I. — Extraits des publications ultérieures de Poncelet

Théorie des effets mécaniques de la turbine Foumeyron (').

L'Académie des Sciences a accueilli dans plusieurs de ses séances , avec un intérêt très-vif, la communication de divers résultats d'expériences sur les effets mécaniques de la turbine de M. Fourneyron, machine ingénieuse qui est venue se placer au rang des meilleures roues hydrauliques connues, de celles surtout qui doivent leur état actuel de perfection et leurs principales qualités au développement des idées mécaniques, et, plus spécialement, aux applications du principe des forces vives. On n'en doit pas moins être surpris de voir que la connaissance des propriétés essentielles de cette roue soit due presque exclusivement à Texpérience, et que la théorie en soit encore si peu avancée; car on ne peut considérer comme entièrement satisfaisante celle que l'auteur en a lui-même présentée dans l'un des Bulletins de la Société (PEncouragement pour l'année i834, et l'on s'aperçoit, sans peine aussi, que les anciennes solutions de l'illustre fiorda, malgré l'extension et les perfectionnements qu'elles ont acquis dans ces derniers temps, ne sauraient ici recevoir une application directe et certaine, à cause de l'engorgement qui peut survenir dans les tuyaux d'évacuation de la roue, et de la réaction occasionnée par la présence de ces tuyaux, sur la masse liquide qui s'écoule incessamment par les orifices injecteurs du réservoir. Il résulte, en effet, de cette double circonstance, dont on n'avait jusqu'ici tenu aucun compte dans la théorie des roues comprises sous l'expression générale de turbines {^)^ que, pour une ouverture de vanne déterminée, la dépense de

(*) Mémoire lu dans la séance de rAcadémie des Sciences du lundi 3o juil— let i838. — Imprimé dans le tome XVII des 3Iémoires de V Académie ro^al^ des Sciences de l'Institut de France; 1840.

(') Lors de la lecture de ce passage à TAcadémie, nous n'avions en rue tfm» let formules analytiques à l'aide desquelles on représente ordinairement le^

liquide dépend forcément de la vitesse de rotalion propre de la machine, et croit avec elle de manière à changer complètement l'appréciation des eiïets mécaniques.

D'après ces considérations, j*ai pensé qu'il ne serait pas sans intérêt pour la Science et les applications pratiques de soumettre de nouveau la question au calcul, dont les résultats, grâce aux recherches récentes de M. l^Iorin (*), peuvent être immédiatement contrôlés par ceux de l'expérience , et d'examiner plus particulièrement jusqu'à quel point les formules pouvaient rendre compte des singulières propriétés offertes parla turbine Fourneyron, qui marche avec un égal avantage, soit qu'elle se trouve noyée dans Toau du bief inférieur, soit qu'elle se meuve librement dans l'air, et qui, entre des limites fort étendues, peut recevoir des vitesses angulaires très-différentes sans que Tefiet utile s'écarte notablement du maximum absolu, de celui qui est mesuré par le produit du poids du liquide effectivement écoulé dans chaque expérience et de la différence correspondant»^ des niveaux entre les deux biefs.

On avait déjà eu l'idée de faire marcher horizontalement une roue, ouverte vers l'intérieur et l'extérieur, armée d'aubes cylindriques comprises entre deux couronnes planes, parallèles et disposées perpendiculairement à l'axe de la machine, à peu près comme c«la a lieu dans certaines roues verticales où l'eau est iniroduite par le fond du réservoir tangentiellement à leur circonférence extérieure ; M. Burdin avait même imaginé quelques dispositifs de turbines qui offraient beaucoup d'analogie avec la machine qui nous occupe et dont la description se trouve consignée dans un Mémoire inédit, présenté à la Société d'Encouragement pour le concours do mai 1827; mais, outre que cette date est aussi à peu près celle de l'époque où M. Fourneyron a construit sa turbine d'essai à Pont-surrOgnon, on doit encore reconnaître, avec le savant rapporteur du Mé-

