I-hCOSi^ 0 4T» r I-^.C

(*) Plus généralement, s'il s'agit d'une fonction quelconque F (a, b) ou d'une surface représentée par l'équation c = F(â, b\ et qu'on se propose de déterminer le plan dont l'équation est c = aâ + ^^ + T^» de façon que les ordonnées c de l'un et de l'autre, correspondant aux mêmes abscisses ou valeurs de a et bf diffèrent le moins possible entre elles, pour toute l'étendue d'un segment convexe de la surface e = F(ix, b), limité au plan dont c = ma -^ nb -^p serait l'équation donnée, on mènera, par l'intersection de ce dernier avec celui des €ibf intersection représentée par ma -h /i^ + y = o, un plan tangent au segment proposé, ou, plus généralement, un plan qui serve de limite extérieure à ce segment ; puis on conduira, entre ce plan et le plan e = ma -h nb, un nouveau plan passant par la droite ma -t- nb -^ p = o, de manière que ses ordonnées soient mo/ennes harmoniçues entre les ordonnées correspondantes des deux autres, c'est-à-dire telles, qu'en nommant respectivement </, c^ les ordonnées des deux derniers, c celle du plan dont il s'agit, prise pour les mêmes valeurs de a et de 6, on ait

ou

l'équation de ce plan sera celle du plan cherché, et, en l'identifiant avec l'équation c= eca-i- ^b-^y, on en déduira les valeurs des indéterminées a, /3, y. Quant à la limite de l'erreur, elle aura évidemment pour expression le

rapport

c'— <^ c — c* —77- -- fJ»

àppuquéb aux ■▲chirbs. 4^9

et enfin, pour Texpression de la limite de Terreur proportionnelle^

— i^- ^ \COS|^i^ ^ ) __ 1 — C08i^^ "^ On' ~~ I / C \ ~~ I -+- cos|^^ *"

tang»J+,

valeurs qui coïncident respectivement avec celles qui ont été données en premier lieu, quand on prend

ff = \^= |(arc cot = A).

111. Formules relatives au cas où le rapport de a à b est compris entre des limites quelconques (')> — Nous avons supposé, dans ce qui

précède, que la valeur de la fonction \/û'-+- 6' devait être prise dans l'intervalle compris depuis t = ^ jusqu'à ^ = oo ou depuis cot -j» = o jusqu'à cot\|/ = ^; mais les raisonnements resteraient absolument les mêmes s'il s'agissait de considérer les valeurs de cette fonction entre des limites quelconques, par exemple, depuis la droite O/i (fig, 107), pour laquelle

Fig. 107.

l'angle aOn = ^p', - = cot^^' = k', jusque bÇ droite 0/w , pour laquelle

( * ) Solution de la question à l'aide de Hèam^ercles. — Nous reproduisons ici une solution due à M. Resal et basée sur un« interprétation géométrique qui se distingue par sa simplicité.

En considérant a et ^ comme l'abscisse et l'ordonnée d'un point, l'erreur relative

n'est autre chose que la difiéronce entre les rayons vecteurs dea deux points cor-

420 C0UE8 DB MÉGAKIQUB

l*angleaOm = ^j;, t = coi ^|' = A^. La droite m'/?', qui partage en deux par

égales l'intervalle compris entre la corde mn de la portion de courbe à considérer et la tangente m'n' à cette courbe, qui lui est parallèle, devant toujours être prise pour celle dont Téquation est c = aa -i- ^6, on trouvera sans difficulté

d'où

fi = COt•-(^^+^^') ' r[l+C0SJ(^^-»V)] p ^^'^^^^^' a- aCOSi(^^-+-^^)

— ^C0St(^4--V) C08 J(^^-f-^|/') "~ |-+-C08| (•]/ — '^') ~ COS'{(^I/ — -«l/') '

^ "~ 1 -*-COSÎ(^j' — ^^'j "~ COS'i (^ — ^j^')'

respondanU de deux cercles dont Tun (B) a pour équatiou a*+^'=aa-f-6^ et passe par Torigine 0, et l'autre (A) a Toriginepour centre et l'unité pour rayon.

