Frottement de la vis sansjin [') Fie

-Soit(c')(>îg..o3)

une roue dentée conduite par une vis à Ql% carrés; le plan

nigM conique*, quelle que loil l'étendue da contacl; il enadédiiit, comtuecu p«rtlCDller, ce qui le rapporte «ui enereniges cjlindrlquet. Ed l'on leDUit ■!■ premier terme d'un déreloppctnent «n *érîe, il oit retomba lur la formuto de Poncolet. (K.)

(<) Extrait de l'MltloD de 1S36.

4^ COURS DE MÉGàNIQDB

milieu de la roue comprend l'axe EF de la vis, que nous supposerons verticale, et les dents ont, sur le cylindre de celte roue, une inclinaison telle qu'elles se présentent à It vis parallèlement à la tangente du Qlet qui répond au point de contact; les arêtes de ces dents sont donc obliques par rapport à l'axe de la roue.

Cela posé, ne considérons (^g*. io4) que ce qui se passe

Fig. 104.

dans le plan milieu de la roue qui comprend Taxe EF de la vis; le profil de la «urface Trottante des filets sera une perpendiculaire mb à cet axe, en sorte que Tengrenage devra remplir les mêmes conditions que celui des crémaillères à dents droites (*); la courbe mb' de la dent sera donc la développante de la circonférence primitive de {</), tangente à la droite AB, qui contient les points de contact m avec le filet correspondant et qui est parallèle à l'axe EF de la vis. Soit Q la puissance à appliquer à la circonférence primitive

(') Le point de contact entre le filet et la dent ne peut ôtro rigoureusement dans le plan de la figure que sur la ligne ce'. C'est par approximation, et en admettant implicitement que l'étendue du contact est très-petite, que l'auteur suppose qu'au delà de ec' le point de contact m se trouve dans le plan ci-dessus et que l'inclinaison de l'hélice correspondante de la surface hélicoïdale est encore égale à a.

y^oir à ce sujet, pour le cas où le contact a une étendue quelconque, le Mémoire de M. Resal inséré au XXXI H* Cahier du Journal de l'École Poljr^ technique, (K.)

de (&) pour vaincre toutes les résistances qui agissent autour de son axe; la vis pourra être censée chargée d'un poids constant Q agissant sur l'hélice dont le rayon est cT*ou r, dans une direction parallèle à l'axe £F, c'est-à-dire que la pression Q produira sur cette hélice uii effet absolument analogue à celui d'un écrou sur une vis pareille, qui aurait même pas et rhélice m pour hélice moyenne. Or on remarquera que le point m, où s'exerce le frottement de la dent mb', est animé d'un double mouvement relatif, l'un tangentiel à l'hélice, l'autre tangentiel & la courbe mb' de cette dent, en sorte que le moment virtuel total de ce frottement est la somme des moments virtuels dus séparément à ces deux mouvements et au frottement /N résultant de la pression normale N exercée, sur la surface du Qlet, par l'action de la puissance P qui, appliquée à l'une des extrémités de la vis, agirait avec un bras de levier R pour faire mouvoir la roue (c') ou vaincre la résistance Q. Nommons donc a l'angle formé par l'hélice m avec l'horizon, ou un plan perpendiculaire à l'axe EF de la vis, on trouvera sans peine, pour la pression normale,

N= ^^ . y d'où /N = ^^ ^Q . ;

cosa— /siua "^ cosa— jsina

reste à trouver les vitesses virtuelles de m sur l'hélice et sur la courbe mb\

En nommant h le pas de cette hélice, R le bras de levier de la puissance P, dz la vilesse virtuelle de Q ou la hauteur dont s'élève m parallèlement à EF, par suite d'un mouvement infiniment petit imprimé & la vis, la vitesse virtuelle de P

iîT R

sera évidemment —r- dz ; celle de m suivant l'hélice sera

dz

\ enfin celle de m soivtiii la courbe mV sera, d'après la

sina

propriété des développantes, le petit arc de cercle décrit par la tangente mT autour de T, tandis que la circonférence primitive (R') de la roue décrit un autre petit arc égal à dz et sous-tendant, au centre </, le même angle que le premier à son centre T; cette vitesse virtuelle de m sur mV sera donc

4o8 COUirDl MÉCANIQUE

mT , zdz ,

-j--cfz = -— , en prenant mT pour z; donc on aura, pour

exprimer les conditions de l'équilibre, en divisant par dz et muhipliant par A,

sina(cosa— /sina) R'(cosa — fsiïix)

La hauteur z est ici variable; mais, en observant que chaque dent pousse à partir de l'horizontale c& et en supposant qu'elle quitte le filet bm quand le poRit de contact T de k précédente est arrivé sur ce', on pourra remplacer z par sa valeur moyenne |mT = jA, en supposant que la vis n'ait qu'un ^l€ft; ce qui donnera, en réunissant les deux premiers

termes et en se rappelant que tanga = — »

on ^ /sinaH-/cosa\

îrRP = 27rrQ ( ^, —

\cosa -— /sina/

27rr

2 R'(cosa —/sina)

En négligeant le dernier terme en A, on retombe sur Téquation d'équilibre de la vis à filets carrés, en ayant égard au frottement, ce h quoi l'on devait bien s'attendre. D'ailleurs, ce terme est toujours fort petit à l'égard de celui qui le précède, et, comme a s'éloigne ici fort peu de zéro, on pourra, sans erreur sensible, y supposer sina = o, cosa = i, de sorte que l'équation pourra prendre cette forme, qui se prêle facilement au calcul,

27rr — jn *' 2K

àPPUQUÉI aux MÀCHIim. 4^