ciïets utiles dos roues hydrauliques, armées de canaux ou tuyaux que reaii traverse avec une vitesse relative plus ou moins grande ; mais il est certaiii que M. d'Aubuisson, l'un des correspondants de l'Académie, a indiqué et parfaitement fait sentir, à la page 894 de son Traité d* Hydraulique, dont la deuxième édition est maintenant sous presse, Tinfluence que peut avoir, sur la dépense de liquide et Taugnientation de la charge motrice, la force centrifuge dont se trouve animée l'eau qui circule dans la turbine Fourneyron. C'est une jnstiee que nous nous plaisons à rendre à un savant dont les travaux et les recherches expérimentales sont dignes de toute notre estime.

(^) Expériences sur les roues hydrauliques à axe 'vertical, appelées tmrèimet. Ce Mémoire, qui vient d'être imprimé, a été l'objet d'un Rapport favorable, lu à l'Académie des Sciences, par M. Savary, dans la ii&ance du a janvier i838, au nom d'une Commission qui était composée, en outre, de MM. de Prony, Arago et Gambey..

moire cité de M. Morin, que ce n^étaient là que des conceptions fort éloignées du but à atteindre, en elles-mêmes très-imparfaites, et qui, pour réussir lors de l'exécution effective, eussent exigé diverses modifications, divers perfectionnements très-importants dans le système général des constructions.

La qualité essentielle de la turbine Foumeyron ne réside pas seulement dans la propriété qu'elle possède de marcher très- vite et de pouvoir être noyée dans Teau du bief inférieur, sans trop d^inconvénients pour Teffet utile, car le dispositif des roues verticales à aubes courbes dont il a été parlé ci-dessus en est pourvu à un degré déjà assez prononcé, mais bien, redisons-le, dans cette heureuse idée de faire arriver Teau horizontalement par tout le pourtour intérieur de la roue, et de la faire dégorger par la partie la plus étendue, par sa circonférence extérieure. 11 en résulte effectivement que, dans la plupart de ses applications à Tindustrie, cette roue permet, sous de très-petites dimensions, et par conséquent avec une faible dépense en argent et en force, un débit d'eau pour ainsi dire illimité, que l'écoulement s'y opère d'une manière facile et en quelque sorte sans entraves ; qu'enfin elle fonctionne avantageusement à peu près sous toutes les chutes et à toutes les vitesses, sans éprouver, de la part du poids de ses propres parties et de celui de l'eau qui la met en action, ce surcroît de résistance qui se fait sentir dans presque toutes les roues existantes et se trouve accompagné d'inconvénients plus particulièrement fâcheux dans celles dont l'axe est vertical.

On sait, au surplus, avec quel art infini M. Fourneyron est parvenu à soustraire cette môme turbine au défaut, d'abord si capital, du prompt usé des pivots, et comment aussi, à force d'études, de soins et de persévérance, il en a perfectionné les différentes parties de manière à constituer, de Tensemble, un moteur puissant qui est en tous points comparable, pour l'élégance et la simplicité des dispositions, à celte admirable machine, due à quarante aimées de travaux d'un homme de génie tel que Watt. D'une autre part, ne craignons pas de le déclarer, la vitesse excessive qu'il est nécessaire de laisser prendre à la turbine Fourneyron, lors des grandes chutes d'eau, loin d'être à nos yeux une qualité essentielle et qu'on doive admirer, nous semble, au contraire, un grave défaut toutes les fois qu'une pareille vitesse n'est pas immédiatement réclamée par les besoins de l'usine et qu'on se voit obligé de l'amoindrir par une transformation d'engrenages qui dépensent une portion plus ou moins grande de l'action motrice, et dont il convient toujours de tenir compte dans les projets d'établissement de la machine.

