulement.
80. Cas où la puissance est directement appliquée à l'écrou. — Enfin il peut arriver que la puissance soit directement appliquée à récrou, qui alors tourne sur lui-même en frottant sur une rondelle ab {fig. 98) ou sur une bande annulaire, comme dans les vis des portières d'écluses, des grilles de fermetures ou dans les boulons d'assemblage; il est évident que l'équation d'équilibre du système pourra s'établir d'une ma-
374 C0QI9 DB iCCAKlQnB
Dière absolumeni semblable, en ayant égard aux diverses circonstances dans lesquelles se QwuveDi placées les parties Citantes du système.
En général, les formules qui précèdent mettront à même de calculer les diiïérentes résistances et d'en diminuer l'influencet le plus possible, par des dispositions bien entendues: en diminuant leur momeni par rapport èi l'axe de la vis, et en substituant notamment le frottement des pivots k celui des épauiements ou bandes annulaires dont le bras de levier moyen ne peut jamais être très-petit et doit toujours être comparable au rayon moyen de la vis et de l'écrou. On voit d'ailleurs combien il importe d'amoindrir, dans chaque cas, autant que faire se peut, ce rayon sans nuire à la solidité de la vis et de l'écroa, et de se' conformer, en conséquence, aux règles d'économie que prescrit la théorie de la résistance des matériaux.
81. Dimensions à adopter pour les vil à filets carrés {'). — Soient R, le rayon de l'hélice intérieure ou du noyau, R, celui de l'hélice extérieure; on donne ordinairement à la saillie s des filets une longueur égale à leur épaisseur e mesurée dans le sens de l'axe, et, pour la facilité de l'exécution, on fait les vides égaux aux pleins. D'après cela, s'il n'y a qu'un filet de vis, le pas h sera égal à zj = ae; s'il y avait deux fileu distincts, le pas serait double ou ^e. On emploie ainsi plusieurs filets de vis, afin de pouvoir faire varier le pas sans changer la grosseur du noyau, qui a des dimensions déterminées, comme on va le voir.
Les vis à filets carrés étant souvent en fer et les écrous en
(■) Eitnftde l'Mltion d« iSi6. (K.)
ÀPPUQOtB AUX MACHINES. 3^5
cuivre, le noyau et les filets doivent avoir une solidité suffisante pour ne pas rompre sous le poids Q de la charge qui les sollicite parallèlement à Taxe; or la surface de rupture du noyau étant ttR; et chaque millimètre carré de cette surface pouvant porter moyennement, sans se rompre, 4^ kilogrammes, que, pour la sécurité, on doit réduire à 6 kilogrammes, on aura ôttR î = Q,d'où Ton tirera la valeur de R, en millimètres. Admettant ensuite que l'écrou ne doit pas embrasser moins de trois filets successifs, afin que l'engrènement soit convenable et qu'il s'use moins vite, son épaisseur sera égale à 6e ou 65, et la surface de rupture des filets, le long du noyau,
6e sera — 27rRi, parce qu'il y a autant de plein que de vide;
comme la ch.arge pourrait agir tout entière sur les extrémités des filets, et qu'elle aurait ainsi un bras de levier s double de celui de la surface de rupture des filets, on ne devra prendre que la moitié de la quantité ci-dessus, c'est-à-dire SerrRi; la résistance de la matière qui compose l'écrou, différant généralement peu de celle du fer, on devra égaler la quantité cidessus à la surface tiR | de rupture du noyau, d'où l'on tirera
la saillie
*=tf — jRj environ.
Il est évident que ces dimensions ne sont pas tellement absolues qu'on ne puisse aucunement s'en écarter; très-certainement l'usure et le frottement seraient moindres en augmentant la hauteur de l'écrou et en faisant la saillie s plus petite que l'épaisseur e.
Quant à la valeur qu'on devra attribuer, dans les calculs, au rayon r de l'hélice moyenne du filet, il est évident que, dans la plupart des cas, il sera suffisamment exact de le prendre égal à la demi-somme des rayons extrêmes du filet; mais comme il peut arriver que la différence de ces rayons, ou l'épaisseur des filets, soit très-comparable à la grosseur du noyau, notamment dans les vis qui agissent par traction, il paraît évident aussi qu'on risquerait de se tromper d'une manière notable, si l'on continuait à attribuer une telle valeur au bras de levier moyen r; c'est pourquoi nous avons
376 GOmS Dl MÊGÂKIQDl
cru Utile d'examiner k part ce cas dans la Note II, qu'on trouvera annexée k cette Section.
FroUmnent dans la tIs à fileta triangnlairei.
