fi-MM,,e ^e I.I.3.5 ii^ta

S'= - 1 — ^ -h log - /7-z"- H a. z"'

ff.4

séries dans lesquelles on prendra

1 i ["1 — ^ 1 /i — fr>y 1 /i — 6) Y 1 /i — mV n

°w"~ L^"^" 3\i-f-w/ ^5\iH-w/ 7\i-^-w/ •"•J'

si mieux on ne préfère calculer directement ce logarithme, qui est hyperbolique.

APPLIQUfiB AUX MÀGHINBS, 44 <

Les séries dont il s'agit seront rapidement convergentes dans les cas ordinaires de pratique, attendu que &> sera toujours fort près de l'unité

et z' au-dessous de - ou de ^, et comme les quantités a„ o^^a^^,,,^ qui

donnent des signes alternativement positifs et négatifs aux termes des séries où elles entrent, seront nécessairement des fractions assez petites de a,= 1, il arrivera, dans la plupart des cas, qu^on pourra borner Tapproximation aux deux premiers termes des valeurs de R', S', T' et U'; substituant alors ces valeurs ou celles de R, S, T, U à la place des intégrales qu'elles représentent dans les équations

0 = ,1 ^T.[r'- r-) -^/rolM\ - ^^ t]

-= nTzr'^l 1-, ^i-^ 2l^ [Kco^b -T z") 1,

Lw* Slll/> J

p, -. ,. [^,,[r-- ,")-. ig u] . «.., " [(-;,-,) .'... ^^^U'],

obtenues plus haut, on en conclura sur-le-champ la valeur de n et, par suite, celles de /?, p^ et p, dont la dernière est d'ailleurs indépendante de n,

127. Comparaison des résultats que fournissent les nouvelles formules et celles du /i" 87 du texte ; i* poitr les inclinaisons très-grandes des filets. — Pour apprécier maintenant jusqu'à quel point les résultajts déduits de ces formules peuvent différer de ceux qui se rapportent à la formule du n** 87 du texte, où l'on prend pour bras de levier de p le rayon y (r'-+- r') de l'hélice moyenne des filets de la vis, nous admettrons les données du premier des exemples traités au n** 88, d'après lequel on a

/— 0,1, ^":= sin*Z> = cosV; = -î

COtrt — — — T -- — - ou // -- - 7r(/''-f- r*),

et, par conséquent, z" - ^ > - , circonstance qui est la plus défavorable

possible sous le rapport de la convergence des séries ci-dessus, mais qui ne se présente jamais dans les applications relatives à la vis à filets triangulaires, et qu'on doit seulement considérer comme propre à donner une

44^ GOimS BB MtCANIQUI

idée de la limite des écarts que peuvent présenter les résultats des diverses méthodes de calcul qui nous ont occupé. D'ailleurs on voit, pour la valeur ci-dessus de h^ que celle de z' s'approchera d'autant plus de Funité que r' différera davantage de r" et qu'elle Tatteindrail précisément si l'on avait r'= 3r', supposition inadmissible dans le cas qui bous occupe de ^ = 45*) mais que nous adopterons avec les précédentes, afin d'obtenir la limite des écarts relatifs à l'hypothèse qui consiste à prendre

pour bras do levier moyen des résistances le rayon - (r' -+-/•') ici égal àar".

Faisant b'^= - dans les expressions de a,, /7„ a^, a^j ...^ on trouvera d'abord

^tf~*7 ^.^— — o,îfc5, «,= 0/21875, /7g— -— 0,19531, '^^ 0,177^^» ^10- — 0,16-2964, /i„=o,i5i565,

valeurs qui décroissent continuellement, mais d'une manière excessivement lente. Observant ensuite que z' = i , w = - ? on trouvera

log - = log3 = 1 ,09861*2,

pourvu que l'on pousse très-loin le calcul des termes qui entrent dans les trois dernières séries, dont les valeurs, exactes à moins d'une unité de la troisième décimale, ont d'ailleurs été obtenues par un procédé d'approximation moins laborieux, mais dont Texposé général ne serait point ici à sa place.

Substituant enfin ces valeurs de R', S', T et U' dans les équations en Q, s, Pj p ci-dessus, elles donneront

/> — o^ôjo'îQ, 0 -- 2,o383/*, pp = 1 ,36630/* ".

D'après les résultats du n° 88 du texte, qui se rapporte aux suppositions actuelles, on aurait

/> = o,66Q, P-- \(r'-^r") = ir\ />p = i,32Qr';

on voit donc que la formule du n" 87 conduit à des valeurs un peu faibles, principalement quant au moment pp qu'il est surtout essentiel de considérer ; mais, comme la différence relative à ce moment, ne s'élève qu'au -iV environ de la plus forte des deux valeurs ci-dessus, qui doit être censée la plus exacte, on pourra, dans bien des applications pratiques, se con-

APPLIQUta AUX MÀCHIH18. 44^

tenter d'une pareille approximation et se borner à remploi de la fonniile du n"* 87 pour la facilité des calculs.

2** Pour les faibles inclinaisons des filets sur l'axe de la vis, — Considérant le cas où les filets de vis seraient trè»-peu inclinés sur l'axe, on supposera, comme dans le second des exemples du n* 88,

cotfl=-7— ; ^- = 0,04,

ic[r'"h r")

et toujours cot^ = i, ou sin6 = \^'x = 0,7071, de sorte que, si la vis est à filets simples, on aura /*'— /*"= ^A, et, par suite, en combinant cette relation avec la précédente,

r'==: 1 ,13409/*, w -r -j. — 0,88177, log- =0, 12583,

ce qui montre qu'on pourra, sans inconvénient pour l'exactitude, négliger tous les termes des séries de R', S', T', U' qui contiennent z" à des puissances supérieures à la deuxième ; moyennant quoi on aura simplement

Substituant ces valeurs et les précédentes dans les équations en Q, p et p, on en déduira

p -~ Oyi65yQj p = i,o684/'", pp = o,iBiiyQr''y

tandis que, d'après les résultats du n° 88 déduits de la formule du n*" 87, on aurait

pp = o, 1649. ï , 06705. Q;"= o, I75960r*.

Ces valeurs, comme on voit, difiTèrent encore moins de leurs correspondantes que dans le premier exemple, ce qu'on pouvait prévoir à l'avance, puisque les résultats des deux méthodes doivent rigoureusement se con-

444 COURS DB MÉCANIQUB APPLIQUÉE AUX MACHIKSS.

fondre lorsque r' = r* ou w = i , et qu'ici w diffère, en effet, très-peu de l'unité. On serait même étonné, vu cette faible différence, que les r^ltats ne se rapprochassent pas davantage pour le cas qui nous occupe, si Ton n'avait égard à Ténorme influence qu'y exerce le frottement en raison de la faible inclinaison des filets. On pourrait s'assurer en effet, par un nouvel exemple, que, pour les valeurs de cota intermédiaires entre celles des deux précédents, la différence entre les résultats fournis par la formule du n° 87 et celles de cette Note est plus petite que nous ne venons de le trouver, même quand la saillie des filets est très-comparable au rayon du noyau, en sorte que, dans ces conditions, il sera suffisamment exact de s'en tenir à la formule du n"" 87 du texte ou même à celle du n® 83, qui, donnant des valeurs un peu plus fortes pour /?, corrige, en partie, le défaut d'exactitude de la première.