La théorie et les calculs qui se trouvent exposés dans la première partie de fa Note que nous avons l'honneur de soumettre à l'Académie ont déjà été l'objet de deux leçons professées par l'auteur, les ii et i3 juil-

Jet dernier, à la Faculté d^s Sciences de Paris. On y considère d'abord les équations relatives à l'écoulement du liquide, tant dans Tintérieur du réservoir de la roue qu'au travers des orifices de circulation formés par ses aubes cylindriques. Dans ces équations on tient compte , en même temps, soit de la perte de force vive qui a lieu à l'entrée du liquide dans le réservoir, soit de la différence qui peut exister entre les pressions à rintérieur et à Texlérieur de l'espace cylindrique compris entre la turbine et les orifices d'alimentation, soit enfin des pertes de force vive qui s'opèrent en vertu de la vitesse relative avec laquelle le liquide afflue dans les canaux de circulation de cette roue et vient choquer leurs parois ou se mêler avec celui qui y est déjà contenu et qui possède généralement une vitesse différente de la sienne propre.

Ces mêmes équations conduisent immédiatement à des expressions trèssimples de la vitesse, de la dépense de liquide, ainsi que de la pression déjà mentionnée ci-dessus et qu'on avait primitivement considéré^ comme l'uno des inconnues du problème. Le numérateur de ces expressions contient uniquement les termes relatirs soit à la différence des niveaux dans les deux biefs, soit à la vitesse angulaire de la roue, et dont l'un, je veux dire le premier, est spécialement dû à Taction de la gravité, et l'autre à celle de la force centrifuge. Leur dénominateur ne renferme, au contraire, que les seuls termes qui proviennent des différentes pertes de forces vives et qui dépendent ainsi essentiellement de la constitution particulière de la machine et du réservoir, lequel est lui-même armé d'aubes, de surfaces cylindriques verticales fixes , qui servent de directrices au liquide.

Quanta l'effet utile de cette machine, il est donné immédiatement par l'équation ordinaire des forces vives, dans laquelle on réunit, à It perte de travail relative à l'introduction de l'eau dans les canaux de la turbine, celle qui résulte de la vitesse absolue conservée par ce liquide à son arrivée dans l'espace extérieur. Mais, comme l'effet dont il s'agit dépend essentiellement de la masse du liquide qui s'écoule, dans chaque unité de temps, après que le régime uniforme se trouve établi, et que cette masse elle-même est une fonction implicite de la vitesse de la roue, il en résulte une expression radicale assez compliquée, qui se simplifie néanmoins quand on ne veut uniquement considérer que le rapport des effets et rechercher la valeur de la vitesse angulaire qui le rend un maximum.

D'ailleurs, les aubes de la roue formant avec sa circonférence intérieure un angle sensiblement droit dans le système de construction adopté par M. Fourneyron, nous n'avons pas eu à nous occuper spécialement des conditions du maximum d'effet absolu, dont l'expression générale se complique beaucoup ici et qui eussent conduit à trois équations du deuxième degré, assez difficiles à discuter ; nous nous sommes borné

à montrer, pour le dispositif particulier dont il s'agit, l'impossibilité de satisfaire à ces mêmes conditions, dont on approche néanmoins lors des fortes ouvertures de vanne et pour de très-petites valeurs attribuées aux angles formés par la veine liquide à son entrée et à sa sortie de la roue. Quoi qu'il en soit, la marche que nous avons suivie dans la recherche du maximum d'effet relatif à ce cas particulier indique suffisamment celle qui devrait être adoptée pour l'établissement de la théorie de, toutes les roues qui offrent plus ou moins d'analogie avec les- turbines et dont la difficulté réside principalement dans la détermination de la dépense de liquide ou de la vitesse d'affluence de ce liquide sur la machine.