Soient n, n' les points de (A), m et m' les points de (B) correspondant aux angles ^ et /r' et posons ^ =: ^'h- 9; désignons en outre par ^ et q les intersections de la bissectrice de l'angle nOn\ avec (A) et (B). On reconnaît, en tra> çant la figure, que les erreurs seront le mieux partagées si l'on fait en sorte que les cercles se coupent entre On et 0/t' et que le maximum pq de z soit égal aux valeurs absolues des minimum égaux nm, n' m\ ce qui, en désignant par r le rayon de (B), s'exprime parla relation

ar — 1=^1 — ir ces - » d'où »• = ;

3 cos' ^

l'erreur maxima relative est, par suite,

« = tang«?.

Soient 0M = /» un rafon t«çléur quelconque de (B); $ l'angle qu'il forme avec On) on a

p = arcosr^ — U'-+-M | = — ^ Icosô cos^^'-i- M-Hsinôsin(^'-h ^ j 1 ,

d'où

cos

(f-^f) .in(f+?)

cos' 7 cos' i-

valeurs confonMt à celles qui sont données dans le texte. (K.)

APPLIQUÉS AUX MAGHIIIBS.

D'ailleurs, on a visiblement, p et // étant les intersections de la corde et de Tare mn avec la droite Op qui divise en deux parties égales Tangle mOn =>p — \|;',

dé sorte que les trois nombres a, ^ et t peuvent encore ici être calculés très-facilement au moyen des Tables trigonométriques. Supposant, par exen>ple,

tang^ ou -r = IV^ = Oi707a*, tang^^' ou ^7 = tôV^ = o,3i6aa8,

on trouvera

a = 0,90104a, p = 0,4474, 1 = 0,0069990 <7fy.

112. Expression linéaire approchée du radical yjo^ — 6*, relative à des limites quelconques de a et de b. — Pour offrir une seconde application simple du principe posé en dernier lieu, nous nous proposons de trouver

la valeur linéaire et approchée du radical v^a'— ^. Faisant donc

et supposant qu'il s'agisse de déterminer a et ^ pour Tintervalle compris depuis T = ^ = cot>|/ jusqu'à -r = X^= cot>p', nous aurons à considérer (^g, 108) rhyperbole équilatérale cnm représentée par l'équation

et ayant Oc=c pour demi-axe réel, ou plutôt la portion mpn de cette

hyperbole, comprise dans Tangle aOb desab positifs, depuis la droite O/i, formant avec Taxe Oa l'angle nOc = ^'j jusqu'à la droite 0/7t,formant avec

4ia GOUES DB MECANIQUE

le même axe l'angle mOc = ^.Ory d'après ce qui précède, toute la difficulté de la question consistera à trouver l'équation de la droite n^n" qui divise en deux parties égales l'intervalle compris entre la corde mn de l'hyperbole et la tangente parallèle la plus voisine m'n^; car cette équation devra être identique avec l'équation c = (xa-h pb, et la limite de l'erreur aura pour valeur le rapport

nn" W __ On — OW

yj, >}', Yi' représentant les intersections respectives de l'axe Oa avec les droites m/i, m'n\ m'n' suffisamment prolongées.

Nommons a', b' les coordonnées de m et a', b" celles de /i, l'équation de la droite indéfinie mn sera

de plus on aura, pour déterminer a\ b\ a', V en fonction de H^, ^' et c, les relations

^!=COt^^, ^ = COtf, fl''-^»=C», a"^' ^ b"^ =. c\

desquelles on tire

V — b' __ a'-^a' V^i — tang* ^ •+■ yji — tang*\|;'

a'— a" b' -+- b' tang^J* y^i— tangH' -t- tang>^' ^i — tang*>|*

Observant que, dans cette expression, tang^^ et tang>{^' ne sauraient surpasser l'unité, on posera, pour la simplicité,

, .M / j» V b'—b' sinw-f-sinw'

tang^^ = cosw, tang4'' = cosw, dou -; -=-^- — .

