VALEURS APPROCHÉES

(le a et de b.

de A.

de a.

de ?.

ralears de i — a.

de ^a*-î- 6'»

a et b quelconques.

0,17160 ou ^

o,8a84(tf-i-*)

0,03954 ou -r

0,01498 ou —

0,00650 ou -r-r

0,0037a ou ^gg

Of991^1

0,00243 ou •;

ft:>6.b

0,00174 ou ^

Oi^M.a -H 0,08261 ,b

ay^.b

0,00125 ou s —

î^«»8iijip H- 0,07098.*

rt>8.*

o,oooq5 ou — 7-

o>99^.aH- 0,06220.*

0,00070 ou ^^^g

a >io.ô

0,00060 ou j3y

108. Simplification des calculs numériques des coefficients a et p et de l^ erreur limite s, au moyen des Tables de logarithmes, — On facilitera beaucoup le calcul numérique des valeurs de a, ^ et s en posant

k = cot4 (p ou (p = I arc (cot = / ) = | arc ( tang = t ) ;

il viendra, en effet,

a = i — lang-ç, p = 2tang(p, « = taDg'<p,

expressions que Ton calculera sur-le-champ au moyen des Tables trigonométriques, en déterminant d'abord l'angû 4<p dont le logarithme de la

4l4 CODES DB MtGÂNIQUS

tangente doit être égal à

10 — logA-,

puis, successivement, les valeurs de <p, tang<p et tang'cp. Supposant, par exemple, X- = 3, on aura, d'après ces Tables,

log tang4? = lo — log3 =• 9,5^287875 = log tang(i8°— a6'— 7',o65) ;

d'où

f = 4*»— 36'— 3i*,766, logtang^ = 8,9o64o56, tang«p = o,o8o6i3i,

en ayant soin de retrancher 10 de la caractéristique de logtang^, qui représente le logarithme du rayon supposé divisé en dix billons de parties égales, dans les Tables.

On aura donc aussi, en ayant cette attention,

log tang'f = alog tang<p = 3 , 81281 la = log 0,00649847, et finalement

f = 0,0064985, p = atang(}> = 0,1612262, a = 1 — tang'f = 0,99350a, valeurs qui sont précisément celles qu'indique la Table ci-dessus pour ^ = 3.

109. Extension dont est susceptible la méthode précédente pour des Jonctions cçmpféxes quelconques, — La marche par laquelle nous sommes arrivé aux Jzpressions générales de a, ^ et s en k ou 7 peut évidemment s'appliquer à toute espèce de fonction complexe des deux variables a et 6, qu'il s'agirait de remplacer par sa valeur linéaire et approchée de la forme aa-hP^H-y, pourvu que l'expression analytique de l'erreur proportionnelle qui résulte de celte substitution fût susceptible d'un maximum ou d'un minimum dans l'intervalle où l'on veut considérer les valeurs des variables a et b. Cette méthode s'étendrait môme aisément, pour certains cas, à une fonction d'un nombre quelconque de variables a, 6, r, £/,..., en se basant sur des considérations analogues à celles par lesquelles Laplace et Fourier sont parvenus à découvrir les valeurs des inconnues d'une suite d'équations de condition, de manière que la plus grande des erreurs auxquelles elles conduisent, quand on y substitue, à la place des inconnues, les valeurs données par l'expérience, soit, abstraction faite du signe, la moindre possible ('). En effet, toute la difficulté consistera à découvrir, dans chaque cas, l'expression analytique des

limites de l'erreur qu'on risque de commettre, à les égaler ensuite entre

(*) Mécanique céleste, 2* édition, t. II, p. 136 et siii?.; Anafyse des équations, par Fourier, K* Partie^ p. 81, no 21.

àppuqiiCb aux macbinbs,

elles, abstraction faite du signe ; ce qui, lorsque le nombre des équations ainsi obtenues sera égal au nombre des indéterminées a, p, 7, . . . , permettra de calculer les valeurs de celles-ci qui satisfont aux conditions du problème.