82. Conventions et exposé de la question. — Soient MH'Q (fis- 99] ''3^^ d'une telle vis supposée verticale; AH l'élémeni bélicolde qui correspond au Qlet moyen de cette vis,
élémeniqui, vu la petitesse du fllelpar rapport au noyau, sera encore ici censé supporter toute la charge de la vis. Soient AB la tangente en un point quelconque A de l'hélice qui appartient à cet élément; MAC la génératrice correspondante rencontrant l'axe de la vis en M; enfin AA' une verticale, parallèle à l'axe MM', passant par A. Nommons B, C, A' les points de rencontre de ces droites respectives avec un plan horizontal quelconque; A'B, A'C, projections de AB et AC sur ce plan, seront les directions respectives de la ungenie et du rayon au point A'du cercle de base du cylindre qui contient l'hélice AH, et le plan ABC sera langent en A à la surface hélicoîde du filet de vis. Si, de plus, on abaisse du point A' la perpendiculaire A'O en 0 sur ce plan, et des points B el A les perpendiculaires BI, AE sur les droites AC etBC, ces dernières passeront
APPLIQOÉI AUX HAGHINBS. * 877
évidemment par le point 0, et les angles A'AE et A'BÏ seront ceux que forment respectivement le plan tangent ABC avec la verticale AA' et l'horizontale A'B ou hp. Cela posé, nommons
<p et 4^ respectivement ces deux derniers angles A'AE, A'BI; a et 6 ceux que forme la verticale AA' avec la tangente AB et
la génératrice AC relatives au point A; r le rayon AG = A'M' du fllet moyen de la vis; h le pas commun à tous leâ filets; Q la charge totale supportée par ces filets ou le filet moyen
AH, parallèlement à l'axe de la vis; p la puissance horizontale qui, appliquée à l'extrémité du
bras de levier AG ou r, serait capable de faire remonter la
charge Q le long de AH.
La vis pouvant être considérée comme un corps libre assujetti seulement à tourner en glissant le long de l'axe fixe WA\ pourvu qu'on ait égard aux pressions normales qu'e*)le supporte de la part de l'écrou» en sens contraire de la charge Q, ainsi qu'aux frottements qui en résultent, il est clair que l'équilibre entre toutes ces forces, la force /? et la charge Q, sera complètement assuré si, après avoir décomposé chacune d'elles en deux, l'une verticale ou parallèle à l'axe, l'autre horizontale ou située dans un plan perpendiculaire à cet axe, on exprime : i® que la somme de toutes les composantes parallèles à Taxe est égale à zéro; 2° que la somme des moments des composantes horizontales qui tendent à faire tourner le système autour de l'axe, dans un certain sens, est égale à celles des moments des composantes horizontales qui tendent à le faire tourner dans un sens contraire. Mais comme cette dernière équation est assez difficile à établir, nous lui substituerons celle que donne le principe des vitesses virtuelles, appliqué au mouvement effectif de la vis ou de l'écrou, en faisant ainsi abstraction des pressions normales qui rendent ce mouvement obligatoire.
83. Calcul de la puissance horizontale capable de maintenir la charge en équilibre. — Nommant </N la pression nor-
378 * COURS DB HÉGANIQUB
maie qui sollicite l'un quelconque A des éléments du Glet bélicoTde AH, elle fera naître le frottement fd^ agissant le long de la tangente AB, au point correspondant de Thélice; ces deux forces ayant pour composantes verticales dN sinf, fdti cosay on aura pour première équation d'équilibre» en observant que la composante dfi sinf et toutes ses semblables agissent en sens contraire de Q,
Q = / sinç rfN — / / cosa rfN = N (sinç —fcosa),
dans laquelle N représente la somme / d^ de toutes les pressions normales qu'on peut supposer concentrées en une seule, suivant la normale en A au filet moyen de la vis.
Le principe des vitesses virtuelles donne pareillement pour les conditions de l'équilibre relatives au mouvement effectif de la vis, considéré pour un tour entier, ce qui est ici permis,
'^ J cosa*' "^ cosa
d'où l'on tire, en mettant pour N sa valeur déduite de la précédente équation,
27rr ' •' 2T:r cosa(sïnQ —fcosa)
f\ . rf\ » ^ (sinocotfl-f-fsinrt)
"^ sma(sin<p--/cosaj sintp— /cosa
En observant qu'on a
cola = 5
27rr
et par conséquent
A . 27rr
rng/»— -<> s\na = -: — -->
v/A>-+-47r'r^ v/A*-4-47er»
il ne restera plus qu'à trouver la valeur de sinf en fonction
des quantités connues, pour être en état de calculer celle de p.