Considérant donc spécialement le dispositif adopté par M. Fourneyron, et appliquant les formules à un cas qui doit beaucoup se rapprocher de celui de la turbine de M'dlbach, soumise à l'expérience par M. Morin, on trouve :

i** Que cette turbine, encore bien qu'elle ne soit pas, en général, susceptible de produire ce qu'on nomme le maximum d'effet absolu ^ offre néanmoins des résultats qui en approchent de très-près, en raison de l'excellente disposition de toutes les parties, à laquelle l'auteur s'est conformé dans l'application spéciale dont il s'agit; ;&^ que le rapport de l'effet utile au tjavail dépensé, de même que celui de la vitesse de la roue à celle qui est due à la chute virtuelle ou effective, est entièrement indépendant de la hauteur de c^tte chute et de la quantité dont la turbine peut être noyée dans l'eau du bief inférieur, circonstances dont la dernière, on le sent bien, tient à ce que l'on n'a point eu égard, dans les calculs, aux pertes de force vive occasionnées par la résistance de cette eau ; S"" enfin que les valeurs du rapport des effets varient assez peu pour des vitesses angulaires qui s'écartent notablement, de part et d'autre, de celle qui donne le maximum d'effet relatif.

Ces diverses conséquences s accordent parfaitement avec le résultat des expériences connues ; mais ce qui nous parait surtout mériter l'attention, c'est que les valeurs attribuées par le calcul au rapport des effets sont bien loin de décroître, pour les grandes vitesses de roue, aussi rapidement que l'indique le tableau des expériences déjà citées de M. Morin. Or cette circonstance, jointe à ce que la diminution de l'effet utile relatif aux très-petites ouvertures de vanne est aussi moins sensible dans les résultats déduits du calcul, offre une nouvelle preuve de la nécessité d'avoir égard à la résistance du liquide dans lequel la roue se trouve plongée, ainsi qu'à plusieurs autres circonstances dont nous n'avons point encore parlé. Du reste, le même accord se fait apercevoir dans la comparaison des dépenses théorique et effective, à cela près encore de l'influence perturbatrice qui peut être due aux circonstances dont il s'agit.

294 COURS DE MÊCAlflQUB

L'examen de ces particularités, omises dans rétablissement des précédentes formules, est robjct de la dernière partie de cette Note; on a cherché à y tenir compte, d'une manière approximative, non-sealement de la résistance que la turbine éprouve à se mouvoir dans l'eau du bief inférieur, mais aussi de l'influence qui peut être due au jeu annulaire ou vide laissé entre le réservoir et la couronne supérieure de la roue, ainsi qu'à la présence des diaphragmes ou couronnes intermédiaires quelquefois adoptées, par M. Foumeyron, dans l'établissement de cette roue. On conçoit , en effet , que , lors des mouvements très-rapides ou très-lents de celle-ci, la pression intérieure pouvant être plus petite ou plu^ grande que celle du fluide ambiant, il en résulte, dans le premier cas, une aspiration, et, dans le second, une expulsion, qui altèrent les effets dynamiques de la machine et le mode d'écoulement de l'eau, avec d'autant plus d'énergie, que le jeu annulaire dont il s'agit est plus appréciable , que l'ouverture de la vanne est plus faible et que la vitesse de la roue s'approche elle-même davantage de ses limites extrêmes.

D'un autre côté, il résultera de l'interposition de couronnes intermédiaires que, lors des faibles ouvertures de vanne, le liquide compris dans les divisions supérieures, soumis uniquement à Taction de la force centrifuge, tendra à s'en échapper avec une vitesse qui croîtra avec celle de la roue, et qui produira un remous, un effluve continuels du dehors vers le dedans de cette roue, lesquels n'ont pas lieu pour là division inférieure où l'eau afflue, par hypothèse, directement et d'une manière constante.

