application du théorème de Thomas Simpson au calcul
approximatif de log - • — EnOn, pour mettre à même de cal-
culer la valeur du logarithme népérien de -9 dans le cas où
P Ton serait dépourvu de Tables, nous rappellerons que, d'après
le théorème de Thomas Simpson (Sect. I, première Partie,
n** 9 ), si Ton partage seulement la différence entre P et ^ en
deux parties égales, on aura approximativement
jp p
ifP 8(P^p) pi
-"bL/^ P-^P Pj
et dans tous les cas où le rapport de P à p n'excédera pas 4)5,
ce qui a rarement lieu, même pour les machines à vapeur,
p cette méthode donnera la valeur de log -à moins de — près,
ce qui est suffisant pour la pratique.
19. Des effets de la contraction effective de la veine Jluide. — La théorie précédente nous a mis à même de déterminer
la vitesse moyenne d'écoulement par la section ab de la veine (jfgr. 4)> si on la connaissait. C'est ici que se font sentir les
Fiç. 4.
effets du phénomène de la contraction, dont nous n'avons qu'indiqué Texistence et qu'il faut examiner plus ep détail. Par suite de l'affluence des filets intérieurs vers l'orifice, le jet ou la veine fluide se rétrécit, après sa sortie, jusqu'à une certaine distance, qui, pour les petits orifices circulaires, est environ une fois lé diamètre et une demi-fois pour les grands. C'est en cet endroit, où le parallélisme des filets se rétablit sensiblement, que nous avons supposé la section ab, qui se trouve ainsi plus petite que l'orifice réel percé dans la paroi; de plus la hauteur du niveau au-dessus de ab est aussi un peu plus grande que celle qui a lieu sur l'orifice.
Quelques auteurs ont cherché à déterminer directement le rapport de la section contractée ab de la veine à la section de l'orifice, et ont obtenu ainsi le coefficient de la contraction effective, c'est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier la surface de l'orifice pour avoir celle de la section de plus grande contraction : ils l'ont trouvé moyennement de 0,64 pour les orifices circulaires de 3 à 8 centimètres de diamètre.
Prenant ensuite pour vitesse celle sJ^gVL que la théorie indique, ils en déduisaient ce qu'on nomme la dépense, laquelle
^4 COURS DE MÊCANIQUB
aurait dû être précisément égale à celle que fournit l'expérience, si la vitesse dont il s'agit n'eût pas elle-même différé de la véritable; mais ils ne tardèrent pas à se convaincre, et c*est Daniel Bernoulli qui, le premier, en fit la remarque, que les résultats ainsi obtenus étaient généralement un peu plus forts que ceux deTexpérience. Ils trouvèrent notamment que, pour les orifices ci-dessus mentionnés, Taire par laquelle il
conviendrait démultiplier y/^gU., pour avoir la dépense, n'était pas 0,64 de celle de l'orifice, comme l'avaient donnée les mesures directes, mais bien 0,62 moyennement, ce qui suppose la vitesse réduite aux — V? = o>Q7 ^^ sa valeur, et ce '^ o,b4
qu'ils attribuèrent d'abord au frottement qu'éprouve le fluide de la part des parois de l'orifice.
On fut, en effet, d'autant plus fondé à admettre cette cause, qu'on voyait les priflces circulaires donner, à circonstances égales, de plus forts produits que les orifices carrés ou rectangulaires ; mais, comme cette réduction de la vitesse suppose la force vive ou la charge génératrice H réduite elle-même à ( 0,97 y ou 0,94 de sa valeur, ce que l'expérience des jets d'eau qui s'élèvent très-sensiblement à toute la hauteur de la chute ne confirme pas, on se trouve conduit à rejeter, en partie, l'altération prétendue de la vitesse sur les erreurs qui peuvent être commises dans la mesure, en elle-même fort délicate, de la section contractée de la veine, dont la véritable position n'est point d'ailleurs facile à découvrir, et principalement sur ce que les molécules fluides conservent encore, dans celte section, des vitesses inégales et divergentes; car la conséquence nécessaire de cette inégalité des vitesses est de faire estimer la force vive, dans celte même section, au-dessous de sa véritable valeur. On prouve aisément, en effet ('), que la somme des forces vives dues aux vitesses réelles et inégales surpasse nécessairement celle qui correspond à la vitesse ou
(*) Foir le Mémoire de MM. Poncclet etLesbros sur les expériences hydrauliques faites par eux, à Metz, dans les années 1827 et iSaS, Mémoire qui s'imprime actuellement dans la Collection des Mémoires des Savants étrangers de l'Académie des Sciences.
APPLIQUÉE AUX MACBllIES. 25
à la charge génératrice moyenne, déduite de l'hypothèse du parallélisme des filets.
M. Bidone» savant géomètre italien» que nous aurons plusieurs fois l'occasion de citer, a prétendu établir, dans un Mémoire qu'il vient récemment de publier parmi ceux de l'Académie de Turin (1829), que l'aire de la section contractée était à l'aire de l'orifice dans un rapport invariable et égal a
0,67, ce qui, dans les cas les plus ordinaires, supposerait la
vitesse du fluide, dans cette section, réduite aux — V" = Oï925
de celle, v^2gU, que donne la théorie, et indiquerait qpae la force vive ou la hauteur génératrice serait elle^mèoie réduite à (0,935)^= 0,856 de sa valeur, ce qui est d'autant moin&admissibie que les considérations théoriques de M. Bidone peuvent être en elles-mêmes contestées, et qu'elles ne sont appuyées que d'un seul fait d'expérience, rapporté dans le tome II de V Hydrodynamique de Bossut, p. i3 et i4» n~ 322 et suivants,' édition de 1771, fait qui est contredit par le résultat des mesures de veines relevées par Borda, Michelotti, Venturi, Eyteiwein, M. Hachette et Bossut lui-même, lequel, pour un orifice carré de 35 millimètres de côté, n'a trouvé que le rap* port 0,6^2 enire les aires de la section contractée et de l'orifice, valeur qui répond à fort peu près à la moyenne de celles qui ont été obtenues par les autres auteurs cités.