Or les triangles OIA^ OAA' rectangles en 0 et le triangle
▲PPLIQUiB AUX MAGHINBS. 879
AA'I rectangle en I nous donnent
• 1^4 4/ OA' A'IsinOïA' . . , sin9 = sinOAA'= yt> = jp ^rsinôcosvp.
A cause des triangles A' BI^A'BA rectangles en S/, nous
avons aussi
A^I AA^sInfe sln6 , langvp — ^,^ — AA'tanga "" iang«''
donc
. , sin6 Asinfr
sin ^ = —==== =z —======= t
v/sîn*6 4- tangua ^/n^sïn^b h- ^n^r^ , tanga 27rr
COSVJ; = ° =: • ■»
^sin'6 -f- tang'a y A*S)in^6 n- /^n^r^
et partant
tansasin^ 27rrsin6 sincpr- ^ —
v/sin'6 -h langea \/A'sin'6 -h /{ii^r^
On arrivera aux mêmes résultats par les principes connus, si, prenant pour axes positifs des x,y, z les droites A'B, A'C, A' Ay qui se coupent rectangulairement en A', on observe que les projections, sur les plans des xz et des yz^ de la perpendiculaire A'O au plan tangent ABC, sont elles-mêmes perpendiculaires aux traces BC et AC de ce plan, de sorte qu'elles ont pour équations
sur xz x=:z cota,
sur x^ 7=2 cotJ;
il en résulte, en effet, qu'on obtiendra les angles de la perpendiculaire A'O avec les axes des x et des z par les relations
cosO A'B = sin4; = -==J£lf
Vi-HCOt'64- cot'a
sin 5 A sin 6
v/sin'6 4- tangua v^'sin'6 + 47r*r'
cosOA'A = sîncp = -====z===z
v/i4-cot*6-4-cot'a
tangasini STrrsinfr
Vsin'6 + ung'a ^A'sin»6 4- 47r'r«
38o COURS DE MÉCANIQUE
qui sont les mêmes que celles trouvées ci-dessus. Substituant donc la valeur de sin(p, celles de sina et de cosa dtfns l'expression de p, il viendra finalement
^ cota-h fsina^i -hCoi'fl-4-cot*6 p — Q. p=====--
I —/cosa V ' H" cot'fl -4- cot'6
^ hs\x\h)jh*'\-^Tt*r^-^7.T:rf\lh^s\ti^b-\-^T:^r^ 27rrsin6v^ÂM^~47r^— hfyjh^ sin'6 -h 47r'r»
84. Nouvelle méthode. — Cette formule, qui est due à M. le professeur Persy, ne s'accorde point avec celles qu'ont obtenues d'autres auteurs; mais il est aisé de faire voir qu'elle est la seule rigoureuse, et que l'inexactitude des formules dont il s'agit provient de fausses décompositions des forces.
Il est bien permis, en effet, de supposer la charge Q tout entière appliquée au point A de l'hélice moyenne et reposant sur le plan tangent en ce point comme sur un plan incliné le long duquel elle serait élevée en vertu de l'action de la force horizontale p; mais il ne faut pas oublier que le point d'application A est contraint de demeurer, dans son mouvement sur ce plan, à une distance invariable r = AG de Taxe MM' de la vis; ce qui suppose l'intervention de certaines forces agissant suivant les rayons horizontaux AG de l'hélice moyenne, et qui sont détruites par la rigidité de la vis ou de l'écrou.
D'après cela, il est évident que, pour exprimer les conditions de l'équilibre entre les forces N, /N, Q et /? qui sont censées solliciter la vis au point A, il sera nécessaire de décomposer la force N en trois autres, agissant parallèlement aux axes A' A, A'B et A'C, et dont la dernière sera censée détruite par la rigidité de la vis, tandis que les deux premières maintiendront à elles seules en équilibre la force horizontale p et le frottement tangentiel /N. Nommant donc, comme cidessus, <p et ^ les angles formés par le plan tangent en A, avec la verticale AA' et l'horizontale A'B ou A/?, on aura évidemment
Q = Nsinç— /Ncosa, ;i = Nsin4' -f-/Nsina;
APPLIQOÉB AUX HAGHIHBS. 38 1
d'où Ton lire
v Q „ sin4/-i-/sina
sinç— jcosfl '^ sin9-— /cosa
ou, en remplaçant sin99 sin^, sina et cosa par leurs valeurs (92),
I — /cosa V H- cot*6 -h coi'a
^ cola -f- f sina i/i -h cot'6 -h coi'a
I —fcosa )/i -+- col'6 ■+- cova
formules dont la dernière est précisément celle à laquelle nous sommes arrivé , par une autre voie, dans le numéro précédent.
