RR
APPLlQUtS AUX SÀCaiHBS. 897
et que, dans celui où la conduite aurait lieu entièrement après la ligne des centres, à ^ine distance
il serait
c'est-à-dire double du précédent.
Dans la plupart des cas» l'engrenage ayant lieu avant et après la ligne des centres, nous adopterons, pour la valeur de l'effort moyen nécessaire pour vaincre le frottement et qu'il faut exercer tangentiellement aux deux cercles primitifs en i,
sauf, dans les autres cas, à recourir à la formule qui leur convient. • Le nombre des dents étant m pour la roue du rayon R et m' pour la roue de rayon R', on a
d'où
mfl~2;rR, /w'a=;27rR'
et par suite
m -f- m mm'
C'est sous cette forme que nous emploierons le plus fréquemment l'expression de cet effort moyen, parce que les nombres de dents sont toujours donnés immédiatement par l'observation dans les machines établies. Elle nous montre que cet effort sera d'autant plus faible que le nombre des dents sera plus grand et que, par conséquent, il y a, sous ce rapport, avantage à augmenter ce nombre.
97. Engrenage d'une roue et d'une lanterne. — Les expressions précédentes s'appliquent immédiatement au cas où une lanterne à fuseaux cylindriques est conduite par une roue en
398 GOniS Vl SÉGÀNIQUr
supposant que l'arc décrit à la circonférence primitive soit égal au pas, ou à Tintervalle entre Taxe de deux fuseaux consécutifs.
98. Engrenage d'un pignon placé dans Vintérieur d'une roue. — Dans le cas d'un pignon intérieur à une roue» il esl facile de voir, par l'examen de la Jig. 10, PL II ^ dans laquelle C et C sont respectivement les centres de la roue et du pignon , que, quand le point de contact m des deux courbes se trouve sur la normale commune tm, considérée comme corde du cercle primitif intérieur, en deçà de son milieu vers /, la tangente commune doit passer en dehors des deux centres, et que, au contraire, quand ce point m est au delà du milieu de la corde, cette tangente passe entre les deux centres, ce qui est tout à fait l'inverse des engrenages extérieurs.
On voit alors,' en conservant les mêmes désignations, qu'on a dans le premier cas, pour les expressions successives du chemin parcouru par le point d'application du frottement,
/n,m' — m;(m"= m\m — m\m=z mm' cosCmt — mm^cosCmi •V = C/irrfecosCm/ — CmdB'cosCml, '
*' vCmcosCmr — CP = R cos/CP — /i,
Cm cosC'/nr = C'P'= R' cos/CP — n,
et par suite
MX
puisque
Rrfe == Kde\
Dans le second cas, au contraire, on a
mim'— mim'^= m\ m -h m\m = mm' cosCm/ -h mm" cosC'm/
= Cmde cosCmt -+- C'mrfô'cosC'm/,
Cm cosCmt = CP = R cos/ CP — n,
Cm cosC'm/ = C'P'= n — R'cosrCP,
et par suite
m,m'-m.m"=(Rrf0--R'(/9') cos/CP-*-/i(rfe'— Je)=/i ^=^ dO.
APrjVQUil AUX KAGBDIIS. 3^9
Ainsi» dans les deux cas, le chemin élémentaire parcouru par le point d'application du frottement a la même exprèssion, et le travail consommé par cette résistance, pendant rinstant di, est
Cet engrenage ne s'exécute que par des courbes épicycloîdalesy et Ton reifouve, de même que précédemment , pour la valeur approximative du travail consommé par le frottement pendant que les roues décrivent un ay R'd' à leur circonférence primitive,
quantité évidemment beaucoup plus faible que celle qui correspondrait, dans les mêmes circonstances, à des engrenages extérieurs de mêmes dimensions.
Les conditions du tracé montrent que, si la roue doit conduire le pignon, celui-ci ne doit avoir que des flancs en ligne droite et que Tengrenage ne peut avoir lieu qu'après la ligne des centres. Si l'arc W6' parcouru pendant le contact est égal au pas a, ce qui convient pour qu'il y ait toujours au moins une dent en prise, on a, pour l'effort moyen que la roue doit exercer afin de vaincre le frottement de l'engrenage.
f^ -RR^ — =^^ iïT - R j 2 ^-^.Q^
mm
en appelant toujours m et m' les nombres de dents respectifs de la roue et du pignon.