Ces observations montrent suffisamment que la méthode peut s'appliquer à une infinité de circonstances et offre ainsi les moyens de remplacer, quand la chose est en soi possible, toute fonction complexe de variables quelconques par une autre fonction plus simple et qui se prête plus facilement au calculou à certaines transformations analytiques. L'exemple qui précède pcHfra d'ailleurs servir à faire pressentir la nature des moyens qui doivent être mis en œuvre dans chaque cas particulier, et les avantages que ce procédé peut avoir, dans certaines Questions, sur ceux ordinairement mis en usage et qui consistent dans le développement des fonctions en série ou en fractions continues.

110. Considérations géométriques propres à conduire au même but, — Maintenant nous ferons remarquer qu'il se présente divers moyens, essentiellement fondés sur des considérations géométriques, et qui sont propres à conduire au but désiré par une voie pour ainsi dire purement intuitive.

En effet, reprenant la question ci-dessus, nommant c la valeur exacte

du radical ^a^-h ^% et considérant les quantités variables a, b ei c comme les coordonnées d'un certain point dans l'espace, pris par rapport

Fig. io5.

nfi'n' »

aux axes rectangulaires Oa, 0^, Oc {Jîg. io5), il est clair que l'équation

V^û' H- 6* = c, ou a*-h6* = c*,

représentera une surface conique à base circulaire, ayant son sommet à l'origine 0, pour axe l'axe Oc, que nous supposerons vertical, et pour

4l6 C0U18 DE MÉGÀlfl0OB

angle générateur un demi-droit ou 45 degrés. De môme réq!|aljon

c = aa -^ pb

représentera, dans les coordonnées r, a^ b^ un plan passant par l'origine 0, qui sert de sommet au cône, de sorte que la question proposée revient précisément à déterminer les constantes arbitraires a et ^ qai entrent dans Téquation du plan, de manière que les ordonnées verticales c de. ce plan diffèrent le moins possible, pour une étendue donnée, de celles qui leur correspondent sur le cône et ^g|»r tiennent à une même verticale, c'est-à-dire aux mômes valeurs de a et de 6 prises dans Fin-

tervalle pour %quel la plus petite valeur de ? = X- et la plus grande = oo ,

ce qui se rapporte à Tespace compris depuis l'axe des a jusqu'à la droite O/n, formant avec cet axe l'angle nOm dont. A- est la cotangenle. Nommant donc ^ cet angle, ou faisant

0/1 = 4» = arc (cot = X^) = arc ( tang = i )

tous les points de la surface conique et du plan à considérer seront compris entre les génératrices et les droites respectives qui ont Oa et Om pour projections sur le plan de ab.

Supposons que l'on fasse, dans le premier plan et dans celte surface, un profil quelconque passant par l'axe Oc. Soient [fig. io6) O/^'la trace du

Fig. io6.

premier, Op' celle de la seconde sur ce profil, Od celle du plan des ab\ considérons la verticale qui répond au point quelconque p de Oe/, elle rencontrera la trace Op' du plan en un point /?', et celle de la surface en un point p' ; Terreur absolue commise en prenant pp' pour pp* sera

p'p% et l'erreur relative ou proportionnelle^-^: c'est cette erreur qui

doit être rendue la plus petite possible dans toutes les positions du profil autour de Taxe Oc.

' APPUQOÉB AUX MAGHrinSP^ 4l7

On voit que le rapport ^-^ est indépendant ée là position dé p sur

l'horizontale 0^, de sorte que, par exemple, il suffit de considérer tous les points p' de la surface conique qui appartiennent à un môme plan de niveau O'p', coupant cette surface suivant un cercle dont la projection sur le plan des ab (fig. io5) est représentée par Tare mpn comprenant tous les points p à considérer, et dont Tintersection avec le plan qui a pour équation c — aa -^ ^b est représentée, dans cette même projection, par la droite rj, je suppose, limitée également aux côtés de Tangle mOn qui comprend tous les points /e?. Mais ^' étant, dans le profil ci-dessus [Jîg. io6), le point du plan c = aa + ^6 qui se trouve situé à la môme hauteur que le point p* de la surface conique par rapport à 0^^ ou au plan des £7^; de plus q étant, sur ce dernier, la projection de q' comme p Test de p', on a évidemment