D'ailleurs, si ces résultats ont généralement donné, pour de petits orifices carrés et circulaires qui ont rarement excédé 5 centimètres de côté ou de diamètre, un coefficient de contraction effective assez approchant de 0,66, il en est d'autres, tels que ceux obtenus par Brunnaci, Poncelet et Lesbros, pour des orifices carrés et circulaires de o'^yso environ de côté ou de diamètre, qui s'en écartent notablement, puisqu'ils ne s'élèvent qu'à o,563 pour les premiers et tout au plus à 0,602 ou 0,608 pour les seconds.
20. Formule pour mesurer la dépense de fluide, — Quoi qu'il en soit de ces diverses réflexions, il n'en résulte pas moins que l'appréciation du produit des orifices par celle des dimensions de la veine contractée est un moyen fortimpar-
a6 COURS DE MÉCANIQUE
fait, et qui peut conduire à des erreurs graves dans les cas où Ton opère sur de petits orifices, d'autant plus que le rapport de l'aire de la section contractée à celle de ces orifices et Tintervalle qui les sépare ne sont point invariables, et que même il n'y a pas toujours, à proprement parler et notamment pour les oriGces rectangulaires, de section de plus forte contraction. En effet» dans ces orifices, le plus grand rétrécissement de la veine, dans le sens des longs côtés, n'est pas à la même distance que le plus grand rétrécissement dans le sens des petits : les filets y conservent toujours un mouvement inégal et divergent ou convergent, de sorte que l'hypothèse du parallélisme des tranches (3) n'est ici admissible que comme moyen d'approximation propre a faciliter l'application du principe des forces vives aux diverses questions sur le mouvement des fluides. C'est pourquoi on a été conduit è adopter un autre moyen plus simple et plus direct de déterminer les effets de
la contraction sur la dépense des orifices, en recherchant pour chaque cas, d'après la méthode de Daniel BernouUi, le rapport de la dépense effective à la dépense théorique ou naturelle censée représentée par la formule de Torricelli
As/2p[,
dans laquelle A est l'aire de l'orifice véritable et H la charge du fluide au-dessus du centre de cet orifice, qui est ici censé fort petit par rapport à H. Nommant donc Q le volume de la dépense effective, m son rapport à celui que donne le calcul
de A v^^g-U, on pose
Q=/7iA v^agfH,
formule dans laquelle m prend des valeurs variables, selon ce qui sera exposé plus loin, et qui affectent essentiellement l'aire A de l'orifice, mais qu'on peut aussi considérer comme servant en même temps à corriger la valeur de sjigVLj qu'on substitue à la véritable vitesse moyenne relative à la section de plus forte contraction des veines, et qui ne peut être considérée comme lui étant sensiblement égale, que dans les seuls cas où rien ne gêne le mouvement du fluide, soit au dehors, soit au dedans du réservoir.
A ce sujet, on remarquera qu'afin d'éviter toute influence de la part des parois qui avoîsinent l'orifice et de placer l'écoulement dans des circonstances identiques sous ce rapport, on a pratiqué, pour la plupart des expériences, ces orifices dans une plaque mince de métal, dont les bords éiaîeni chanfreînés, de manière que la veine à sa sortie n'en touchât les cAtés que pur desarêtes; c'est ce que l'on a nommé l'écoulement en mince paroi. Au reste il arrive assez ordinairement dans la pratique que, bien que les parois aient une certaine épaisseur, la veine se détactie encore, comme si l'écoulement avait lieu en mince paroi. C'est ce qui a lieu notamment toutes les fois que l'épaisseur de cette paroi n'excède pas la plus petite dimension de l'orifice, soit en hauteur, soit en largeur.
21. Idée de l'influence de la forme des parois sur la contraction. — Avant de rapporter les résultats des expériences, nous ferons sentir, par l'examen de quelques figures, l'influence de la forme des parois du vase sur la grandeur de la contraction, qui, d'après les observations de M. Hachette et d'autres physiciens, parait dépendre fort peu de la forme même du contour ou périmètre, pourvu qu'il ne présente point d'angle rentrant.
Les Jlg. 5 et 6 donnent une idée de la manière dont les Rlets
Fig- S-
Fie- e.
convergent de toutes parts vers l'orifice, pour le cas où il est percé dans une paroi mince et plane et où il se trouve situé à une certaine distance des faces verticales ou du fond du réservoir. Ce cas est d'ailleurs celui qui se rapporte a la plupart
38 C0DB9 DB MeCiNIQDI
des expériences sur la contraction des veines et pour lequel on a trouvé )e rapport moyen 0,64. mentionne ci-dessus (t9 ], entre les aires de la section contractée et de l'oriCice.
Lsijig. 7 indique que, quand la paroi qui renferme l'oriflce est concave à l'intérieur, le nombre des filets fluides qui peuvent converger est moindre que dans le cas d'une face plane, et que la contraction ne doit pas être aussi Torie que dans les Jig, 5 et 6 : c'est ce que l'expérience confirme. Dans le cas où
Fie. 7-
la paroi qui porte l'orifice aurait {Jig. 8) exactement la Torme que tend à prendre la veine fluide, c'est-à-dire serait terminée par un raccordement de cette forme, la contraction serait évidemment la plus petite possible ou nulle, de sorte que les filets sortiraient de l'orifice dans des directions très-sensiblement parallèles.
\Afig. () montre, au contraire, que si la paroi est convexe
vers l'inlérieur, un plus grand nombre de filets peuvent affluer vers l'orifice que dans les^^. 5 et 6, et que la contraction doit être ainsi supérieure à celle qui est dans le cas de la^g-. 5.
Enfin \^Jig. lo fait voir que la contraction doit être la plus grande possible» lorsque Técoulement se fait par un bout de
Fig. 10.
tuyau qui pénètre dans Tintérieur du réservoir, et des parois duquel la veine tendrait à se détacher de toutes parts. Borda a trouvé, par des considérations théoriques, que Taire de la section contractée devait alors se réduire à la moitié de celle de Torifice. Ce résultat se trouve confirmé par les propres expériences de ce physicien et par celles de Venturi, de sorte qu'on peut admettre que le coefficientde la contraction effec* tivese trouve compris, dans tous les cas possibles, entre les valeurs i et - qui se rapportent respectivement aux Jig, 8 et lo.