85. Comparaison de cette solution avec celle qu'on obtient par un mode différent de décomposition des forces, — Si, au lieu d'opérer comme nous venons de le faire, on eût décomposé la force horizontale /i et le poids Q suivant la normale à la surface du filet, et qu'on eût pris la somme ^'sin^' + Qsin9 des composantes ainsi obtenues, pour la pression normale, et, par suite, ...,/(/> sin vj' -+- Q sin 9 ) pour la valeur du frottement le long de l'hélice moyenne, puisqu'on eût égalé cette valeur à la différence ps'ina — Qcosa des composantes de p et de Q suivant cette hélice, on serait parvenu à la formule
^ cosfl -l-/sin9 ^ cosfl ^1 -4- col'« -^ coVb 4-/
^^ s\na—fs\n^~' sina y/i 4- coi^a -h cot»6 —/cota'
qui diffère essentiellement de la précédente, bien qu'elle fasse retomber sur celle trouvée au n^ 73, quand on y suppose 6 = go® ou cot6 = o; or rien ne justifie le mode de décomposition des forces /? etQ, admis en dernier lieu.
Pour découvrir en quoi consiste la différence de ces solu** tions, il n'y a qu'à supposer h ou cota nul dans les deux formules, hypothèse qui réduit les surfaces hélicoïdes de la vis et de l'écrou à des surfaces coniques circulaires dont b est
l'angle formé par la génératrice avec l'axe; la dernière devient
ainsi
P — Q/sin by
et la précédente
sin6
de sorte que celle-ci donnerait p =.co précisément quand l'autre conduirait à la valeur /> = o, résultats dont le premier paratt plus conforme d'ailleurs à la manière dont on envisage ordinairement les choses dans la théorie du coin, à laquelle se rapporte évidemment le cas particulier qui nous occupe
(21etsuiv.)-
En effets l'écrou embotte ici la vis, comme le ferait un robinet conique dans son enveloppe, de sorte que, pour déterminer la pression sur cette enveloppe, il ne s'agit pas simplement de prendre la composante Qsin6 de la charge Q suivant la normale du cône, mais bien de décomposer Q suivant une infinité de forces normales aux surfaces de contact et dont la
somme est évidemment -t^j si l'on néglige la considération
du frottement qui agit le long des génératrices pour s'opposer à l'action du poids Q, c'est-à-dire à sa descente produite par la compressibilité plus ou moins grande de la substance de l'enveloppe.
86. Nécessité d'avoir égard à l'élasticité des matières de la vis et de l'écrou^ démontrée par l'exemple des cônes frottants, — Cette dernière observation prouve, au surplus, que la formule de M. Persy n'est point entièrement exempte de reproches, et qu'il devient nécessaire, pour les applications pratiques, de la modifier conformément aux théories exposées dans les numéros 21 et suivants.
En effet, considérant {Jig. loo) un cône à base circulaire, ÂBC, dont l'axe est vertical, et qui tourne exactement dans une boîte pareillement conique abcd, contre laquelle il est pressé en vertu de la charge verticale Q, il est évident, d'après les résultats du n^ 22, que la somme des pressions normales
APPLIQUiB AUX MACHINI8. 383
souffertes par la surface de contact sera mesurée par Texpression
cos6 — -/sin6
(i —/'jsinai -h 2/COS26 sinfc -h/cos6'
qui ne devient plus infinie quand on y suppose sin6=:o, mais bien égale à ^; ce qui donne, pour le frottement qu'aurait à vaincre la force horizontale /?, agissant tangentielle-
Fig. 100.
ment à la circonférence moyenne de la surface de contact, supposée ici d'une étendue très-petite, l'expression
sin6-i-/cos6'
dont la valeur se réduit simplement à Q pour 6 = o.
Le cas particulier qui nous occupe comprend évidemment aussi celui de deux surfaces de révolution quelconques qui s'emboîteraient l'une dans l'autre, en se touchant suivant un cercle dont le rayon devra être pris pour le bras de levier de la puissance p ou du frottement. Quant aux bouchons coni^' ques^en général, aux robinets tournants ou aux cônes de friotion employés dans les machines comme moyen S embrayage ou de suspension du mouvement, et dont les surfaces de contact ont une certaine étendue, on devra adopter, confor^ mément au contenu de la Note II de celte Section, pour bras de levier moyen du frottement, l'expression
Ht
Jl
384 COURS DB aÉGAIflQUB
analogue à celle qu'on obtient pour les couronnes circulaires frottantes (37), et dans laquelle r' et r" sont les rayons extrêaies des surfaces en contact.
