AP AK

Par conséquent, comme on connaît, pour chacune des posi-

APPLIQUA AUX MACHIRBS. 378

lions du tablier, les longueurs AP et AK, que P est d'ailleurs donné, on pourra calculer immédiatement /. Cette tension,

Fig. 93.

agissant à la circonférence du tambour LMD monté sur Tarbre E, aura pour moment, par rapport i Taxe,

/XR,

si l'on désigne par R le rayon constant de ce tambour. Nommant, de plus, r le rayon correspondant Ea de la spirale abcd, compté de l'axe E, ou plutôt le bras de levier horizontal du poids Q qu'elle supporte, relatif à la position AB du tablier, on aura, pour exprimer les conditions de l'équilibre, l'équation unique

AP Qr=/R=^RP,

^'^^ '•=ïr|^'

au moyen de quoi il devient facile de tracer la spirale.

En effet, les angles décrits par le treuil et la spirale, pendant que le tablier s'élève au-dessus de sa position primitive AB', sont évidemment proportionnels aux arcs correspondants de chaînes enveloppés sur le tambour circulaire DLH, ou aux raccourcissements éprouvés par la portion de chaîne extérieure BC, comprise depuis la poulie C jusqu'au point d'attache B du tablier.. Or ces raccourcissements sont donnés pour chacune des positions de AB, aussi bien que AK et AP; donc, si Ton conçoit que la longueur totale des chaînes, qui a

374 GOUBS DB HÉGAKIQUB

passé sur la poulie C ou s'est enroulée sur le tambour DLH, depuis la position horizontale jusqu'à la position Terticale du tablier, soit divisée en un nombre suffisamment grand départies égales; qu'on ait déterminé, soit graphiquement, soit par le calcul, les valeurs de AP, AK et r, qui répondent aux positions du tablier pour lesquelles la longueur de chaîne extérieure BC a diminué de ces diverses quantités ou parties égales,

Fig. 9.^.

\ hy - "^'^"N -'

on n'aura plus, pour tracer la spirale, qu'à porter consécutivement ces diverses parties sur la circonférence du tambour DLM [fig^ 94)> à partir d'un certain point a,, qu'on prendra pour origine des arcs et qui sera censé correspondre à la position horizontale du tablier; puis, désignant para,, a^, a,, ^4,... les différents points de division consécutifs ainsi obtenus, on tracera les rayons £a,, Ea,, E^a* E^i,..., sur lesquels on po^ tera, à partir du centre E, les distances £r„ Er,, Er,,. . ., qui sont respectivement égales aux valeurs de r trouvées pour les positions du tablier où la portion de chaîne BC est diminuée de 01 a„ de a, ^3, de axa^^\... Enfin élevant, à chacun des points ainsi obtenus, des perpendiculaires indéfinies sur les rayons correspondants, l'enveloppe de toutes ces perpendiculaires, qui représentent ici les diverses directions de la chaîne aQ du contre-poids, par rapport à l'axe E du treuil, cette enveloppe, dis-je, sera la spirale demandée.

APPLIQUAI AUX MAGHIHBS. 3^5

22. Simplification des calculs et du tracé de la spirale. •— Celte construction de la spirale, pour le cas général^ ne laisse pas que d'être assez compliquée et pénible, à cause des opérations nécessaires pour obtenir les valeurs successives de r; mais elle se simplifie beaucoup : i^ lorsqu'on place le poiqt d'attache B du tablier dans la direction de la droite AG, qui va du tourillon au centre de gravité G, ce qui se fait presque toujours; tp lorsqu'on substitue à la poulie antérieure C des chaînes un point I, situé un peu au delà de sa circonférence et par lequel leur direction passe sensiblement dans les diverses positions du tablier.

Pour déterminer la position de ce point 1 ( fig. gS ), la poulie et le tablier étant donnés, on tracera les directions bW^

aB' de la chatne, qui forment entre elles le plus grand angle parmi toutes celles qui répondent aux diverses positions du lablfer; après quoi on inscrira, dans le triangle mixtiligne a6e, formé par ces directions el la gorge de la poulie, un petit cercle, dont le centre I pourra être pris pour le point demandé. Dans les suppositions dont il s'agit, on pourra décomposer

le poids P du tablier en deux : l'un P — agissant en A, qui

AG

sera détruit par la résistance des tourillons; l'autre P *r5 ^^Z'»

qui agira au point d'attache B, pour entratner le pont. Le point B se trouvera ainsi soumis aux deux forces t et />, l'une agissant suivant la direction IB de la chaîne et l'autre suivant la verticale B/y de B; ces forces t et p devant se faire équilibre au moyeu de la verge rigide AB, il faudra que leur résul- .