^^ a—à' sm(w-f-w')

On trouvera pareillement, et dans les mêmes hypothèses,

,, .b'—b" I — cos(»-+- w')

a — (f sin(w-»-w)

Ces expressions sont susceptibles d'être ramenées à une forme plus simple encore, en posant de nouveau

on obtient, en effet, "par les transformations trigonométriques,

,^' -*'•// sin w -h sin w' cos ^ a' — a" ~ 8in(wH-w') ~" cosa '

,, .b'^b" I — cos(w-hw')

o — a' -7 '„ = — c — ^-— i ,-— =r — c tangd,

a'— a" sm(w-Hw) °

ÀPPUQUfiB AUX MAGHIHBS. ^2i

au moyen de quoi Téquation de la corde mn devient

, cos«y

Reste à trouver celle de laT tangente m'nf qui lui est parallèle. Or il est évident que, pour l'obtenir, il ne s'agira que d'écrire, dans la précédente, que m coïncide avec n ou que •>]/'= •>]/, &>'=&>, et partant ^ = 0,(7 acquérant ainsi une valeur inconnue <o que nous représenterons par c'. On obtient, d'après cette considération, pour l'équation de la tangente /7tV,

b = -> a — c tanga',

cos<r' ° '

dans laquelle on a, pour déterminer a',

I cos^ , cos^ ou coso^= »

COSO-' coso" cosa

puisque la tangente doit être parallèle à mn.

D'après cela, on aura évidemment aussi, pour Téquation de la parallèle

équidis tante m'n',

. cos^ r

b = a ( tango- -+- tango* ),

coso- 2^ ** ** '

Cette équation devant être identique à celle c = aa + ^é», on en déduit Gnalement

acos^ acos«îcos*i' 2C0S7

cos(T(langff-+- tango-') ~~ sin(o--+- 0-') ~ sin((T-+-o-')'

û ^ a 2Coso-coso^ acos'o-

^ ~~ tang 0- -H lang 0-' ~" sin(o- -t- 0^) "" cos<îsin(o- -h o')'

Quant à la limite f des erreurs proportionnelles qu'on risque de commettre, on la trouvera en observant que les équations ci-dessus des droites mn et m'n' donnent, en y faisant 6 = 0,

^ langffcoso^ sina ^ , . ,

Ou = c — - — V — =c — ij 0»j = csmo-', coso coso '

et parlant

Oyi —On' sina — sino-'cos^ sino — tan^a'coso- sinfo- — (/) 0»j-+-OV sina-f-sina'cos^ sino--H tanga'coso- sin (o--t- a')

113. Marche à suivre dans les calculs numériques, — Toutes ces quantités, comme on voit, se calculeront aisément au moyen des Tables trigonométriques.

A cet effet, ^ et X- étant les limites supérieure et inférieure du rap-

4^4 G0UE8 DE MÉCANIQIJB

port -r de sorte qu'on ait ^'> ^ > i, ou X- tout au moins égal à i, on calculera les angles &> et w' au moyen des relations

» = arc ( cos = r ) ' »'= 8rc*( co9= -p J >

ou

logcosu = lo — log/-, log cosw' = 10 — logA^;

après quoi on déterminera facilement les angles

et par suite l'angle a', donné par la relation

Cos<r'= r> ou logCOSO"'= 10 -+- logcos<i — logcos^.

Connaissant (t, fj' et 9 ainsi i|ae les logarithmes de C'OSo' et de cos^, on n'aura plus qu'à chercher dans les Tables les logarithmes de sin (er -h o-'), 8in(ar — a'), pour obtenir, par de simples additions ou soustractions, ceux de a, p et f .

114. Exemples particuliers et idée des limites d* approximation, — Afin d'acquérir une idée des limites entre lesquelles il est avantageux de

substituer la fonction aa-h^b au radical v/a'— ^', nous supposerons d'abord que l'on ait ^ = i, A' égal à un nombre quelconque plus grand que l'unité, ce' qui revient à admettre qu'on doive prendre les valeurs du radical depuis a = é», où il est nul, jusqu'au = ao6, où il se réduit à a. Or, cette supposition donnant

w = o, a = iw', ^=^w', cos<r'=i, (t' = o, « = i,

on voit que les erreurs commises pourraient devenir égales. à la valeur même dû radical quand a serait égal à 6 ou que b serait nul, etc., ce qui n'est pas admissible ; mais, quelque près que A soit de l'unité, pourvu qu'il soit plus voisin encore de X', on pourra toujours trouver une expression linéaire suffisamment approchée de \/«' — b\ Supposant, par exemple, X=:i,oi, ^=1,02 ou, ce qui revient au

môme, supposant qu'il s'agisse de prendre la valeur de v^a' — b" depuis a = 1 ,01 ^ jusqu'à a = 1 ,oa6, on trouvera

^ = ^^^ = 1' 33' 52^,1 5, (T = 9M3'i',45, a' = 9*» 35' 28',85 et c = o , oo6636, de sorte que l'erreur commise serait au plus -^ de v/a' — b^.

