Des résistances dans les pièges a mouvement variable

PÉRIODIQUE ou PERMANENT (<).

1. Pbservations générales relatives au casoà le mouvement ^ quoique variable^ est périodique ou permanent. — Jusqu'à présent, nous avons supposé les variations de la force vive des différentes pièces nulles ou tout à fait insensibles, en sorte que les puissances et les résistances qui les sollicitent étaient censées se faire constamment équilibre; il s'agit maintenant d'examiner ce qui arrive lorsque les changements de la vitesse* entre deux posjtions données, sont appréciables, quoique toujours renfermés entre des limites plus ou moins resserrées.

Considérons toujours une machine composée de plusieurs pièces ou machines simples, et remarquons que le principe des forces vives a rigoureusement lieu pour chacune de ces pièces prises séparément, en la considérant comme soumise, d'une part, à la résistance active Q, qu'il faut appliquer à la pièce suivante, du côté de l'opérateur, pour vaincre toutes les résistances réunies en y comprenant l'inertie des masses; de l'autre, à la force motrice P qu'il est nécessaire d'appliquer au point d'action de la pièce précédente, pour vaincre et la résistance active Q et les résistances passives de celle que l'on considère en y comprenant l'inertie des masses qui y entrent. Or si, comme on le suppose expressément dans la théorie des machines en mouvement, la force vive des différentes pièces demeure comprise entre des limites ûxes et ne fait simplement qu'osciller entre ces limites, en redevenant constamment la même après un certain temps; si, de plus, on suppose qu'il

(') Extrait de TéditloD de i8a6.

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n'y aît point de choc, refifel de Tineriie se bornera, pour chacune d'elles, à faire varier continuellement les efforts Q et P exercés par la résistance active et par la force motrice» de façon que, au bout d'un certain temps, la force vive étant redevenue la même, il n'y aura eu d'autre consommation d'action, de la part du moteur, que celle qui est nécessaire pour * suriAfl|ter la résistance qui provient réellement du travail de la mMÉoe et les diverses résistances qui naissent des prèssion3 souffertes par les parties mobiles e| en contact. Maintenant il est essentiel de remarquer que les forces d'inertie

m -j-> que nous avons désignées, en gênerai, par 9 au n* 36,

Section I, et qui sont dues à la variation de la vitesse dans chaque élément du temps, il faut remarquer, dis-je, que ces forces, combinées avec les forces variables P et Q qui sollicitent la machine simple que l'on considère, modifient la pression et les frottements qui auraient lieu sur les appuis dans la supposition d'un mouvement exactement uniforme; la question est d'examiner si les quantités d'action totale, absorbées par les résistances passives, ont été ou non altérées par suite de la variation de la force vive.

2. Relation générale entre les travaux des puissances et des résistances des pièces de rotation^ en ayant égard à la varia-tion de la vitesse et de l'intensité des forces. — Considérons donc une machine composée de plusieurs pièces qui se transmettent la vitesse de proche en proche; nous supposerons que ces pièces soient à mouvement continu et disposées de manière que leurs vitesses géométriques demeurent dans des rapports invariables, ce qui est le cas de la plupart des machines employées dans les arts. Nous admettons, toutefois, que la première et la dernière pièce, c'est-à-dire le récepteur et l'opérateur, puissent être des pièces à mouvement alternatif, conduites par des manivelles, des excentriques, etc. Cela posé, voyons ^influence des variations de la vitesse dans les pièces de rotation intermédiaires, qui se composeront ainsi de poulies, de treuils, de chaînes, de vis sans fin, de roues d'engrenages, etc., telles que celles dont nous avons

APPLIQUÉS AUX MACEIKES. .44?

jusqu'à présent examiné les conditions d'équilibre ; en supposant le mouvement exactement uniforme et les puissances qui y sont appliquées constantes, il résultera de ce qui précède que, la vitesse étant variable, les efforts? et Q qui sollicitent chaque pièce le' seront aussi, de même que les résistances passives, et que l'équilibre n'en aura pas moins lieu, à chaque instant, entre ces différentes forces, pourvu que l'on comprenne parmi elles les forces m -7- qui, appliquées à chacune

des masses m, en sens contraire du mouvement, seraient capables de détruire l'accélération de vitesse qui a réellement lieu. On aura donc, pour chacune des positions de la machine simple que Ton considère, une équation analogue à celles qui ont été établies précédemment, et dans laquelle chaque terme sera le moment d'une certaine force ou le produit de cette force par son bras de levier. Or on a dû remarquer que toutes les résistances passives des pièces de rotation, excepté celles qui proviennent de la pression sur les tourillons, sont ou èonstantes ou proportionnelles simplement à Q, et que d'un autre côté leurs bras de levier demeurent constants (').