On remarquera, au surplus, que ce qui précède suppose que rétat de compression réciproque des cônes provient uniquement de l'action de la charge Q, et n*est point dû à une cause étrangère, qui aurait primitivement agi pour refouler l'un des corps dans l'autre et mettre en jeu leurs actions moléculaires ou de ressort; car l'état de tension de ces ressorts pouvant, d'après ce qui a été dit* au n<* 23, se maintenir même lorsque la cause a cessé d'agir et pourvu que l'angle 26, au sommet des cônes, satisfasse à la condition
tangi6<— j-^,> ou 6<Carc(tang i=/j,
il parait évident que la résistance à vaincre par la puissance/^, du moins dans les premiers instants et jusqu'à ce que les corps fussent convenablement dégagés, pourrait avoir aussi une valeur quelconque indépendante de P. et uniquement relative à l'énergie de la compression primitive.
87. Solution générale du problème de la vis à filets trian-gulaires, en ayant égard à l'influence de l'élasticité des matières. — D'après ces diverses considérations, relatives aux surfaces coniques frottantes, il sera facile, en reprenant l'analyse du n*" 8^, d'avoir égard au frottement qui, dans le sens des génératrices de la vis à filets triangulaires, s'oppose à la compression réciproque de cette vis et de Técrou, ou, si l'on veut, à ce que cette même vis puisse descendre, sans tourner autour de son axe, par l'effet du refoulement dont il s'agît ; l'intensité absolue de cette force étant mesurée par /N et l'angle qu'elle forme avec la verticale ou l'axe 6, elle donnera la composante /Ncos 6 suivant cet axe, qui s'opposera à l'action de Q ou s'ajoutera à celle de N, et la composante horizontale /Nsin6, qui tendra à modifler la pression soufferte par l'axe de la vis. On aura donc, pour déterminer N et p, en raisonnant, du reste, comme au numéro cité,
0 == N sincp -+-/N cos6 — /N cosa, /> = N sinip -+-/N sina;
APPLIQUÉl AUX SAdHIlOfllI ,^^ 385
d'où résulte
j.^ Q ^ Q sini|/-i-/sina
. sin<p -f-/(cosA — cosa)' ^ ^sin(p-f-/(cosé — cosû)^
ely en remplaçant sinf, sinv];, sina, cosa par leurs valeurs respectives (83),
r. cota H- fsinn i/i -f-cot*flH-cot'/y
I —f(cosa — cos^) /i-hCûl'/n-col*6
formule qui, en y faisant a==go% redonne celle ci-dessus, relative aux cônes de friction, ce qui doit être, et coïncide exactement avec celle du n'^TS, concernant la vis à filets carrés, lorsqu'on y suppose, à son tour, b = 90® ; ce qui démontre, chose d'ailleurs évidente en soi, que, pour cette sorte de vis, l'élasticité des matières n'exerce aucune influence directe sur l'intensité du frottement.
88. Comparaison des résultats donnés par la nouvelle for-mule et les précédentes — Si maintenant on veut se former une idée de la limite des écarts que peuvent présenter les résultats des formules obtenues dans les trois hypothèses exami-
nées, on devra remarquer que, dans la pratique, l'angle 6 n'est jamais au-dessous d'un demi-angle droit, et ne lui devient même égal que pour les vis et écrous en bois peu résistants, tels que le chêne, tandis que, le plus ordinairement, l'angle aigu des filets étant au plus les 1 de 90 degrés, h sur-
passe 60 degrés. Quant à l'angle a, sa cotangente est ra-
27rr
rement au-dessus de |; mais elle peut décroître indéfiniment, et il arrive même, dans beaucoup de cas, qu'elle est au-dessous de 0,04. Faisant donc, en premier lieu, dans les formules dont il s'agit,
cotfr = 1, sin6== cos6 = 0,7071, cota = o,5,
sin6t = 0,8944» cosa = 0,4472;
supposant d'ailleurs /= 0,1, nombre qui, d'après les expé-
386 ]$|Ki!^OI||p' DB aÉGAIlIQUl
riences de Coiriomb eifès nouvelles expériences de M. Morin, exécutées à Metz, en 18^2, représente assez exactement la valeur moyenne du rapport du frottement à la pression pour les divers ïj0b ou métaux glissant l'un sur Tautre avec interposition d*enduit gras, en faisant, dis-je, ces suppositions dans les formules ci-dessus, on trouvera
par la ^emière. . . p = o,5Q -h 0,18 Q = o,68 Q, par la deuxième.. /? = o,5Q -+- 0,0970 = 0,5970, par la troisième.. . p = o^5Q -+- o,ii5Q = o,6i5Q.