99. Engrenage à développantes. — Lorsque les courbes des dents sont formées par des développantes [PL lyfig* 5) dont les rayons sont les perpendiculaires CK et C'K' abaissées des centres C et C! sur la direction constante et donnée de la normale commune /m, l'expression générale de la quantité de travail élémentaire consommée par le frottement de l'engrenage devient susceptible de s'intégrer rigoureusement. En
4oO OOUlf 31 KÉOANIQIJB '*'* '
effet, dans cetle expression
/N/i— j^rfe,
la longueur n de la normale /m étant égale à l'arc développé,
on a
n = tin = CKe et de plus NxCK = QR,
ce qui donne
dont l'intégrale
exprime le travail total consommé par le frottement, pendant que les roues ont décrit à leur circonférence primitive un arc R 9.
L'effort moyen à exercer tangentiellement à ces circonférences primitives en /, pour vaincre cette résistance, a donc pour expression
siR0 — a.
(*) Expression générale du frottement dans les engrenages. — M. Rcftal a bien voulu me communiquer à ce sujet la Note suivante :
« Poncelet, en restreignant la question au cas d'un contact peu étendu de part et d'autre de la ligne des centres, est conduit aux mêmes formules pour les trois principaux types d'engrenages employés dans l'industrie. En se plaçant à un point de vue général, on arrive facilement à ce résultat.
> Soient {PL I, fg, i)
C la roue menante;
P l'effort moteur tangent à la circonférence primitive de C;
Q la force tangente à cette môme circonférence, équivalente à la résistance
K et K' les projections des centres C et C sur la normale commune;
f» l'angle de cotte normale avec la ligne des centres.
• On a
CK'=R'sinç>, mK'=R'cosç>H-/ï,
CK = R ainp, mK = R cosf — /i,
APPLIQUÉE AUX ^/ffiBXltfip 4^1
Il y aurait lieu d'examiner le cas >oii l'engrenage se fait, partie avant et partie après la ligq^ des centres, et d'en comparer les résultats à ceux du cas où il n't lieu^cfue d'un seu4 côté> et l'on arriverait encore exactement & la aème conclusion, qu'il y a avantage à ce que les dents se conduisent autant avant qu'après cette ligne. ■ *^-'*rji
En introduisant aussi dans l'expression ci-de||kus de l'effort^ T moyen les nombres de dents m et m' de la roue et du pignon, on obtient, pour l'expression de l'effort moyen cherché,
qui, dans ce cas, est tout à fait rigoureuse.
100. Engrenage d*un pignon et d'une crémaillère. — Lorsqu'un pignon doit conduire une crémaillère, il suffit de faire R = oo, dans l'expression précédente de l'effort moyen qui doit vaincre le frottement, et l'on trouve pour sa valeur
et, en prenant les moments par rapport aux centres Cet C,
PR'= N.C'K'-+-/N.mK', QR = N.CK ^/N.mK, d'où
P = N[8inpH-/(cosç,-+-^)], Q = N[slnf,-+-/(cosç,-^)]
et
sin
+-/(cosy-^)
» Si / était nul, on aurait P = Q ; la force tangentielle équifalente au frottement est donc
sin > Soient
inj>-î-/f cosf»— Ij
te' = ds le chemin élémentaire décrit par l'une on l'autre des circonférences primitives;
4o2 4Si|M^' ^B MÉCANIQUE
101. Frottement d'une came et du mentonnet d'un pilon. — Quand une came en développante de cercle pousse le mentonnet d'une tige guidée dans des coulisses ou rainures {Jig. 7, PL 11^ si l'on désigne toujours par 0 l'angle décrit, ou plutôt par a le chemin parcouru dans la direction de la tige, on a encore, pour l'effort moyen qui doit vaincre le frottement, l'expression rigoureuse
R' étant le rayon du cercle développé ou tangent à la ligne droite parcourue par le point de contact.