▲PPLIQUÉB AUX MAGHIIIIS. 4^^

Quant aux valeurs de a et de p, elles seraient, dans les mêmes hypothèses,

On a donc, à moins de yh près, pour Tintervalle compris depuis ^ = 1 ,01 6, jusqu'à a = i ,02e»,

 mesure ensuite que la limite supérieure X- du rapport ûb a k b s'éloignera de I, la limite inférieure ^ pourra elle-même s'en éloigner de plus en plus en s'^pprochant de l'infini, sans qu'on ait à craindre des erreurs graves sur l'approximation linéaire du radical. Supposant, par exemple, A* = 00 ou cos w' = o et X- = I , I , on aura

w' = 90°, » = 24' — 37' — 28", (T = 57«-i8'-44', cost/ = 0otff, (t'=5o**-5',

partant

On a donc

à moins de | près, pour toute l'étendue comprise depuis 6 = 0 jusqu'à 6 = 0,91a environ.

On trouvera de même que, depuis 6 = 0 jusqu'à 6 = {^, ou de a infini jusqu'à a = 26, on a, à moins de 0,0186 ou 37,

y/rt^ —6^=1,01 8628 « — o , 272944 à.

Il serait inutile de pousser plus loin cet examen, attendu que, dans les applications de la Mécanique aux machines, les radicaux de la forme

\/a^ — b^ sont rarement à considérer.

115. ^approximation linéaire des radicaux de la forme ^^'-h 6*-h c* ( ' ) . — Nous en dirons autant de ceux de la forme yjà* -h 6' -+- v* qui représentent

(* ) Méthodes nouvelles de transformation Unétùre de yja*-^ b*-k-c*, — M. Horvath {^Bulletin de la Société Philomathique de Paris ^ t. lY, décembre 1867) a

substitué à v^a'-h A'-t-c* le trinôme Xa-^ fib-^-vc dans des conditions telles, qu'en considérant a, b^ c comme les composantes suivant trois axes rectangulaire» d'une force F, Terreur relative commise soit aussi petite que possible, lorsque la direction de-^tte force reste comprise dans l'angle trièdre formé par trois droites OF,, 0F„ OF,, données par la nature même de la question. M. Horvatb arrive à une solution simple par la considération d'une sphère et

436 OOCBS »E HftCâTlQC»

la résoluate de trois fctftxs rectanpilaires catre cOes d situées dus l'espMc. DaiOeurs. si l'on cousait les linûtes entre lesqoeOes demeoreol oomftfis tes npporis d» composuites a. 6. r o« de leurs résnliantes par-

tielSes \'a^— tr,.^^ on poom Unf-onrs nmeDer oe c» an premier de ceu que Doos avons eiamixtés cass celle Note. ConnawBMit, pv exemple, ks

limites entre ksqoeîies se trcpuicfit conduis les rqiports de a à \^W^^ et de £> à r. on aura saocesRTCfDeBt

2, 5. z'. S' étant des nombres obtenus ooomie cela a été expliqué préoédeoament: mais ici les erreurs partielles rektires à chaque op^atiOB pourront bien s'ajouter, et. » Ton représente par ^ et ^ les limites des erreurs respectivement commises dans la premiêie el la seconde de œs opérations, la fJus grande eneur absolue qu*on risque de cooimettre sera évidemment exprimée par

quantité plus petite que 0 — ^'\ /?-— é^*— c*).

d*an plu; H. Retti [BmiUtim de U Soctetc Mmihemmtifme éÊeFramct, t. i,n*4} a repris la qac&tion par une méthode basée smr la cooiidération de dm sphères; cette méthode, tout en permettant de mettre les valeara À, ^, y sovf une forme elc^nte, fait reconnaître que la somme géométrique F peut sortir de l'angle trièdre admis comme limite par H. Horrath, pourra qu'elle reile comprise dans le c6ne droit à base circulaire, circonscrit au triédre. En désignant par f Tangle an sommet de ce cône, par c ^3, 7 les angles formes par Taxe da cône avec les trois axes Oa, O^, Or, on trouve

en*, t m^ 5 rrt* -/ ç

4 = » tt = * y = et « = tang* ~ «

COS* ^ COft' - cos* -

relations dont on peut déduire celles qui correspondent à deux Turinblei en faisant 7 = go**.