22. Résultais d' expériences sur la dépense des petits orifices percés en mince paroi plane et isolés complètement des faces latérales du réservoir. — Quant aux résultats des expériences relatives à la détermination du facteur m (20), qu'on nomme quelquefois improprement coefficient de la contractiony et que nous désignerons simplement par l^expression de coefficient de la dépense^ ils concernent principalement les orifices carrés ou circulaires au-dessous de o'",io de côté ou de diamètre sous des charges généralement très-fortes.
Parmi ces résultats on doit distinguer d'abord ceux qui ont été obtenus par Newton, Mariotte, Daniel Bernoulli et M. Hachette, pour des orifices très-petits ou d'un diamètre compris entre o"*,ooi et o^jOiS; ces résultats ont appris que, même sous les plus fortes charges, le coefficient m demeure
3o COURS DE MÉCANIQUE
compris entre o",68 et o"»,74 ou o",78. Bossut, il est vrai, pour des orifices circulaires de o"*,oi3 environ de diamètre, sous des charges qui ont varié entre 96 et 280 fois ce diamètre, a trouvé le coefficient égal à o",622 environ; mais on n'en doit pas moins admettre que, pour les très-petits orifices dont il s'agit, le coefficient a une valeur qui diffère généralement peu de o",7o.
Viennent ensuite les résultats des expériences multipliées, faites par Bossut lui-même, Michelotti, Borda, Venturi, Eytelwein, MM. Hachette et Daubuisson, etc., sur les orifices circulaires de o™,o2 à o'",i6 de diamètre et les orifices carrés ou rectangulaires de o^'joa à o",o8 de côté, lesquels, sous les charges toutes très-fortes soumises à l'expérience, ont donné des valeurs du coefficient m qui, quoique variables, sont demeurées comprises entre O960 et o,63, et dont la moyenne générale peut être considérée comme différant très-peu de o,6i5, soit en plus, soit ep moins, et sans qu'on puisse apercevoir une loi nécessaire dans ces variations.
Toutefois les auteurs s'accordent généralement à admettre que le coefficient décroît progressivement des plus faibles aux plus fortes charges comprises entre 10 fois et 200 ou 3oo fois l'ouverture de l'orifice. Le fait qui le prouve est relatif à l'expérience du pouce d'eaudes fontainiersy qui concerne le produit d'un orifice circulaire vertical en mince paroi, de i pouce ou 0*^,027 de diamètre, avec une charge de i ligne ou o">, 00225 seulement sur le sommet. Pou^ cet orifice, Mariotte a trouvé m = o,665, Bossut m = o,65o et M. Hachette m = 0,690, ce qui ne laisse aucune incertitude sur l'augmentation du coefficient pour les très-petites charges; mais, comme une seule expérience a été faite par Borda, sur la dépense du même orifice sur une charge égale à 10 fois seulement son diamètre, on ne peut rien prononcer de positif sur la loi que suit le décroissemeni en question pour les charges plus petites, loi qui paraît d'ailleurs très-compliquée, comme nous le verrons plus tard, lorsque nous rapporterons les résultats des expériences de MM. Poncelet et Lesbros, sur des orifices tels que ceux qu'on a à considérer dans la pratique des usines. Voici d'ailleurs à quoi conduit le rapprochement entre les résultats
APPLIQUÉE AUX HACBINBS.
des expériences de Borda^ Bossut et Michelotti sur les orifices de I pouce de diamètre :
Charges en diamètres de
l'orifice -nr lo 48 8i io8 141
Valeurs correspoDdanles
de m o,65 0,628 0,619 0,618 0,617 0,616
On devra se rappeler» en appliquant ces résultats à la pratique, qu'ils ne conviennent qu'aux orifices percés dans une paroi plane et mince d'un grand réservoir, et se trouvant totalement isolés des faces adjacentes, de sorte que la contraction puisse être considérée comme se faisant d'une manière complète^ ainsi qu'on le dit ordinairement dans la vue d'abréger. Du reste cette paroi peut être horizontale, verticale ou inclinée d'une manière quelconque à l'horizon ; elle peut même avoir une certaine épaisseur, pourvu que, d'après ce qui a déjà été observé précédemment (20), la veine s'en détache complètement à partir des bords intérieurs ou qui répondent au réservoir; ce qui, je le répète, a lieu généralement toutes les fois que cette épaisseur n'excède pas i fois à I 7 fois la distance des bords opposés et les plus rapprochés.
Influence des ajutages.
23. Écoulement par un tuyau additionnel ou à gueule-bée. ■ Dans le csàs {Jig, 11) où l'orifice se trouverait prolongé par
Fig. II.
l'épaisseur des parois d'une quantité plus forte et telle que l'eau, venant rejoindre ces parois au delà de l'orifice, les suive
32 COURS DE MÉCANIQUK
exactement et remplisse en entier l'espèce de tuyau qu'elles forment, et qu'on nomme ajutage ou tuyau additionnel^ l'expérience démontre que les circonstances de l'écoulement, qu'on dit alors se faire à gueule-bée ou à plein tuyau^ se trouvent totalement chajigées, à tel point que, pour les tuyaux cylindriques d'un diamètre égal à celui de l'orifice et dont la longueur est comprise entre ly et 3 fois ce diamètre, on trouve que, dans les mêmes cas pour lesquels l'orifice en mince paroi ne donnerait que le coefficient de dépense o,6i environ, il devient o,8i5 ou 0,820, quand l'écoulement se fait à gueule-bée. Ce résultat peut être considéré comme la valeur moyenne qui se déduit du petit nombre d'expériences entreprises à ce sujet, et qu'on doit à Bossut, Michelottî, Venturi, Poleni, MM. de Prony, Hachette et Eyielwein. 11 est d'ailleurs susceptible de varier avec la forme de l'ajutage, et devient 0,96 environ pour ceux qui approchent le plus de la forme naturelle de la veine fluide (Jig. 12), et o,go seulement
Fiç. 13.