L'analyse de ces différentes circonstances conduit à un nombre d'équations suffisant pour en déterminer complètement l'influence tant sur la dépense de fluide que sur les effets de la machine ; mais les résultats auxquels on arrive sont très-compliqués, et nous nous sommes borné, dans cette Note, à indiquer la marche des calculs, qui ne pourraient s'effectuer que pour chaque cas spécial et par la méthode des approximations successives, à laquelle d'ailleurs on sera dispensé de recobrir lorsqu'il ne s'agira que des effets de la turbine considérée dans son état normal, c^està-dire pour des ouvertures de vanne et des vitesses appropriées à sa constitution primitive.

Les détails dans lesquels on vient d'entrer montrent do plus que la théorie et l'établissement des turbines sont en eux-mêmes très- délicats ; que leur eiïet utile est susceptible de s'amoindrir, pour ainsi dire indéfiniment, par une mauvaise disposition do Tensomble ou des parties, mais surtout par une fausse appréciation de la vitesse, de la dépense ou de l'ouverture qui convient aux orifices d'écoulement; qu'enfin l'excellence des résultats obtenus par M. Fourneyron est due autant à son intelligence de la véritable constitution de la machine qu'à une longue expérience dirigée par les indications de la théorie.

APPLIQUÉE AUX HACUINBS. 296

Nommons spécialement, pour le réservoir cylindrique de la turbine,

e la hauteur effective des orifices d'écoulement;

a la plus courte distance entre les directrices consécutives du liquide,

/ la distance entre les extrémités extérieures de ces directrices;

a l'angle aigu sous lequel les filets liquides, censés perpendiculaires à a, ^ viennent rencontrer la circonférence intérieure de la roue, ce qui donne sensiblement a = / sin a ;

U la vitesse inconnue et moyenne avec laquelle ces filets franchissent les orifices dont Taire individuelle est ae;

k le coefiBcient de la contraction à la sortie de ces orifices, et qui ici doit être au moins 0,95 pour les petites valeurs de e ;

ft celui qui se rapporte à l'introduction de Teau dans l'intérieur du réservoir, et qui peut descendre à 0,60 lorsque les parois de ce dernier ne sont pas convenablement évasées ;

À l'aire des sections horizontales du réservoir;

= nkae la somme des aires contractées , Ane, des orifices de sortie, dont n représente le nombre ;

Q = OU le volume du liquide écoulé, dans chaque seconde, par ces orifices.

Soient pareillement pour la roue

R' et R" les rayons des circonférences extérieure et intérieure, dont le dernier est aussi à très-peu près celui du réservoir ;

e^ la hauteur du débouché naturel et invariable offert au liquide affluent par les canaux de circulation des aubes, hauteur qui peut néanmoins se réduire à une fraction déterminée de la distance entre les couronnes extérieures de la roue, quand il existe un ou plusieurs diaphragmes intermédiaires;

cf la plus courte distance entre deux aubes consécutives ;

f et /' leurs intervalles mesurés respectivement sur les circonférences extérieure et intérieure ;

f l'angle aigu formé par le jet liquide avec la première de ces circonférences, de sorte qu'on a sensiblement a'= / slncp ;

O'^^n'k'a'e' la somme des aires contractées kale' des orifices d'évacuation dont n* est**le nombre;

CM la vitesse angulaire ou à l'unité de distance de Taxe;

f/=wR', p*=z wR* les vitesses des circonférences extérieure et intérieure;

u et n' les vitesses relatives avec lesquelles le liquide est introduit dans l'intervalle compris entre les aubes voisines de la roue, et s'en échappe ensuite comme d'une espèce de canal ou ajutage conique ;

P l'angle formé par la vitesse u et la vitesse <"* prise en sens contraire.

ag6 COURS DE HÊCAlflQUB

Enfin désignons généralement par

h et h' les hauteurs du niveau de Teau» dans les bassins supérieur et inférieur, au-dessus du centre des orifices d'écoulement ;

H = /r — //' la chute totale ou ulile;

P la résistance et Pc l'effet utile mesurés au point dont la distance à Taxe est R, et la vitesse p = wR ;

p la pression atmosphérique extérieure par mètre carré ;

p* celle qui a lieu dans l'espace compris entre le réservoir et la roue;

n = looo''^ le poids du mètre cube du liquide;

g=z 9™, 809 la vitesse imprimée par la pesanteur au bout de la pranière unité de temps de la chute des corps;

M — - la masse de liquide qui s'écoule uniformément, dans runité de

temps, par les orifices du réservoir ou ceux de la turbine.