Si F peut occuper une position quelconque dans Tangle trièdre rectangle, c'est-à-dire si Ton ne connaît rien sur la grandeur relatire de a^ b^ c, on trouw

Si Ton sait que a > ^ > c, on a

>l^-r *«-i- c» = 0,939a H- 0,3896 H- 0,297 c et cs=o,o6o. (K.)

En particulier, si Ton sait seulement que «' > ô' -+- c' et b^ > c*, on aura

ot la limite de Terreur qu'on risque de commettre. sera, en observant qu'ici fl'-*- 6'-*- r*> 2(^'-+- c'), au-dessous de la quantité

IL — Sur le moment total et le bras de levier moyen des résistances dans la vis à filets carrés on triangulaires et les cônes de friction.

4i6. Recherche du moment total des résistances dans V hypothèse où la charge se trouverait répartie proportionnellement à l'étendue de la projection des éléments hélicoïdes, sur un plan perpendiculaire à l'axe. — La question à traiter dans cette Note consiste à rechercher la somme des moments du frottement sur les difTérenls éléments hélicoïdes dont se compose la surface du filet de la vis. Nous commencerons par rappeler succinctement la solution que nous en avons donnée dans la lithographie de l'année 1826, en prenant pour base les considérations du n"" 83 et en admettant, comme on le fait ordinairement, que la charge Q, qui agit parallèlement à l'axe de la vis soit distribuée, sur les éléments hélicoïdes de cette vis, proportionnellement à l'étendue de leurs projections sur un plan perpendiculaire à cet axe; ensuite nous essayerons d*en donner une solution fondée sur des hypothèses qui nous paraissent plus conformes à la nature physique des corps.

Considérons, pour plus de généralité, la vis à filets triangulaires, qui nous a occupé aux n°* 82 et suivants; conservons d'ailleurs toutd#les conventions et dénominations du premier de ces numéros; nommons de plus

r' le plus grand rayon des filets;

r' le plus petit de ces rayons ou celui du noyau;

€lQ la portion de la charge totale Q, qui agit sur l'élément hélicoïde ayant pour projection horizontale la couronne circulaire dont r est le rayon moyen, dr la largeur et iinrdr la surface;

dp la portion de la puissance horizontale /?, qui fait directement équilibre à la charge dQ et au frottement qu'elle fait nattre sur l'élément hélicoïde considéré.

Il est clair» d'une part, et d'après la supposition ci-dessus, que la charge élémentaire dQ aura pour expression

rin — ^^^^^ n ^^^^ o

4^8 G0DR8 DB HtCAllIQUB

d'autre part, que la puissance dp qui lui correspond sera donnée par la dernière des relations du n** 83, en y remplaçant Q et /? par dQ et dp. On aura donc

airrsinôv^A*-+-47rV'— //iv^A'8in*6-+- 4^^*/"*

et, par suite, pour le moment total des puissances dp^ dont p serait le bras de levier moyen ;

Cette formule^ due à M. Persy, se ramène aisément aux transcendantes elliptiques, et elle n*est, en conséquence, point intégrable en qnantités finies ; mais, le fût-elle, on aurait peu à gagner à en rechercher l'expression générale, à cause de sa complication. On doit ici se borner à une simple approximation ; or, si Ton met la fraction comprise sous le signe d'intégration sous cette forme

cot<i/i-»-cot*/7 -i- -^—T v/i-Hsin*6cot'tf

\/i -+- cot\/ r— 7 cot^ i/i -h sin'^ cof//

puis que, ayant posé

-~T = fi cotrt = — z, s\nb = b', cosb = b^,

ou la développe en série suivant les puissances ascendantes de z, qui est toujours moindre que l'unité, elle deviendra

r -, f, h ---=A,-T-A,g-HA,3^-r-A33'^-4-A,&'4-A,3^-4-...,

série dans laqneQe on a

A. = I -^f'\ A, =/'^(i ^p) - 1/'^*» - \pb-\

et qui est tellement convergente pour tous les cas d'application , qu*il sera suffisamment exact d'en retenir seulement les trois premiers termes. Substituant donc celte série à la fraction qu'elle représente dans Tintégrale ci-dessus, et intégrant ensuite de r' à r\ après avoir remplacé éga*