Fig. i3.
pour les ajutages pyramidaux ou coniques (fig. i3] dont le plus petit orifice serait à une distance de l'orifice intérieur au réservoir comprise entre i fois et i 7 et 3 fois sa largeur, et dont le diamètre ou les côtés seraient respectivement les 0,80 des siens propres.
Au sujet de ces derniers ajutages, qu'on nomme ordinairement buses dans la pratique, il est à remarquer que les coefficients ci-dessus s'appliquent seulement à l'orifice extérieur ou au plus petit orifice, dont Taire doit être prise pour la valeur de A dans la formule Q = mA ^2.gVL.
On explique d'ailleurs l'augmentation de la dépense et du
coefflcient dans ces divers cas, en observant que Teau sort à très-peu près de ToriBce extérieur en filets parallèles et n'éprouve ainsi qu'une contraction très-faible, qu'on doit même considérer comme tout à fait nulle dans le cas des ajutages cylindriques; de sorte que, à le bien prendre, la dépense, dans ce cas, devrait être précisément égale à celle que donne la
formule A ^2g^H, sans coefficient. La différence observée ne peut évidemment tenir ici qu'à la résistance que les molécules éprouvent à se mouvoir dans l'intérieur du tuyau, et principalement aux pertes de. force vive produites par les tourbillonnements intérieurs qui résultent de la rencontre des molécules avec les parois, après qu'elles ont traversé la section où elles se contractent en sortant de l'orifice intérieur. L'expérience des jets d'eau avec ajutage prouve, en effet, que c'est bien la vitesse ou la force vive qui est altérée; car ces jets ne remontent généralement qu'à une hauteur mesurée par les (0,82)'= 0,67 environ de H, ce qui annonce une perte de chute mesurée par le tiers de la charge génératrice ou du travail de la pesanteur.
Remarque générale. — Tous ces résultats concernant les ajutages de diverses espèces, aussi bien que ceux relatifs aux orifices en mince paroi, sont d'ailleurs applicables aux liquides proprement dits, tels que l'eau, ainsi qu'aux gaz de diverses espèces : c'est du moins ce qu'on doit conclure du rapprochement des belles expériences dues à MM. Girard et d'Aubuisson, en France, avec celles qui ont été faites, avec beaucoup de soin, par M. Lagerhjelm, en Suède.
24. De l'influence des rétrécissements brusques ou des étranglements dans ^intérieur des vases ou conduites. — Quelles que soient, au surplus, les causes qui donnent lieu au phénomène de l'écoulement à gueule-bée, et pourvu qu'on admette seulement le fait de sa formation dans certaines circonstances, on peut très-bien expliquer les résultats de l'expérience en ayant égard à la perte de force vive due à la rencontre du fluide avec les parois, et qui se produit toutes les fois qu'il existe, dans l'intérieur des réservoirs ou des tuyaux de conduite, des étranglements ou rétrécissements quel- II. 3
34 COURS DB HfiCANIQDE.
conques» qui obligent le fluide à s'y mouvoir avec une vitesse plus grande que celle qu'il possède un peu au delà de la section contractée relative à ces étranglements, c'est-à-dire dans les parties du réservoir où l'écoulement a repris sa permanence (2), son régime uniforme, et peut être censé se faire de nouveau par tranches parallèles.
Pour montrer comtnent on doit procéder, en général, pour tenir compte des pertes de force vive qui surviennent dans tous les cas pareils, pertes qui avaient été mal estimées d'abord par Bernoulli et Borda, et dont M. Navier a rectifié l'expression de la manière la plus heureuse, nous nommerons
U' la vitesse moyenne du fluide à sa sortie de l'orifice rétréci
ou dans la section contractée; dM la masse d*une de sest tranches élémentaires; n la vitesse de la masse fluide située en avant de cette tranche
et qui est censée avoir repris un mouvement parallèle et
uniforme; H' la valeur totale de cette masse.
Les choses se passeront d'une manière tout à fait analogue à ce qui arrive (*) dans le cas où un corps mou de masse dM. et animé de la vitesse U' vient en rencontrer un semblable, de masse M' et animé de la vitesse u; ces corps, après s'être comprimés réciproquement en changeant de forme d'une manière quelconque, s'unissent l'un à l'autre et finissent par marcher avec une vitesse commune, qui ici ne diffère pas de u, attendu que la masse dM, qui afflue de l'orifice dans chaque élément du temps, est infiniment petite par rapport à M'; donc aussi la perte de force vive résultant du changement de vitesse, et qui est principalement occasionnée ici par les tourbillonnements et les résistances intérieures du fluide, a pour mesure
valeur qui se rapporte d'ailleurs à chaque élément du temps et qui deviendrait
(•) Foir les préliminaires do la IV* Section^ K* Partie, de ce Cours.
IFPLIQOfiE ADX MACHIHta. 35
s'il s'agissait d'esiimer la perle de force vive pendant l'unité de temps.
Si nous examinons maintenant ce qui se passe dans un réservoir (^g-. i4} analogue à celui que nous avons considéré
jusqu'ici, et où l'on peut admettre, pour certaines sections
AB, A'B',.. . , l'hypothèse du parallélisme des tranches, mais
qui offre, dans son intérieur, un rétrécissement subit t^hf , il
nous sera facile de trouver l'expression de la perte de force
vive qui résulte de cette disposition. Soient
0, 12 les surfaces des section^ AB et A' B' ;
co, lit les surfaces des oHIices ab et a' h'',
V el M les vitesses en AB et A' B' ;
U et U' les vitesses en ah et cl h';
P el p les pressions sur AB el ab ;
H la hauteur totale du niveau AB au-dessus du centre de l'o-
rilice ab ; m el m' les coelUcienis de la dépense relatifs aux oriflces ab
etafb' supposés Connus; n le poids de l'unité de volume du nuide; dM la masse élémenuire écoulée pendant dt.