Quant à la formule du n® 73 relative aux vis à filets carrés, elle donne, dans les mêmes suppositions de /=o,i, cota = tanga = o,5,
Faisant, en second lieu, cota = 0,04 seulement, afin d*ac> quérir une idée des écarts que présentent les formules pour les très-faibles inclinaisons des filets de vis, et supposant d'ailleurs que les autres données restent le^ mêmes, on trouvera également
par la première p = o,o4Q-h 0,14^40 = o>i8^4Q>
par la deuxième. . . /> = 9,040 -+- 0,07070 = 0,11170, par la troisième. . . /? = o,o40 -+- o>i2580 = o,i6580; enfin par celle qui se rapporte à la vis à filets carrés
.89. Conséquences qui résultent de cette comparaison. — Le rapprochement de ces divers résultats conduit aux conséquences suivantes :
i"" Les formules des n®* 83 et 87 donnent des résultats qui di£rèrent d'autant moins entre eux que Tangle d'inclinaison a de l'hélice moyenne des filets de la vis, sur l'axe, est plus petit, de sorte que, pour ces petits angles, on peut sans inconvénient, dans les applications pratiques, se servir de la première de ces formules, qui est un peu plus simple. 2^ La formule du n® 85 conduit à des résultats qui, en gé*
APPUQUÉB AUX SACHUIBS. 38;
néral) diffèrent trop, en moins, de ceux que fournit la formule obtenue en dernier lieu, pour qu'il soit permis, en aucun cas, d'en faire usage dans les calculs, d'autant plus qu'elle conduit, pour les vis à filets triangulaires, à des valeurs de p plus faibles que celles qui se rapportent aux vis à filets carrés» ce qui visiblement est inadmissible.
3® Enfin toutes ces formules s'accordent à prouver que le frottement joue un rôle considérable dans les différentes espèces de vis; mais celle du n"* 87, qui mérite une entière confiance, montrant, comme celle du n** 83, que ce rôle est moindre pour les vis à filets carrés, à circonstances semblables d'ailleurs, il en résulte' que l'on doit accorder à ces dernières la préférence dans l'établissement des machines qui ont pour objet l'économie du travail moteur.
90. Dimensions à adopter pour les vis à filets triangulaires{ ' ). — Dans la vis à filets triangulaires en bois dont la dureté n'est pas très-grande, comme le chêne, l'orme, etc., on prend ordinairement pour triangle générateur un triangle isoscèle rectangle. Lorsque la vis est en bois dur, tels que le buis, le cormier, le sorbier, le charme, on prend pour le profil un triangle équilatéral {fig. loi); on agit de même quand la vis est
Fig. 101.
en fer et l'écrou en cuivre : dans tous ces cas, le pas est mesuré par la base du triangle s'il n'y a qu'un filet, par deux fois cette base s'il y en a deux, etc.
Il convient encore, dans le cas actuel, de prendre l'épaisseur
(*) Extrait de rédiUon de i8a6.
388 COURS VB aÉGANIQUB
de l'écrou égale au moins à trois fois le pas; mais, comme la surface de rupture le long du noyau est ici double de ce qu'elle est dans la vis à filets carrés, 11 semblerait qu'on dût prendre seulement la saillie des filets égale à | du rayon du noyau, ce qui ne serait point exact, attendu que la base des filets n'est pas la surface qui présente la moindre résistance par rapport à une puissance qui serait censée agir au sommet parallèlement à l'axe de la vis; c'est pourquoi on doit encore prendre, pour la résistance proportionnelle des filets à la rupture, une surface tout au plus moitié de celle occupée par ces filets sur le noyau, en sorte que la saillie est toujours I du rayon du noyau. Quant à la grosseur du noyau, on la déterminera de la manière déjà indiquée, en observant que, pour le cas du bois, on ne doit pas supposer la résistance supérieure à o^«,8o par millimètre carré. *
Ces remarques ne concernent que les vis destinées à supporter de grands efforts. Dans les instruments de précision, dont les vis sont en fer ou en acier, on donne à la saillie ou hauteur du triangle générateur jusqu'à deux et même trois fois la base, afin de rendre la surface frottante plus grande et l'usure moindre. Les vis à bois ou clous à vis oflTrent également des filets très-aigus, dans la vue de les faire mordre facilement et d'augmenter le frottement et la force nécessaire pour les arracher.
Du frottement dans les engrenages.
