R' COS

Dans cette expression, la force Q est ordinairement connue : c'est l'effort moyen qu'il faut exercer à la circonférence primitive de la roue conduite, pour vaincre toutes les résistances

(*) Dans cette niation on néglige le frottement sur les dents, ce qui revient à négliger le carré de /dans le travail du frottement. (K.)

394 oonas db sécahiqui

autres que le frottement de l'engrenage, mais les quantiiés n et 9 varient avec l'angle 0, et il faut, dans chaque cas, connatire leur valeur exacte ou approximative en fonction de cet angle pour pouvoir intégrer cette expression du travail élémentaire et en déduire la quantité totale de travail consommée par le frottement de l'engrenage pendant toute la durée du contact des deux dents; c'est ce que nous allons cherchera obtenir en appliquant cette formule aux diverses formes d'engrenage employées.

9i. Application à l'engrenage à épicyclotdes. — Commençons par l'engrenage à épicycloTdes d'une roue conductrice et d'un pignon {PL I^fig* 4}> on a, dans ce cas, f = Q\ puisque la normale tm est perpendiculaire au flanc C'/n, et, de plus,

/i^R'sinô';

par conséquent, l'expression du travail élémentaire du frottement de l'engrenage est

/Q 'l±p R. îil^ =/QR. «:t»: „„,. ,^,

à cause de Re/(? = V^dQ'. On sait d'ailleurs que

tangÇ'r-O'-H -1-..., »

et, par conséquent, toutes les fois que l'angle 0' sera assez petit pour que l'on puisse se borner au premier terme de la série, on prendra

/QR' {ç-^ ) lang Q' dO' =fQ ^^ R' 6' d6\

En intégrant alors depuis Q'=o jusqu'à la valeur de 0\ qui correspond au plus grand écartement du point m à partir de la ligne des centres, on a, pour le travail total développé pendant cet intervalle par le frottement.

▲PPLIQUÉB AUX aACHIRBB. SpS

Si les dents se prenaient avant la ligne des centres» pendant un intervalle correspondante un angle 0^, on aurait de mâme, pour le travail consommé dans cette période,

et, par conséquent, pour l'amplitude totale 6'+ 0'\ parcourue pendant le contact,

" /Qil±JL',.(?l±il-)=/Q(«±^),.['iLti2-^8.].

95. Avantage que Von trouve à faire conduire les dents autant avant qu'après la ligne des centres. — Cette dernière expression montre que, pour une amplitude égale de contact, ou pour un déplacement angulaire donné 0'+ Q*\ il est avantageux, sous le rapport de l'économie du travail consommé par le frottement, que les dents se prennent avant et après la ligne des centres, puisque, si la conduite n'avait lieu qu'avant ou après cette ligne, le travail développé par cette résistance aurait eu pour expression

comme nous l'avons vu plus haut.

La quantité /Q — j^ — R'Ô'S", soustractive de la précédente, indique l'économie produite par l'engrènement avant et après la ligne des centres, et comme elle.est évidemment

un maximum pour 6^=6''=: » 9' 4- 6^ étant l'angle total donné, il s'ensuit qu'il convient, sous le rapport que nous considérons actuellement, de faire conduire les roues d'engrenage autant avant qu'après la ligne CC '

96. Effort moyen à exercer tangentiellement à la circonférence primitive pour vaincre le frottement des engrenages. — Il importe souvent, pour la facilité des calculs, de trouver la valeur de l'effort moyen tangentiel aux deux cercles primitifs

3g6 COOIB VB MÉGANIQUl

en /y qui développerait une quantité de travail suffisante pour compenser celle que consomme le frottement de l'engrenage. Or le chemin parcouru depuis la ligne des centres jusqu'à la distance angulaire 6' est R'6', dans le sens de l'effort moyen cherché ; nous aurons donc, en appelant a le pas de l'engrenage» supposé égal à R'9' = Rd, pour la valeur de cet effet moyen,

•^^ R a "-^^ RR' a'

Si les dents se conduisent, avant la ligne des centres, d'une quantité angulaire d'^et, après cette ligne, d'une quantité d',le cheminuparcour par l'effort moyen cherché, dans sa direction propre, étant R' ( 6' -f- 6"), on aurait, pour ia valeur de cet effort,

R'^e'-^-O") "■•'^ RK' R'i0'-i-0")

Cet effort moyen est évidemment plus faible que l'effort moyen nécessaire pour vaincre le frottement dans le cas où l'angle 9'+ B" serait décrit d'un même côté de la ligne des centres, puisque celui-ci aurait alors pour valeur

Dans le cas où d'= B"^ ce qui correspond à la différence maximum, on voit que l'effort moyen à exercer, quand les deux roues se conduisent avant et après la ligne des centres» est

ou, si R'9' = a,