36 COURS DB MÉCÀNIQUB
On aura, en vertu de la conlinuité du fluide
. mwU mwU -,/ /wwU
En raisonnanl ici comme on Ta fait précédemment, on trouvera que la quantité de travail élémenlaire développée par la gravité sur la masse (/M, écoulée dans dt^ est
que celle développée par les pressions P et /> est
qu'enQn l'accroissement de la force vive de la masse d^iy en passant de AB en ab^ est
à quoi il faut évidemment ajouter la perle de force vive qui est occasionnée par l'étranglement a! h\ et qui, d'après ce qui précède, a pour valeur
\m'(ù 12/ D'après cela, l'équation des forces vives donnera
et, en divisant par dM,
d'où l'on déduira la vitesse moyenne d'écoulement U par ab, et ensuite la dépense de fluide
Q = mu^U pour l'unité de temps.
ÀPPUQUtB AUX VICBIHBS. S"]
25, Cas de l'écoulement à l'air libre et où l'orifice est trèspetit par rapport aux sections du réservoir. — S'il s'agU de l'écoulement de l'eau à l'air libre et que la surface du réservoir soit très-grande par rapport à celle de l'orince u ou ab, l'équation se réduit à
26. Dans le cas où u'— Q, ce qui arrive, par exemple, lorsqu'un tuyau (fig> i5) prismatique ou cylindrique a'b'CO éta-
blit la communication du réservoir AB à l'oriOce ab, l'expression de la vitesse devient, dans les hypothèses précédentes.
38 COURS DB MÉCÀmQUB
27. Écoulement à gueule-bée par un tuyau additionnel. — EnflD, si rorifice ab est égal à la section du tuyau [fig. i6), si
Fig. iG.
T»T»\.\W\V.W\"A»rJ .T«>Vi"W««- WVAV.VWV
les filets suivent les parois et sortent parallèles» sans contraction apparente, c'est le cas des tuyaux additionnels dont il a été question (23), lorsque Técoulement s'y fait à gueule-bée. Dans ces circonstances, on a
et la vitesse d'écoulement trouvée ci-dessus se réduit à
U- /__MH__
Le cas actuel est un de ceux qui confirment le mieux la théorie basée sur Thypothèse du parallélisme des tranches. En effet, le coefficient de la dépense est alors (23) égal à 0,82, dans des circonstances analogues à celles où il aurait été égal à 0,61 pour rorifice percé en mince paroi. Or, en faisant dans la formule ci-dessus m' = 0,61, on trouve
et, par suite.
V'Hi~'ï
L'oriûce d'écoulement étant ici égal à Q ou à la section du
APPLIQUÉE AUX MACHINES. 3g
tuyau, on voit que la vitesse moyenne d'écoulement est diminuée dans le rapport de 0,84 à i; mais la dépense effective devenant
il s'ensuit qu'elle est plus grande que celle qui aurait lieu par l'orifice a'b'y sans tuyau additionnel, puisque cette dernière serait donnée par la formule
o,6iû) y^2g^H,
comme on l'a vu précédemment (20).
Ainsi, dans le cas d'un tuyau additionnel, l'expérience donne pour coefficient de la dépense 0,82, et la théorie 0,84. La faible différence qui existe entre ces nombres, ou l'excès de celui qui est fourni par la théorie sur l'autre, peut être attribuée, comme l'observe M. Navier (*), à la résistance des parois, dont on a fait abstraction jusqu'ici.
28. De Vinjluence d'un élargissement brusque du réservoir* — Il se produit des effets analogues dans le mouvement d'un fluide qui passe brusquement d'une section d'un vase dans une autre beaucoup plus large; ce fluide, débouchant de la partie MNm/i {Jig. 17) dans la capacité PQP'Q', rencontre
une masse fluide animée d'une vitesse moindre, s'y mêle et, après quelques tourbillonnements, marche avec elïe d'un
( ' ) Arehiteeture hydraulique de Bélidor, nourelle édition, 1. 1, p. 90, Note CK >
4o COURS DB MÉCANIQUE
mouvement commun et uniforme. De là résulte, par conséquent, une perte de force vive facile à évaluer. Soient (fig. 17) Ù, et 0' les surfaces des sections MN et PQ, u et V les vitesses respectives dans ces sections; les filets du fluide affluent marchant parallèlement entre eux et aux parois du tuyau MN, il n'y a pas de contraction en mn; et en appelant JM la masse élémentaire écoulée dans l'élément du temps, la perte de force vive sera, d'après ce qu'on a vu (24),
cette quantité devra, s'il y a lieu, être introduite dans Féquation des forces vives parmi ses analogues.
MoiiTement des fluides dans les tuyaux de conduite.
29. Influence de la résistance des parois. — Nous avons jusqu'ici fait abstraction d'une force retardatrice qui n'a, en effet, qu'une influence négligeable dans tous les cas où la vitesse du fluide est très-petite et ses sections très-grandes, mais dont il faut tenir compte lorsqu'il s'agit de tuyaux d'une grande longueur, par rapport à leur diamètre. Cette résistance est celle que les parois opposent au mouvement du fluide par suite de l'adhérence que contractent avec elles les molécules immédiatement en contact. On conçoit, en effet, facilement que, par suite de la viscosité plus ou moins grande du fluide, le retard éprouvé par ses molécules doit se transmettre de proche en proche à toute la masse, et finalement altérer le mouvement général. C'est ce que l'expérience vérifie pour les liquides comme pour les fluides élastiques.
Des observations faites par Coulomb ('), confirmées par les conséquences que M. de Prony en a déduites, montrent que,
pour les liquides, cette résistance est proportionnelle à — »
n étant le poids de l'unité de volume du liquide au coo-
(*) Mémoires de V Institut, Hl" vol. (Sciences physiques).
tour fs du périmètre mouillé de la conduite, à la longueur L de cette conduite, que nous supposerons sans<coudes brusques et d'une section constante ayant pour aire la quantité Q, et à une fonction au-h^u* de la vitesse moyenne u dans cette même conduite; a et (3 étant des coefficients constants dépendants de la nature du fluide et indépendants de celle des parois, du moins pour toutes celles qui sont ordinairement en usage.