Observant que la perte de forco vive par seconde, qui s'opère à l'entrée de l'eau dans le réservoir cylindrique d'alimentation do la roue, est,

O* / 1 \ • d'après les principes connus, mesurée par l'expression MU* -51 1 ) ;

négligeant, en général, la résistance, ici assez faible, des parois des vases

ou des différentes conduites, aussi bien que la force vive due à la vitesse d*affluence de l'eau dans le bassin supérieur, et qui est ordinairement très-petite par rapport à celle qui a lieu dans le réservoir même de la turbine, l'équation du mouvement permanent du liquide, depuis son entrée dans ce réservoir jusqu'à sa sortie par les orifices 0, sera

OVi \' divisant par M et posant, pour abréger, --, ( 1 \ = K,

ou, en

M^(l^K)-'-:>.gh-^1ls{^^-'Qj

On aura ainsi^ pour déterminer la hauteur de pression dans l'espace compris entre lo réservoir et la roue, (|uand U sera connu,

Il 11 2^ ^ '

Pour obtenir l'équation qui se rapporte au mouvement circulatoire de l'eau dans l'intérieur de la roue, on remarque d'abord que la vitesse relative u avec laquelle cette eau tend, au premier instant, à s'introduire dans Tintervallc compris entre les aubes, est donnée par la relation

//" - U'-+- j"' — 2U('*C0Sa = --— /^'=4- f'"- - 2 — r'cOSa.tt',

attendu qu'on a Q = 0\J = 0'u', et que U doit être la résultante de u et de v".

Admettant ensuite, ce qui a effectivement lieu dans la turbine Fourneyron,que la direction des aubes est sinon rigoureusement, du moins très-sensiblement perpendiculaire à la circonférence intérieure de la roue, on décomposera la vitesse relative u en deux autres: Tune u cos^, dirigée dans le sens de cette circonférence, et qui donne lieu à une première perte de force vive mesurée par

Mw^cos^P;

Tautre usin^, dont Texcès sur la vitesse moyenne ou de régime que l'eau tend à prendre dans les canaux de circulation de la roue, un peu au delà de leur entrée, donne lieu à une seconde perte de force vive, qu'on évaluera approximativement en observant que, A'c/e'u'élAni la dépense qui se fait, en une seconde, par Torifice d'évacuation de chacun de ces canaux, la vitesse moyenne dont il s'agit a pour mesure, dans l'hypothèse du parallélisme des Glets, et attendu que e' l' peut être pris sensiblement pour l'aire de la section à l'entrée des canaux et que /' et /" sont proportionnels à R' et R",

A'a'e'u' /VR' , ,, R' .

—,'1- = 7'- îf^" = ^ Y^" s^^î*-" »

le coefficient numérique /' pouvant servir en même temps à corriger l'erreur que l'on commet en supposant le parallélisme des Glets établi dans la section e'l% qui est évidemment trop forte, et<p représentant ici, redisons-le, non pas l'angle du dernier élément des aubes avec la circonférence extérieure de la roue, mais bien celui du ûlet moyen ou central de la veine sortante avec cette même circonférence.