APPLIQUfiS AUX MACHINES. 4^9

lement z par sa valeur — > on obtiendra finalement

pp = 1 rdp = - ; 5 OA,H QA, H —-, 7- OA,

Q log -î A3,

'^Im-'t w,Vi

a aîT Tz^\r^—r

nouvelle série dont il suffira également de retenir les trois premiers termes seulement et qui fournit des valeurs de p^ qui diffèrent, en général, très-peu de celles qui se concluent directement de la formule du n° 82 du texte.

il 7. Cas particulier de la vis à filets carrés, — Supposons, par exemple, ^'ou sin6 = i, ce qui se rapporte au cas de la vis à filets carrés, il viendra

/'=/, A.=/, A. = i-hA A,=/(i-^/'),

valeurs rapidement décroissantes et dont la loi est manifeste ; on aura donc

-+-/'(! -+-/') ^s-p,^r7«-j log p -+-... ;

mais il est aisé de reconnaître que, dans le cas particulier qui nous occupe, l'intégrale est susceptible d'une expression finie; car on obtient, soit par la sommation des derniers termes de la série ci-dessus, soit directement par la considération dé la forme rationnelle que prend alors cette intégrale,

^ • 3 r'-t-r" -^ ' ' ' air " - ' ' ' ^n'(r'-hr')

On a en effet ici, à cause de sin^ = i (82),

r'^^r''\j {j ^ "^ ^ a?? "^ 47r' 4Tr='(a7rr— //<) J '

43o COURS DB MfiGANIQUS

intégrale qui, prise depuis r = r' jusqu'à r= r\ redonne évidamment le résultat qui précède.

118. Cas particulier des canes de friction, — Considérant encore le cas de A = o, qui se rapporte aux cônes de friction ou aux snr&ces coniques frottantes, il viendra sur-le-champ

P^--^ PIT^* -^^-3 r'^r" %\Jih'

et comme on a aussi, dans les hypothèses actuelles, au moyen des valeurs ci»dessus de dp et de </Q,

rdr fQ

sinb sinO il en résulte, pour la valeur du bras de levier moyen du frottement,

^~ 3 r'-hr" '

expression qui est la même que celle du bras de levier moyen des couronnes circulaires frottantes (37).

Quant à la valeur du bras de levier moyen p du frottement dans le cas général des vis à filets triangulaires ou carrés, on Tobtiendrait pareillement enroulant d'abord la valeur de p pour la relation

puis divisant par cette valeur celle do pp obtenue ci-dessus; mais ces calculs seraient absolument sans intérêt.

119. Réflexions critiques sur V hypothèse qui sert de hase à ta solution précédente, — En effet, l'hypothèse sur laquelle ils se fondent et qui consiste à supposer que la charge Q se distribue uniformément sur la surface de la projection horizontale, cette hypothèse est trop précaire pour qu'elle puisse conduire à des résultats rigoureux dans les applications, et elle ne paraît pas même appuyée de considérations physiques plausibles. A la vérité, il semble assez naturel, au premier aperçu, de l'admettre pour le cas des couronnes éirculaires frottantes (37); néanmoins, on remarquera que la supposition d'une répartition uniforme de la pression sur les éléments des surfaces en contact entraîne forcément avec elle la conséquence d'une intensité de frottement proportionnelle à l'étendue de ces éléments et, par conséquent, d'une altération, d'un usé d'autant plus rapides que ces mômes éléments sont plus éloignés du centre de

ÀPPLIQUfiB AUX MACHINES. ^3l

rotalion ou parcourent de plus longs chemins. Or cette irrégularité de Fusé ne peut se concilier avec Thypothèse de la répartition uniforme de la pression, à moins de supposer que les parties voisines de Paie ne s'affaissent progressivement ou ne se refoulent réciproquement, de manière à rétablir sans cesse l'égalité du contact ou de la compression du centre à la circonférence ; ce qui n'est pas admissible, en général, pour toute espèce de corps, ou pour tous les modes d'action de la force qui produit la compression dans le sens parallèle à Taxe : il y a tout lieu de croire que, dans la plupart des cas, la pression et le degré de rapprochement des surfaces frottantes seront plus grands vers le centre qu'à la circonférence, de sorte que le bras de levier moyen du frottement et, par conséquent, son moment seront aussi plus petits que ne le comportent les formules (37) déduites de l'hypothèse dont il s'agit; mais comme, en définitive , on est obligé de négliger dans les calculs une foule de circonstances qui tendent à augmenter, d'une manière plus ou moins sensible, l'inOuence des résistances passives, il ne saurait y avoir aucun inconvénient, pour le cas des surfaces planes, à admettre la supposition qui donne la plus grande valeur au moment de ces résistances.