D*après cela, la résistance des parois sera représentée par
et le chemin parcouru par une tranche quelconque dans le sens de cette résistance et pour l'élément du temps étant udt, la quantité élémentaire de travail qu'elle développe le sera par
à cause de
dil=^Qudt,
l'expression de cette quantité de travail devient
ïïtL
rfM^'(af£ + (3a')^%
dont le double devra être retranché du second membre de l'équation des forces vives, concernant les quantités de travail des forces motrices.
30. Application à Vécoulemeni par des conduites d'une grande longueur. — Appliquons ces considérations et les précédentes à l'écoulement d'un fluide d'un grand réservoir ABCD [Jig. i8) dans un autre A'B'C'D', à l'aide d'une conduite à section constante aba'b'f supposée terminée, du côté du réservoir inférieur, par un orifice plus petit que les sections du tuyau. Conservons toutes les notations des n°*24, 28 et 29, et appelons, en outre, A la hauteur du niveau con-
stant du réservoir inférieur au-dessus du centre deToriOce ab. Il esl facile de voir, d'après ce qui a été exposé dans les nu-
Fig. i8.
meros cités, que l'équation des forces vives relative au mouvement du fluide donnera, dans le cas actuel,
"l--œ-^'"'"'(^-ïï)-('--ô^)J
les vitesses U et u ayant entre elles la relation suivante :
31. Simplifications relatives aux conduites d'eau ordinaires. — Dans la plupart des conduites d'eau ordinaires, cette relation se simplifie beaucoup, parce que les sections des deux réservoirs sont très-grandes par rapport aux orifices fù et û)', ce qui rend les fractions 7; el rp négligeables
vis-à-vis de l'unité; de plus, la conduite a le même diamètre que l'orifice d'introduction a' b\ «=£1; les pressions extérieures sont égales entre elles et à celle de l'atmosphère; on a donc simplement
et toujours
mcùV =:£tii.
Si de plus 61 = Î2, la contraction est nulle à la sortie de la
àppuqdéb aux màghines. 43
conduite, m = i, m = U, ei Téquation se réduit à
U'(^,-.y=2ff(H-A)-^(«U + pU'),
qui donnera la vitesse U dans la conduite» quand on connaîtra la différence de niveau H — A.
32. Cas où l'écoulement a lieu à l'air libre. — Lorsque la conduite débouche à Tair libre par un orifice 6) plus petit que la section Q du tuyau, il n'y a plus lieu à considérer de réservoir inférieur, A = o ; le terme (30) UM i — -jy- j > qui mesurait la perte de force vive éprouvée par le fluide en débouchant dans le réservoir, doit être supprimé, et Téquation devient alors, en supposant toujours ($i'=Q et u très-petit par rapport à
„ 2fi^(P — p) 2GjL , ' ,.
= 2gH4- ^^ j ^' ^{au-h^u').
Si de plus V = p est égal à la pression atmosphérique, w = û; on a m = i , ?/ = U, et Téquation se réduit à
33. Détermination des coefficients a et ^ pour les conduites d'eau ordinaires des fontaines, bassins, etc. — Dans la plupart des conduites d'eau, L est égal à 100 fois au moins le diamètre du tuyau; le terme relatif à la résistance des parois devient
très-grand alors, par rapport à UM i -+-(—, —i | r, on peut
donc négliger celui-ci, et, en représentant simplement H — A par H, la dernière des équations du n"* 32 se réduit à
Cest sous cette forme que H. de Prony Ta employée pour
44 GOUBS DB MÉGANIQUB
déterminer^ à l'aide du résultat des expériences de Dubual, de Couplet et de Bossut, les valeurs de a et de (3. Cet illustre ingénieur a trouvé, pour Feau, les valeurs suivantes :
En substituant ces nombres dans Téquation ci-dessus, on en tire, toutes réductions faites, avec une approximation sufflsante pour la pratique,
.=vs?-
et, par suite, la dépense Q=:i2U sans coefficient de correction.
34. Cas oà la section du tuyau de conduite est circulaire, — Lorsque la section du tuyau est circulaire, on a
D désignant son diamètre, et la valeur de la vitesse devient
Quant à la dépense ou au volume de fluide écoulé en une seconde, il est évidemment égal à
M. Eytelwein a repris les calculs de M. de Prony, en tenant
compte du terme Um i-f-f— , — i| > dont l'influence est généralement peu sensible, et qu'il a représenté par — en pre-
nanl iL = -r: =o,8i25, ce qui ne convient <]u'au cas où la
(* ) M. de Prony a donné, dans ses Recherches sur la théorie des eaux eou^ rantes, publiées en septembre 1838, une table des valeurs correspondantes deU
DH
et de YT' V^^ facilite beaucoup les calculs.
APPLIQUÉS AUX UAGHIIIES. 4^
contraction à l'orifice intérieur, dont m! est le coefficient, serait complète.
Cet ingénieur a trouvé, le mètre étant l'unité linéaire,
et par suite
— L-t- v/I7T(56o776L-4-386i755il))DH 25, 0754 L -4-1726,820
Lorsque L est très-grand par rapport à D, loo fois D par exemple, ce qui arrive le plus souvent, on peut négliger le terme en D' sous le radical, par rapport à L% et l'expression, en divisant haut et bas par 25,0754, revient à
DH
Enfin on obtient une formule plus simple encore et suffisamment exacte pour la pratique ordinaire, en négligeant le terme aU de la résistance des parois. Dans cette supposition, et en comparant les résultats de la formule avec ceux de l'expérience, M. Eylelwein a trouvé qu'il faut prendre
P = 0,00349987 ou environ (3r=:o,oo35;
la valeur de la vitesse dans le tuyau de conduite devient ainsi, toutes réductions faites.
DU
Écoulement des gaz.
35, Dépense des conduites de gaz dans le cas oà elles sont terminées par un orifice fixe ou ajutage quelconque [^), — Pour
(*) Nous reproduisons, h la fin de cette Section, une étude postérieure de Poncelet (i845), Sur les expériences de M, Pecqueur, relatives à l'écoulement de l'air dans les tubes. (K.)