91. Considérations préliminaires. — Avant d'indiquer la marche à suivre pour calculer la quantité de travail consommée par le frottement des engrenages, nous allons exposer quelques considérations préliminaires sur lesquelles elle est fondée.
Considérons deux rouleaux cylindriques C et C {PI. 11^ fig. 8), qui se touchent en m et sont pressés l'un sur l'autre
( ' ) La théorie du frottement des engrenages est exposée dans les feuilles lithographîées de 1 825- 1826; elle a été reproduite, en i835, arec quelques mo* difîcations, dans un cahier spécial; c'est cette dernière rédaotioii qui, Mmf indication contraire, est suivie dans le texte. (K.)
APPLIQUÉS AUX SACHIIIBS. 889
par une force N. Si le rouleau C roule sur le rouleau C\ supposé immobile sur son axe, ou s'ils roulent simultanément Tun sur l'autre, en développant à leur contour des arcs égaux, il ne se produira qu'un frottement de roulement que Ton pourra négliger dans la plupart des cas et surtout dans celui des engrenages ordinairement formés de corps peu compressibles; mais si, au lieu de rouler, le cylindre C glissait sur C\ supposé immobile, il se produirait au point de contact un frottement de glissement /N, et si l'on désigne par ds le chemin élémentaire mm' parcouru dans dt, ce frottement développerait une quantité de travail élémentaire mesurée par /Ne/5,
Si le rouleau C',au lieu d'être immobile, tournait autour de son axe dans le même sens que C, et que l'arc mm''= ds fût parcouru dans l'élément du temps dt à sa circonférence par le point m, il est clair que les deux cylindres auraient roulé l'un sur l'autre, tout en glissant, d'une quantité
mm' — mm''= ds — ds\
Ainsi le chemin parcouru par le point d'application de la résistance au roulement serait, pour les deux rouleaux, égal au plus petit des deux arcs mm' et mm", et le chemin parcouru par le point où s'exerce le frottement de glissement serait la différence de ces deux arcs; par conséquent, la quantité de travail élémentaire développée par ce second frottement serait mesurée par
celui du frottement de roulement étant considéré.comme négligeable par rapport à l'autre.
Enfin, si le rouleau C, au lieu de tourner dans le même sens que C, marchait en sens contraire, il est clair qu'il n'y aurait plus de roulement et que, s'il avait décrit dans ce sens un arc élémentaire mmt = cls', le chemin parcouru par le point d'application du frottement de glissement, dans ce déplacement simultané de deux rouleaux, serait
mm' -*- miW| = ds -^ ds', et quBf par conséquent, le travail développé par cette résis-
3go OOUIS VB aÉCANIQUB
tance, en seKltf,Ç6nlraire du mouvement, serait mesuré par
Concluons de là que, selon que, dans le mouvement des courbes de ces rouleaux Tune sur l'autre, le point de contact primitif se trouvera sur chacune d'elles d'un même côté du nouveau point de contact ou d'un côté opposé, le travail développé par le frottement de glissement devra être exprimé
par
/N(J5 — rfy) ou par /N(J5-+-A').
92. Glissement relatif des dents. — Cela posé (PL II,Jig, 9), soient amb, afmb' deux courbes de dents, satisfaisantà la condition géométrique du tracé que leur normale commune passe par le point de contact t des cercles. primitifs, et supposons que, par suite d'un déplacement infiniment petit, elles viennent à se toucher en un nouveau point m,. Soient aussi
C/ = R le rayon du cercle primitif dont le centre est G; C / = R' le rayon du cercle primitif dont le centre est C; tCm = d, tCmz=6' les angles décrits à l'instant que nous
considérons à partir de la ligne des centres CC; N la pression normale de l'une des dents sur l'autre.
/Zi m, 6| et a\ m% b\ étant les nouvelles positions des courbes données, rapportons par des arcs de cercle mm' et mm' décrits des centres C et C le point de contact précédent sur ces courbes. Il est clair, d'après l'inspection de la figure, que si le point m de contact se trouve, pour la position que l'on considère, plus près du point t que le milieu de la. corde formée par le prolongement de la ligne /m, les deux points m' et m" se trouveront d'un même côté de m„ et qu'au contraire, si ce point est au delà du milieu de cette corde, le point m' se trouvera d'un côté et le point m" de l'autre côté de m,; par conséquent, dans le premier cas, le chemin élémentaire parcouru dans le sens du frottement de glissement ou de la tangente commune aux deux courbes sera mim'— mim^ et dans le second m^m' '\' nixm"; mais on remarquera en même temps que, dans le premier cas, cette tangente commune passera entre les deux
▲PPUQUÉB AUX màcubiinis. Sgi
centres C et C, et que, dans le second, elle les laissera tous les deux d'un même côté. Cette observation est importante à cause des changements de signe qui en résultent pour certaines quantités.