102. Cames en épicjrclotdes, — Pour transmettre à un levier mobile autour d'un axe un mouvement continu, de manière que les vitesses transmises restent dans un rapport constant, on donne» comme nous l'avons dit, à la came la forme d'une épicycloTde, qui conduit à partir de la ligne des centres. Dans ce cas, le grand développement de la courbe
t'rn' la normale commune dans leur nouvelle position; I la projection de t sur r'm'.
On a
t'\ z=i dn =. ds sinj».
Le trafail du frottement est, par suite, T
>= rF*=Q/(i^3L) r—= — "J!L ^^.
^ J sinpl 8injp-t-/f cosp— ^jj
» En négligeant le carré do /, on a simplement
\dn
Si le contact est peu étendu de part et d'autre de la ligne des centres, « dif* fére peu de sa valeur f , lorsque le contact commence, et l'on a à trèsi'peu près
<//! = <ij sin f „ /2 = xsinf7„ d'où
expression qui revient à celle du texte. » (K.)
APPLIQUÉE AUX KACHIKIS. ^oi
ne permet pas de se borner à remplacer, dans l'expression du travail élémentaire
yQR'L±A' lange' de',
la tangente de 6' par la valeur approchée, réduite au premier terme de la série,
6'* lange'— 6' 4- y -h...,
et il faudra prendre au moins deux termes de cette série, ce qui donne, pour la quantité de travail consommé pendant que le cercle primitif de la came parcourt un arc R'e',
et, pour l'effort moyen nécessaire pour vaincre ce frottement,
Si l'angle 6' est de 4^ degrés, on a
6' = 4r TT = o". 785, -^ =: o", io3, ibo '2.3
quantité qui n'est pas négligeable, par rapport à l'unité.
103. Cas où la forme des cames ne satisfait pas à la condition de l'uniformité. — On rencontre souvent, dans les machines soufflantes [Jig. 102), des cames dont la courbure, déterminée par des considérations spéÉ||^^e satisfait pas à la condition de transmettre aux tige^|||^^ conduisent une vitesse qui soit dans un rapport confliitot avec celle de l'arbre de la came. Il faut, dans ce cas, r^ourir à des méthodes approximatives, et voici la manière d'opérer :
Soient
amb une courbe quelconque qui pousse la tige d'un piston de machine soufflante, dans une direction constante;
Q le poids de cette tige ou l'effort qu'il faut exercer, dans le sens de sa longueur, pour la faire marcher;
^O^ COURS DB MGGIHIQDI
X l'angle que fait sa direction avec la normale au point de contact actuel.
La pression normale sera Qcosiz, et le froitement/Qcosa consommera, pour un petit arc élémentaire dt parcouru par la came dans l'instant dt, la quantité d'action élémentaire
fQcosads
qu'il faut intégrer depuis a jusqu'en b ou par l'arc total t, aHn d'obtenir le travail total consommé par le frottement dans une levée de la tige. Cette intégrale pourra, dans tous les cas, être obtenue approximativement par les méthodes indiquées (n° 9, Section Ij.
10^. Engrenages ioniques.— Dans les engrenages coniques exécutés avec soin, on a toujours l'attention de faire les dents et, par suite, le pas aussi petits que possible, de sorte que le mouvement et le glissement des dents l'une sur l'autre ont sensiblement lieu, comme s'ils se passaient dans le plan tangent aux surfaces coniques moyennes et normales à la longueur des dents (*]•
(' ) M. Be»t {Joaraal dt VÉcoU Pofyitcknijue, XWfU' Cdûor ) * doDoé la ioU^rilei qui repré«eD(eat le tranil «iMOrbé par le frottement iktis lei engrc-
ippLiQnei 1
i. KlCRlltU.
Il suil de là qu'en conservant les mêmes djÉHfninations, mais en les appliquant au développement 4p^es surfaces moyennes, on aura encore pour l'effort mo;en qui, exercé dans le plan tangent que l'on considère ei perpindicuIajMment à la ligne des centres des cercles développés, produirait la même quantité de travail que le frottement de l'engrenage,