46 COUBS DB MÉGAlflQUB
les conduites de gaz, où la différence des pressions qui agissent à leurs extrémités est une fraction assez petite de la plus grande d'entre elles (17), les formules générales établies dans les n""* 30, 31 et ^ demeurent applicables; mais il faut observer que, malgré la petitesse de cette différence, la charge
génératrice — =-^ (12) e?t toujours très-grande vis-à-vis de
celles H et A, qui répondent à la différence de niveau entre les sections extrêmes, de sorte qu'on peut faire abstraction des termes gB. et gh, qui entrent dans ces formules et se rapportent à l'action de la gravité. D'un autre côté, MM. Girard et d'Aubuisson ont été conduits, par les résultats de leurs belles expériences sur l'écoulement des fluides élastiques dans les tuyaux de conduite (')» à regarder la résistance, dans ces tuyaux, comme simplement proportionnelle au carré de la vitesse, ce qui suppose nul le terme en a de cette résistance et simplifie beaucoup les formules relatives à la détermination de la vitesse et de la dépense.
Considérant, comme au n° 30, un tuyau de conduite à section uniforme, servant à établir la communication entre deux réservoirs ou gazomètres à pressions constantes P et/?; supposant d'ailleurs cette conduite terminée par un orifice plus petit que sa section uniforme; nommant toujours
L la longueur développée de la conduite;
12 et &) les aires de cette section et de ces orifices, supposés circulaires;
U la vitesse du fluide à sa sortie de l'orifice &) sous la pression p;
u sa vitesse constante dans la conduite;
m' le coefficient de contraction à l'origine de cette conduite;
n la densité du fluide dans le réservoir d'alimentation;
m le coefficient de la dépense qui se rapporte à l'orifice de sortie cù;
on aura, d'après le n® 32 et en négligeant le terme 2 «^(H — h)
(') Mémoires de l'yicadémie des Sciences de Paris, t. V, 1822; Annales des Mines, t. III, année 1828.
APPUQUÉZ AUX HACHINIS. 4?
relatif à la pesanteur,
ou
L^^^W~VJ"^ D' - — iî —
à cause de
équation qui donne immédiatement la vitesse U à l'orifice de sortie, et, par suite, le volume
de la dépense sous la densité II dans le réservoir, quand on y met, pour |3, sa valeur moyenne
P = o,oo3i5,
déduite des données d'expériences qui seront mentionnées plus loin.
Dans cette équation, on prendra d'ailleurs/^ égal à la pression barométrique extérieure, si l'écoulement se fait à l'air libre, /n'= 0,61 ou 0,62, si la contraction est complète pour l'orifice d'entrée du tuyau, ce qui est le cas ordinaire; m = 0,61 ou 0,62 si la même chose a lieu pour l'orifice de sortie w, m = 0,84 environ s'il est terminé par un ajutage cylindrique, dont la longueur égalerait 2 à 4 fois son diamètre supposé très-petit par rapport à la section de la conduite. Enfin, si, comme il arrive presque toujours pour les conduites d'air qui alimentent les hauts-fourneaux et les feuxd'affinerie, l'orifice w est situé à rextrémlié d'une buse raccordée avec ces conduites, on pourra prendre, d'après les expériences de M. d'Aubuisson relatives à ce cas, m ==0,96.
36. Cas où la conduite est entièrement ouverte à son extrémité opposée au réservoir. — Dans le cas particulier où la conduite est entièrement ouverte à son extrémité, de sorte
que Q, = (ùfD = d, m = U, m = 1, Téquation ci-dessus devient simplement
et, si L est tellement grand par rapport à D que la quantité
H-(— , — I j puisse. être négligée vis-a-vis de -jr— > ce qui
arrive toujours quand L surpasse 1000 fois D, la formule qui donne la vitesse de sortie se réduit à la suivante :
Le cas dont il s'agit se rapportant précisément à celui des expériences faites par M. Girard, sur une conduite en fer de o^,oi58 de diamètre, adaptée au gazomètre de l'hôpital Saint-Louis, à Paris (vo/r le Mémoire déjà cité de cet auteur); on en conclut, pour (3, la valeur moyenne (3 = o,oo39>, qui surpasse un peu celle qui lui a été attribuée ci-dessus, et parait d'ailleurs pouvoir être appliquée indistinctement à l'hydrogène carboné ou gaz oléfiant et à l'air atmosphérique, dont les densités sont entre elles à peu près dans le rapport de 0,555 à l'unité, celle de l'air étant toujours donnée par la formule (12),
po{i -h o^oo^n) i-f-o,oo4/i
pour la température centigrade n et la pression P kilogrammètres sur un centimètre carré.
37. Relation entre la vitesse et la pression en un point quel' conque de la conduite dans le cas général, — Revenant à nos premières hypothèses sur les tuyaux de conduite terminés par une buse ou un orifice quelconque plus petit que les sections de ce tuyau, et nommant P' la pression en un point situé aux distances / et /' des orifices d'entrée et de sortie de la conduite, mesurées suivant le développement de celle-ci, de sorte que /-h/'=:L, l'équation des forces vives (35) donnera, en
considérant ce qui se passe depuis le réservoir jusqu'au point dont il s'agit,
puis, en considérant ce qui a lieu depuis le même point jusqu'à l'extrémité de la conduite près de l'orifice de sortie»
équations qui, ajoutées entre elles, redonnent celle du n^ 35, et serviront toutes deux à calculer, soit la dépense de fluide
quand on connaîtra la pression P', soit les différences de pression P — P', P' — p et par suite P', quand on aura déterminé cette dépense ou la vitesse U par la relation du n"* 35.
3S. Cas particulier où la pression est mesurée près de Vori^ fice de sortie. — Supposant, en particulier, qu'on ait observé directement la pression P' en un point de la conduite situé très-près de l'orifice ou de la buse de sortie, de sorte que /' soit très-petit et / sensiblement égal à L, on pourra négliger le terme en j3/' dans la seconde des équations ci-dessus, qui deviendront ainsi respectivement
et
auxquelles on peut ajouter cette autre, d'après l'observation ci-dessus.
qui se rapporte au réservoir et à l'oriflce de sortie.