La perte de vitesse à l'entrée et dans le sens de l'axe des canaux aura donc pour expression

«sinf — X'-rr7jSinç>,w',

ce qui donne pour la perte correspondante de force vive, par seconde et sur le pourtour entier de la roue, l'expression

M Ittsinf» — /' ^^ sin<p./t'j

et, pour la perte de force vive totale à l'entrée de l'eau dans les canaux,

M [«'cos'^-t- lusïn^ — Â' jr-„ sinç.w'j 1

— M lu'-hA'^ 1^.^ sW^.u'- — 2k' — sinq>.wsinp./£'j-

2g8 COURS DE MÉCANIQUE

Mais, attendu que Taxe de ces canaux est ici supposé perpendiculaire à la circonférence intérieure de la roue ( ' ) ou à la direction de (^, et qoe U est la résultante de u" et de u , on a nécessairement

0' wsinp = Usina = -- sina.u';

ce qui donne, pour la nouvelle expression simplifiée de la perte de force vive à rentrée de la roue,

M f a'-h /•'- :^^ sin'y.tt"— 2A' rr^j sin? Tj-sina.w'M

ou, en posant, pour abréger, A' ^ sino = ^, tt- sina = c,

D'après cela, Téquation du mouvement relatif dans rintérieor de la roue, en ayant égard à Faction de la force centrifuge qui développe, par seconde, ime quantité de travail mesurée par ^^{v^^ — v^), sera

ou, en divisant par M, remplaçant ^ ~ ^ psir sa valeur trouvée ci-dessus,

0' et se rappelant que /* — A' = H, U = -r- u\

gYi - r, ^ K) ^' -h b' - •?. ôrl «'».

De là on tire pour déterminer la vitesse </, en posant de nouveau, afin d^abréger, le nombre (i -h K) rr^ -+- 6^— '26c = /,

(*) S'il formait arec elle, du côté de la vitesse v", un angle quelconque ]f. l'expression de la perte de force vive deviendrait

ce qui introduirait dans les équations un terme en u' qui les compliquerait un peu plus, et auquel il sera ainsi facile d'avoir égard dans la recherche des conditions relatives au maximum d'effet absolu.

APPLlQDtB AUX MACHINES. 3gg

partant, pour calculer la vitesse et la dépense de liquide à la sortie du iervoir cylindrique de la turbine,

n 0' „. 0' . A gH-H>.'(R"-R")

mules qui montrent que cette vitesse, cette dépense, peuvent surpasser lies qui seraient dues à la différence H des niveaux, et qu'elles croisât, en général, avec la vitesse angulaire de la roue, conformément au sultat des récentes expériences de M. Morin, sur la turbine de Miilbach. Mettant d'ailleurs la valeur de U, qui vient d'être trouvée, dans l'expres-

mde^ — ^j on aura

qui montre que la pression dans l'espace compris entre la roue et servoir diminue rapidement à mesure que la vitesse angulaire tù augsnte, et qu'elle peut môme devenir inférieure à la pression du fluide ns lequel se meut la turbine, quand la condition

trouve naturellement remplie.

£n6n le principe des forces vives donnera également, pour calculer iffet utile ou la quantité de travail transmise à la roue, abstraction faite is résistances passives,

'p=:Mgll-\M{ir-\-b'u"^^bcu") -^MK=-+-o'=- 2P'cos«p .a'),

tendu que m'h- p" — ap' cosy.w' représente le carré de la vitesse ablue conservée par le liquide à sa sortie de cette roue. Mais il est à remarquer qu'ici les valeurs de M et de MgU, qui repréntent la masse de liquide écoulée par seconde et le travail moteur, Teffet tsolu qui s'y rapporte, ne sont point indépendantes de la vitesse anguire &> de la roue, de sorte qu'il ne conviendrait pas non plus de supposer is valeurs constantes, comme on le fait ordinairement dans la recherche 1 maximum d'effet; c'est pourquoi on se contentera de considérer simement le maximum même du rapport de ces effets, lequel exprime Taintage relatif de la roue, ou ce qu'on appelle quelquefois son rendement ms la pratique.