Nommons p ei q les bras de levier de P et Q à un instant donné, a celui des résistances constantes A, b celui des résistances passives proportionnelles à Q et qu'on peut représenter par BQ, enûn p le rayon des tourillons ou le bras de levier de leur frottement /'N, et r le bras de levier de la force motrici^'0|^pliquée à la masse élémentaire m, lequel n'est autre choséy ^idemment, que la distance de m à l'axe de rotation; on aura pour exprimer l'équilibre à chaque instant,

Pp^Qq-hAa-h BQ6 H-/Np -f- l(^r,

(*) Il n'y a d'exception que pour le seul cas des engrenages, attendu que la pression normale éprouTée par les dents et le braa de levier du frottement sont Tariables en général d'une position à l'autre dea roueaj mais nous avons déjà fait remarquer que, pendant le très-petit instant où une dent est en prise, on peut, sans aucune erreur sensible, supposer la résistance active Q constante, et, calculant en conséquence la valeur moyenne du frottement censé appliqué aux cireonférences primitives des roues, substituer à la véritable résistance cette résistance proportionnelle à Q.

équation dans laquelle il faudra attribuer aux forces

dv <f = m-7j le signe qui leur convient et qui est celui même

de rfi'.

Soit, en général, dO l'angle élémentaire décrit par un rayon quelconque du treuil, dans Tinstant infiniment petit où Ton considère l'équilibre des forces; en multipliant par «^0 tous les termes de l'équation, chacun d'eux exprimera le travail élémentaire de la force correspondante dans l'intervalle dont il s'agit; car qdO, par exemple, ne sera' autre chose que le petit chemin décrit par le point d'application de Q dans sa direction propre, etainsi des autres. Prenant donc l'intégrale de chaque terme entre deux instants quelconques, l'équation donnera la quantité d'action totale que devra dépenser la puissance P sur la machine; on aura ainsi

CvpdQ:^ Ç QqdQ-^-Aae-h— fOqdO

^- ffp'Sde-^lm f^^^rde.

puisque nous supposons les bras de levier q,a,h^o constants^ Cette relation revient au fond à celle qui a été posée et discutée en général, aux n*»2l et suivants (Section I), si ce n*esi que le centre de gravité du treuil est ici censé sur Taxe de rotation; en supposant qu'il en fût autrement, il faudrait ajouter au second membre un nouveau terme d= MH relatif au poids M de la machine; or nous avons fait voir (22, Section I) que ce terme, ainsi que celui qui est relatif aux forces motrices f , disparaît de l'équation toutes les fois que l'on prend les intégrales entre deux instants où la position et la vitesse des différentes masses sont redevenues les mêmes, ce qui est précisément l'hypothèse d'où nous sommes parti (1); du moins nous avons supposé que le temps pour lequel on prend les quantités d'action ou les intégrales comprend une série de révolutions de la machine assez considérable pour que la variation de la force vive puisse être regardée comme insensible par rapport à la quantité d'action totale développée par la puissance ou consommée sur l'outil, en sorte, que le mouvement est censé

devenu permanent, quoique périodique. Maintenant on voit que la difficulté d'avoir la quantité d'action de P se réduit uniquement à avoir celle de i fiddy puisque celle de

Qq 6d est censée donnée directement par l'expérience ou par le calcul établi sur la pièce précédente.

3. Circonstances du mouvement variable où l'on pourra calculer les diverses quantités d'action des puissances et des ré-sistances. — Pour être en état d'exécuter l'intégration, il faudrait, en effet, connaître, en fonction de 6, la valeur des quantités P,Q et 9 qui entrent sous le radical de N, aussi bien que celle de la force centrifuge qui tend également à presser les tourillons et qui est variable à chaque instant avec la vitesse et la position du système; or c'est ce qui n'est pas, du moins en général. Heureusement il arrive presque toujours, pour les machines bien construites et bien établies, que cette difficulté disparaît entièrement, soit parce que les pièces de rotation sont exactement centrées ou symétriques par rapport à l'axe, soit parce que les puissances P et Q sont elles-mêmes distribuées symétriquement autour de cet axe ou sont parallèles entre elles et au poids M du treuil. D'une part, la somme des pressions dues à la force centrifuge est évidemment nulle à chaque instant et pour chaque position du treuil, aussi bien