5o COUDS DE MÉCANIQUE
39. Substitution des hauteurs manométriques aux pressions dans les formules, — Si d'ailleurs ce dernier orifice débouche à l'air libre, p sera égal à la pression barométrique extérieure à l'instant de l'expérience, et, si l'on nomme H et H' les hauteurs du manomètre qui mesurent l'excès des pressions P et P' au même instant sur p, on aura, pour le manomètre à mercure,
d'où
et, pour le manomètre à eau»
P — p = o^^SiB, P' — ;^ =oSiH',
d'où
P-P'=rO»^«,l(H-H'),
les pressions p, P et P' se rapportant au centimètre carré pris pour unité de surface et les hauteurs H, H' étant mesurées en mètres et fractions de mètre. Substituant donc ces valeurs de P — p, V' — p et P — P' dans les équations et formules trouvées ci-dessus, ainsi que celle de la densité II (35) qui se rapporte au réservoir, elles se convertiront en d'autres relatives aux hauteurs manométriques H et H'.
40. Loi entre les hauteurs manométriques aux différents points des conduites. -— L'un des résultats les plus remarquables que M. d'Aubuisson ait déduit de ses nombreuses expériences sur l'écoulement de l'air, dans les tuyaux de conduite d'une grande longueur [voir le n° 43 de son Mémoire déjà cité), consiste en ce que, si l'on nomme
H et h les hauteurs manométriques à mercure dans le réservoir de pression et près de la buse ou de l'orifice de sortie;
L la longueur développée de la conduite entre ces deux endroits, en supposant qu'il n'existe pas de coude sensible ;
D et d les diamètres de cette conduite et de l'orifice de sortie.
ÂPPLIQUfig AUX MACHINES. 5l
on a approximativement, entre ces quantités, la relation
A=r ^ ou — ^^.= o,o238Lg^.
Pour comparer ce résultat de l'expérience avec celui qu'on déduirait de la théorie précédente, il suffit d'observer que les équations du n" 37, qui nous ont occupé en dernier lieu, conviennent aux hypothèses dans lesquelles M. d'Aubuisson a opéré, en y supposant que la pression P', près de l'orifice de sortie, réponde à la hauteur manométrlque h que nous avions représentée par H'. Or on déduit^ immédiatement de la pre* mière et de la seconde d'entre elles
et par suite
P' — p~ Il ~ D' </< '
d'où l'on tire
li =
formule qui s'accorde avec celle de M. d'Aubuisson, quand on on y néglige ( — , — i ) vis-à-vis de -~— au dénominateur et
m^ fû vis-à-vis de l'unité au numérateur, ce qui est permis
pour toutes les expériences en grand nombre de ce savant ingénieur, où L a surpassé mille fois D et D deux fols au moins d.
41. Faleur moyenne du coefficient (3 de la résistance ^ déduite du résultat des expériences de M. d'Juhuisson. — En
comparant, dans la rédaction des Leçons de l'hiver de i8a8, les résultats obtenus par M. d'Aubuisson dans le n"" 39 de son Mémoire, avec ceux qui se concluent de la formule ci-dessus, dans laquelle on avait supposé m = 0,98 ou m' = 0,865, on en avait déduit pour (3 la valeur ^=: o,oo3o8, qui est un peu faible par rapport à celle que donnent (35) les expériences de
M. Girard et qui résulte du coefficient o,oi38 de cr; de L auquel s*est arrêté M. d'Aubuisson à Tendroit déjà cité.
Dans son Mémoire Sur V écoulement des fluides élastiques, lu le l'^'^juin 1829 à l'Académie des Sciences (t;o/rle n^26de ce Mémoire), M. Navier est arrivé à la valeur (3 = 0,00324» en admettant également le coefficient o,o238 dont il s'agit et supposant m =z 0,94 ; mais cette valeur paraît à son tour un peu trop forte.
£n effet on tire de l'équation générale posée ci-dessus
expression dans laquelle ce dernier géomètre néglige complètement le terme négatif du second membre; ce qui conduit à attribuer à (3 des valeurs d'autant plus fortes que le rapport de L à D est moindre et dont l'excès sur la véritable n'est pas toujours très-petit.
La formule trouvée par M. d'Aubuisson donnant moyennement
H - A D« D / I d*\ / I rf* \
"A— 5^Lim'-"D^j==^'^"^Hm'"-îPJ' on aura, pour déterminer (3 dans la formule générale,
Supposant m'= 0,61, D égal à o,ooiL seulement et adoptant avec M. Navier, pour la valeur moyenne de o,o238 ( — i — îj )» le chiffre o, 02594» auquel il est arrivé par le rapprochement
APPLIQUÉE AUX MACHIlfBS. 53
de divers résultats d'expériences de M. d'Aubuisson, on trouve 8(3 = 0,02594 — 0,00x41 = 0,02453, d'où (3 = o,oo3o7,
au lieu de la valeur (3 = o,oo324 adoptée en dernier lieu par M. Navier. ^
Les expériences directes de M. Girard, sur la dépense des longs tuyaux de conduite (36), donnent pour p la valeur 3 = o,oo32; on voit qu'on ne risquera pas de se tromper de quantités appréciables en prenant pour moyenne générale
(3 = o,oo3i5, comme cela a été proposé au n"* 35 ci-dessus.
42. Observation relative à la variation de densité et de pression dans les tuyaux de conduite. — Lorsque, dans la vue d'obtenir la vitesse et la dépense avec un plus grand degré de rigueur, on remplacera, suivant ce qui a été prescrit au n*> 16, le facteur P — P' ou P — /? de l'équation des forces vives
(n*** 34. et suivants) par logp7 ou log-» il faudra aussi avoir
égard à la variation de densité et de pression du gaz aux différents points de la conduite, dans le calcul des quantités de travail détruites par la résistance des parois du tuyau ; cela est surtout indispensable quand il s'agit de rechercher la loi des pressions aux différents points de ce tuyau ; mais, comme la solution de cette question conduit à des développements analytiques d'une application difficile à la pratique, où la variation de densité du fluide est toujours en elle-même trèsfaible (17), nous renverrons pour ces développements aux numéros compris de 20 à 25 du beau Mémoire de M. Navier Sur V écoulement desjluides élastiques, déjà souvent cité.