On voit, d'ailleurs, que la loi de la distribution des pressions dépend essentiellement de la constitution physique, de la forme des corps et du mode d*action des forces, de sorte qu'on ne peut rien préjuger à l'avance sur la nature de cette loi, ni même sur celle de la proportionnalité du frottement à la pression pour les différents éléments des surfaces en contact, loi qui n'a été jusqu'ici constatée que relativement aux corps qui glissent l'un sur l'autre dans une direction invariable : c'est évidemment par des expériences du genre de celles entreprises par l'illustre Coulomb, sur le frottement des pointes de pivot (*], qu'on pourra arriver à la découverte de ces lois, dont l'importance et l'utilité pratique ne sauraient être mises en doute.

120. Hypothèse sujette à contestation. — Quoi qu'il en soit, et en admettant même comme vraie l'égalité des pressions sur les éléments égaux des surfaces frottantes, ce qui revient à supposer constante la pression sur Tunité de ces surfaces, on n'en est pas pour cela autorisé à admettre, dans le cas de la vis à filets triangulaires, que la charge se distribue proportionnellement à l'étendue de la projection horizontale de chaque élément, comme nous l'avons fait précédemment ; car Tinclinaison de ces éléments variant avec leur position par rapport à Taxe, cela revient dans le fond à supposer une inégalité effective de la pression nor-

(') Voir le recueil de divers Mémoires de cet auteur, {publié par M. Bachelier, libraire, sous le litre de Théorie des machines simples.

« 432 COURS DE MÈGANIQUB

maie sur Tanité de surfiice de ces mêmes éléments, et notamment une pression d'autant plus petite que chaque élément se trouve moins incliné ou se rapproche davantage de la direction verticale qui est celle de l'axe de la vis. Or il y a d'autant plus lieu de ne point admettre cette supposition que, d'après les réflexions ci-dessus, il semble naturel, au contraire, de penser que les pressions des parties voisines de Taxe, et qui tendent à s'user le moins rapidement, devraient être supérieures à celles des parties qui en sont éloignées.

i2i. Solution générale dans cette noupcUe hyp^tkèse. — Pour trouver, d'après la considération d'une pression constante sur l'unité de sur&ce, la valeur de la puissance p qui fait équilibre au frottement et à la charge Q de la vis, dans la supposition la plus générale, nous reprei^drons l'analyse du n** 87 et, appelant n cette pression constante pour les différents éléments hélicoïdes de la vis et de l'écrou, nous remarquerons que l'aire de l'élément qui a pour projection horizontale la couronne circulaire ^itrdr, de rayon r et de largeur </r, est mesurée par l'expression

iTrr/r sin^

attendu que 7 est l'angle d'inclinaison constante de cet élément sur l'axe de la vis; par suite, la pression normale et totale c/N, supportée par ce même élément aura, de son côté, pour expression,

sin^

Substituant cette valeur et dp^ dQ à la place de N, /? et Q dans les équations du numéro cité, on aura

au — n I iT.rdr H '■ rdr : rdr \ ^

\ sin^ ^llly /

, / sini^ , j. sin/î , \

dp= n\ a r rdr -h 2 / tt rdr \ >

'^ \ siny '' %\iiKf j

ou, en mettant pour sina, cos^, sin<f> leurs valeurs en fonctions de r (83),

rdp ^ n hrdr -r- -^-j - — r*dr 1 •

Intégrant ces différentes expressions depuis r = r' jusqu'à r = r', en considérant n comme constante, la première donnera la valeur de n ; substituant ensuite cette valeur dans les deux autres, elles donneront

celles de p et du moment total pp j rdp des puissances horizontales p.