3oO COURS DE HÊCANIQUI

Comme on a d'ailleurs

là = -j- W -h (' • — iv" jY cosa.tt ,

l'équation qui donne ce rapport sera, en divisant l'expression ci-dessus de Pp par MgrH,

I , .0' \ n' -+- a ( t^'OOfiç H- «'"^COSaJ q.

Observant, en outre, qu'on a remplaçant v>' et (^ par uK' et uR", il viendra, toutes réductions Csdtes,

R'cosç-i-R''^cosa -h a

Pour déduire de là les conditions du maximum d'effet, il faudra successivement faire varier dans cette expression les quantités qu'on veut oodsidérer comme indéterminées dans l'établissement de la roue, en faisant attention que le nombre

/ = (l -+- K) rrr- -r- ^- — a bc

-.- (i -h K) ^,- -4- j^sin'ç. "* ^ ïr ^*°^ s****

est lui-même fonction de quelques-unes d'entre elles.

En se bornant ici à ce qui concerne particulièrement la vitesse angulaire û), ou plutôt le rapport de la vitesse v = wR' à celle /ag'H qui est due à la chute disponible du cours d'eau, rapport qui entre seul dans l'expression de celui des effets, on posera de nouveau, afîn d'abréger,

C0SO4- j^j^7C0Sa j^„

Ml'-

â>H ■"" "^ ^^ *' ■" "^^ "^ v/'-^/?Hx,

APPLIQUÉE AUX MACHINES. 3oi

quantités qui, dans le problème dont on s'occupe, sont toutes essentiellement positives.

L'expression du rapport des effets devenant ainsi, en général,

ï,-ri = B — Cx-+-2Dv/x-i-Ex', sâgH

on trouvera sans difficulté, pour la condition du maximum relatif de ce rapport,

et, pour la valeur même do ce maximum,

Pp

= Bh--^-.~v/C^-4D'E.

UgH aE lE

Cette dernière expression ne contenant ni H, ni h' ou /i, on voitqne'la turbine Fourneyron doit, entre certaines limites de vitesse et abstraction faite des résistances passives plus ou moins grandes qu'elle éprouve, fonctionner avec un égal avantage sous toutes les hauteurs de chute, et qu'elle soit ou non noyée dans Teau du bief inférieur, propriétés qui sont confirmées à l'avance par le résultat des expériences connues.

La valeur du rapport ? qui correspond au maximum d'effet re-

latif, fait voir en outre que ce rapport doit être sensiblement indépendant des circonstances dont il s'agit, et qu'il n'est, ainsi que le' précédent, susceptible de varier qu'avec les proportions mêmes de la machine, l'inclinaison des courbes directrices du réservoir, celle des aubes de la roue et l'ouverture des orifices d'écoulement, conformément encore à ce qui est indiqué par l'expérience.

Dans le système de construction adopté par M. Fourneyron, Taire variable des orifices du réservoir est, tout au plus, le quart de celle A de ses sections horizontales ttR'^, de sorte qu'on a aussi

en prenant pour ^ sa plus petite valeur 0,6. Et, comme le nombre K est en même temps facteur de quantités assez petites dans les expressions de B et C ci-dessus, on pourra l'y supposer entièrement nul, ce qui donnera plus simplement :

i^ Pour l'expression générale du rapport variable des effets,

P. C087H--ggrCOSa

= — aj:-»- a

M/fH ^r^i

3o2 COURS DE MÉCANIQUE

o!* Pour la valeur x, qui correspond au maximum de ce rapport, 3*" Enfin pour la valeur même de ce maximum

cosa

L'examen de cette dernière expression fait voir que les autres conditions à remplir pour rendre l'établissement de la roue le plus a>'antageiix possible, dans l'hypothèse A> 40, qui nous occupe, consiste à rendre elle-môme maximum la quantité

^R'cosy -f- g- R'cosaV (R'= - R"»)

Ci-T-i)R"

(c0Sy-^--^,-C0Saj [i-^.)

, ir \ "' R'^ . , 0' R' .