dv que toutes les forces élémentaires 9 ^^^~ji^ Q^î s^"^ distribuées symétriquement autour de l'axe et sont égales deux à deux, quoique de direction contraire; de l'autre, le radical qui ne contient plus que les forces variables P et Q et le poids constant H s'abaisse au premier degré: par exemple. Il est rare que l'axe ne soit pas ou horizontal ou vertical; dans le premier cas, les efforts P et Q sont ordinairement parallèles et verticaux, en sorte que N se réduit à la somme de P, Q, M pris avec les signes convenables; dans le second. M; disparaît du radical et P, Q sont parallèles et horizontaux, ou bien Q se compose de plusieurs puissances égales et dSiyfbuées symétriquement autour de l'axe, en sorte que

45o CODBS DE HSCÀMIQOt

l'effort qui en résulte sur cet axe est nu[; mais, en admettant même que P et Q forment les angles constants a et^ avec la verticale ou la direction du poids M, leur résultante N éUDt de la forme v'(M -i-Pcosa + Ucosj3)' +(Hsin«-*-Qsinpj' ou en général ^a' -+- (»% on pourra remplacer sa valeur par l'eipression rationnelle aa! + 66, conformément à la Note I, Section 111. Ainsi, pour tous les cas qui arrivent ordinairement dans la pratique, non-seulement l'équaiiOD posée ci-dessus ne renfermera aucune trace des forces <p et de la force centrifuge, mais, en outre, elle sera linéaire dans les deux intégrales

/ Ppd6, I Qqdô, dont l'une est le travail de la puissance

motrice qu'il s'agtt de calculer, et dont l'autre est celui de li résistance active censée donnée ou déjà calculée pour la pièce précédente; Il sera donc très-facile d'obtenir la valeur de la première d'une manière sufilsammenl approchée, par la résolution d'une équation du premier degré.

k. Dans lei pièces à mouvement continu dont il s'agit, il est permis de remplacer les vitesses et les forces variables par leurs valeurs moyennes. — Maintenant je remarque que. si l'on suppose Q et P remplacés par leurs valeurs moyennes, celle de Q étant déjà donnée ou trouvée, et qu'on procède au calcul du travail que doit développer P, en regardant le mouvement comme exactement uniforme et de la manière qui a été expliquée dans le cours de la Section III, le résultat auquel on parviendra ne différera en aucune manière, ou du moins ne différera que d'une quantité tout à fait négligeable, du ci'lui qu'on obtiendrait en ayant égard à la variation de la vit(^ssi' et des forces, comme on vient de le montrer précédemment. Ainsi, dans les circonstances très-étendues dont il s'agit iri, on pourra, pour toutes les pièces à mouvement de rotation conlinu, établir le calcul de la force mouici' comme slallodevuiniirc constante, cl réduire la Jifficulléde la question 0 celle do déterminer les rapports des quantiics dactioa j

/ PpdO j iiqdO, pour les pièces extrêmes do,

seraient à mouvement alternatif, ce qui rentf

APPUQOÊl AUX HACHUISS. ^St

toute particulière des moteurs et des outils, dont ii ne peut être question ici.

Celte conséquence justiQe d'ailleurs a potleriori et complètement ce qui a été dit ou avancé dans les Sections I et III, relativement à la manière de calculer la force motrice ou les résistances passives d'une machine, quand la vitesse, quoique périodique et permanente, est cependant variable à chaque instant. Nous supposons, il est vrai, que les pièces de rotation qua l'on considère sont exactement centrées et symétriques autour de l'axe; effectivement, il est de la plus grande importance qu'elles le soient, pour éviter les causes de l'irrégularité du mouvement et tous les inconvénients qui peuvent naître de l'action de la Torce centrifuge et des forces motrices (p sur les tourillons des pièces. Il n'y a véritablement que des cas très-rares, même dans les mauvaises machines, où ces conditions ne soient pas remplies à très-peu de chose près. Hais en supposant même que les forces <f et les efTorts sur l'axe provenant des diverses masses m ne s'entre-délruisent pas, comme la vitesse et la force vive ne font qu'osciller entre des limites qu'on suppose resserrées, et que les directions de ces différentes forces changent périodiquement avec la position de la pièce de rotation à laquelle elles sont appliquées, il arrivera que leur résultante agira périodiquement, tantôt pour augmenter, tantôt pour diminuer la pression des tourillons, en sorte qu'il y aura à peu près compensation.