Nous allons d'abord examiner le premier cas et nous ferons voir ensuite que le second conduit aux mêmes résultats. Projetons les arcs élémentaires nixm' et mxtn" sur la tangente commune en m aux deux courbes, ces projections mni^ et mm\ seront égales aux arcs, attendu que le déplacement est supposé inflniment petH. Or on a, dans les triangles mm'm\ e\mmf'm\ rectangles en m', et m",,
mm\ = mm' cos m' mm\ et mm\ == mm*' cos m" mm\,
et comme tm est perpendiculaire à la tangente commune ou à mni^ et mm\ et que Cm et Cm le sont respectivement à mm' et mm"^ on a
cosm'mm\ = cosCml et cosm'/nm' = cosC'mt.
De plus,
mm' =CmdO et mm" = C mdQ' ;
par conséquent, le chemin parcouru par le point d'application du frottement a pour expression
mm\ — mm\ = Cm cosCmt dO — C'mcosC'mtdO.
Prolongeons la tangente commune de part et d'autre, et des centres C et C abaissons sur cette ligne les perpendiculaires CP et C'F, nous aurons, pour les triangles CmP. et C'mP',
CP = CmcosmCP =Cmcos/mC, C P'= Cm cosmCF = Cm cos t mC,
et par suite
mm\ - mm", = CPdO -^ C P'rfÔ.
Mais on a, d'autre part, au moyen des triangles Cpt et C'///, et appelant n la longueur de la normale /m,
CP = n -f- C / cos / CP = n ■+- R cos r CP, C'P' = C'/cos/C'P' — /i =r R'cos/CP — /ï
Sga COUIS DB aÉGÂNIQCB
et, par conséquent,
mni, — mm\ = n{d6'^ dO') -h cos/ CP ( Rrfô — R'àff);
mais, puisque les vitesses sont transmises comme si les cer* des primitifs roulaient l'un sur l'autre, on a
Re=W6' ou Rrfe = R'rf9',
et par suite
mm\ — mm\ = n(dO'^ dO' )•
Nous venons de raisonner en supposant que le point m se trouvait plus près de / que le milieu de la corde formée par tm prolongé; nous avons vu que, dans le cas contraire, le chemin parcouru par le point d'application du frottement eût été
mm' -+- mm*;
mais, attendu qu'alors la tangente commune en m laisse les deux centres du même côté, on a
CP = ii-f-Rcos/CP et C'P'=/i — R'cosrC'P', et il s'ensuit qu'on trouve encore mm' -*- mm'' = mm', -+- /wm' = CP rfô -+- C F rfe' = n (rf9 -*- rffl') ( •).
Ainsi, dans l'un ou dans l'autre cas, on arrive à la même
expression du chemin élémentaire parcouru par le point d'ap*
plication du frottement.
La relation
ï{de = Wd6'
donne
(*) Note de V édition de 1836. — W serait facile do démontrer ces résultats d'une manière directe, en remarquant que, si Ton suppose le cercle (C) immobile, et que Ton fasse rouler infiniment peu le cercle (C) sur lui, le point de contact m décrira, dans ce mouvement, Tare élémentaire mm' ayant pour centre le point de contact t des deux cercles, et correspondant à un angle mtm" égal à celui que tend à décrire la normale mi. Or on roit aisément que cette droite et toutes celles qui sont liées inrariablement au cercle C décrivent, dans ce mourement, un angle égal à d$-\-d$'.
APPLIQUÉS Aox SAceniBS. 3g3
ce qui conduit à
mm* — mm = n — ^^ — dO dans le premier cas, et à
mm' -f- /nm" = n — rp — rfô
dans le second.
93. Travail élémentaire consommé par le frottement des engrenages dans un déplacement infiniment petit. — Le frottement dû à la pression N étant /N, si Ton désigne par / le rapport du frottement à la pression, il s'ensuit que la quantité de travail élémentaire développée dans dt par ie frottement de l'engrenage aura, dans tous les cas, pour expression
/N n ^ de.
Si nous appelons Q TefTort qu'il faut exercer tangentiellement aux cercles primitifs, pour vaincre la résistance qui s'oppose au mouvement de la roue conduite, et <p l'angle de la normale avec la perpendiculaire à la ligne des centres, nous aurons évidemment
NXCK = QR ('), ou
Ncos9 = Q, d'où N = -^, ^ COS9
ce qui donne, pour le travail élémentaire du frottement,
R -f- R' dé
fQn