ÀPPLIQUfiB AUX MlGHlUKS. 4^^

122. Cas particulier des cônes de friction, — Considérant d'abord le cas particulier des surfaces coniques froltantes, on fera h = o dans les équations ci-dessus, qui donneront, par 1 intégration,

^^ 0 fQ

7t[r" — r'"') (I -t-/cot6)' ^ sin6-f-/cos6'

I rdp

^^~3 r'-r-r" siab-hfcosb

La valeur de p s'accorde, comme on voit, avec celle qui a été proposée, pour Je même cas, dans le n** 86 ; de plus, le rapprochement de cette valeur et' do celle de pp montre que le bras de levier moyen du frottement doit être ici calculé par la formule *

qui appartient aux couronnes planes circulaires (37); enGn cette expression de p est aussi celle qui a été trouvée précédemment dans Thypothèse où la charge Q se trouverait répartie uniformément sur la projection horizontale de la surface frottante des cônes, ce qu'on devait prévoir a priori, puisque, Tinclinaison des génératrices de ces cônes étant constante, les pressions, pour Tunité de surface des parties frottantes et de leurs projections sur un plan perpendiculaire à Taxe, doivent aussi être entre elles dans un rapport invariable.

123. Cas particulier de la vis à filets carrés. — - Considérons encore le cas simple de la visa filets carrés pour lequel 6 = 90**oucot6 = o,sin^= i, on aura, après avoir intégré les valeurs de ^Q, dp, rdp de r'== r" k

Q ..^n^'-^f^ir'^r")

I r^n „„ ^-;/,(r'+r')^i/Tr(r"+r'r'+r")

Faisant les expressions de/? et de /^p prendront la forme très-simple

«.«i^A^tfAtfiÉÉftite. ■; .

434 coca» Dft MlGAïaQUl

d*oà l'oB dédttit, pour Texpression du bras de levier moyen p des puis-

valeur qui se confond sensiblement avec celle de r^ quand r^ diffère luimême très-peu de p^.

Supposant, par exemple, r' — r" au-dessous de | r, ou r' < | /••, on aura p, = r, à moins de jj^ près (37), ce qui justifie la méthode de calcul proposée dans le texte pour la vis à filets carrés, puisqu'ici d'ailleurs la valeur de p est précisément celle qui correspond au filet moyen dont r, = f (r'4- r") est le rayon.

124. Recherche des intégrales relatives an cas général de lavis à filets triangulaires par les considérations de la Note I, — Revenons maintenant au cas général de la vis à filets triangulaires; on aura d^abord, pour calculer la valeur de la pression n sur Tunité de surface de ces filets,

Q = « I ir(r'^ - r")-+-/cotA f^ v^/i'sin'/» -t- 47rV~*/ir

fh /^''V//^8in^^4-4^'r»^^1

et ensuite, pour déterminer p ei pp^

f A / ' »\ ^/^ r ^ v^/''sin^^-+-4rV , 1 /? = /? A (r' — r') -H -^^ I I ^ — rdr \ ,

rdp = n\\h[r'^- r"')-^—-. j 1_____1-^ r Vr .

Reste à trouver la valeur des intégrales qui entrent dans ces diverses expressions; or on a immédiatement*

v//i*sin'6H- 4^V'r/r

= ir\//i'sin*6-+-47r'r'H log (inr-^- ^h^sÏR^b -t- 4r"jc'k--

Posant ensuite

/i»-f-4Tr»r»=A'C0S*6x*,

APPUQUÉI AUX MACHIUBS. 4^^

il viendra

v//i'sin'^ -f- ^Tz^r^ ^^

et, par conséquent,

v/>i^8in]^j4-jTtV>

- ^g^^f ^ log (^//?n^^^ -h v/A'8in'6-+-4^V»),

cette intégrale et la précédente devant toujours être prises depuis r^^r" jusqu'à r= r', et le logarithme qui entre dans la dernière étant hyperbolique.

Quant aux deux autres intégrales

I — : — fir. I - — ^ — r^dr,

on se convainc aisément qu^ellcs dépendent des transcendantes elliptiques et ne peuvent s'obtenir en quantités finies ordinaires, de sorte qu'on doit se contenter de les évaluer par approximation.

• A cet effet, on réhiarquera qu'à cause de cota on a

, // ffa /V^*sin'^-t- 47rV . , . ,,. . .

flr = r-î I - — , — = smfc»vn-cot^c»sm'«.