376 COURS DE MfiCAlflQUI

tante passe par le centre A des tourillons; abaissant donc [fis* 9^) '^ verticale IH de I sur AB prolongée, ces forces de-

Fig. 96.

vront être entre elles dans le rapport des côtés BI et IH du triangle BIH> semblable à celui BiA qui serait formé sur les forces />, / et leur résultante BA, en sorte qu'on aura

BI

et toujours

/R pm

expression qu'il sera très-racile de calculer ou de construire, pour les diverses longueurs IB de la chaîne extérieure, qui ont été considérées dans la construction ci-dessus de la spirale; car, si Ton porte, de I en F, sur IH, un nombre de millimètres ou de centimètres égal au nombre de kilogrammes que contient p^ puis qu'on mène la parallèle F/ à AB, elle interceptera, sur IB, une distance I/, qui représentera, en oiillimètres ou en centimètres, le nombre de kilogrammes contenus dans /.

23. Cas particulier où le point de contact mojren des chatna et de la poulie est sur la verticale des tourillons. — Dans le cas particulier où le point I est sur la verticale de Taxe A des tourillons, IH se confond avec AI et devient invariable, d'oii il suit

APPLIQUAS AUX MACHINES. 877

que les valeurs de / et de r sont siraplement proportionnelles aux longueurs BI de chaîne extérieure; c'est ce cas particulier qui a été spécialement considéré par le capitaine Derché ('), i cause des simpliflcations qu*il apporte dans la construction des spirales d'équilibre.

Il résulte, en premier lieu, de cette supposition, que les rayons vecteurs Er, Er,, Er„... [fig. 94)> qui nous ont servi, plus haut, à construire les tangentes enveloppes de la spirale, décroissent proportionnellement aux longueurs aia>, a, ai, 01^4,. . . de chatne qui se sont successivement enroulées sur le tambour LMD du treuil, en sorte que leurs extrémités r., ru Tat . . . appartiennent véritablement à une spirale d'Archimède.

De plus, si nous nommons /i la longueur de chatne extérieure BI (yî^.96) relative à la position horizontale du tablier, /« sa longueur relative à la position verticale, la longueur totale a, a,. . . On [fig. 94) de chatne enroulée sur le tambour LMD, pour cette dernière position, sera /,—-/«; et, si nous la supposons divisée en /t— i parties égales axa^ a^Ci,... aux points a,, a^, . . . , ^«.i, et que nous fassions

= e, -^ -77 = c = const.,

/i ■— I Q AI

nous aurons, d'après ce qui précède,

r=^ -^R — cBI = c/, n — clt, r, = c[lt— e),

r3 = c(/, — ?.a), r4 = c(/, — 3e),. . ., rn^cK,

relations qui déterminent les bras de levier Er„ Er,, Ers,. . . répondant aux points de division ai, a^ a,,... et servant à construire la spirale d'équilibre par l'enveloppe de ses tangentes.

Ce tracé laissant quelque incertitude relativement à la position des points de la courbe qui sont les intersections suc-

(') yoir le Mémoire de cet habile ingénieur dans le cinquième numéro du Mémorial de V Officier du Génie, p. 7.

S78 COURS Dl MÉGÂlflQUB

cessives des tangentes, à moins qu'on ne multiplie considérablement le nombre de ces dernières, H. le capitaine du Génie Gosselin a levé toute espèce de difficulté, au moyen d'une construction simple et ingénieuse du point de contact de chaque tangente (*).

2i. Construction directe des points de contact des tangentes enveloppes de la spirale d* équilibre. -^ Considérons [fig* 97]

deux points infiniment voisins r et r' de la spirale d'Archimède, qui contient les pieds des perpendiculaires tangentes à la spirale d'équilibre, la rencontre /des perpendiculaires r/, r' t aux rayons vecteurs Er, Er' sera le point de contact demandé sur la tangente rt; de plus, rr' sera l'élément correspondant de la spirale d'Archimède. Cela posé, prolongeons les rayons vecteurs Er,Er' jusqu'à la circonférence extérieure du tambour en a, a', et soit s le point 011 la tangente r't rencontre le rayon vecteur Er; rs, que nous nommerons rfr, sera la diminution infiniment petite du rayon vecteur r, de r en r', et aa' sera la diminution correspondante de la longueur de chaîne extérieure, que nous nommerons <//; en sorte qu'on aura, d'après la relation générale,

r^^c', dr^^cdl; mais r'^peut être considérée comme un arc de cercle infini-

(*) Foir la solution analytique à la page aoi et suivantes du n^ 7 du Mé' morial de l'Officier du Génie,

APPUQUÉB AOX MACHllflS. 879

ment petit concentrique i aa' et ayant r pour rayon ; donc

on a

Ea'

aa!

dl

dr

Er"

cr's

— r ' ers

et partant

R rs rt rt

r r's rE r '

attendu que les triangles rr's^ rEt, rectangles en s et rsont semblables, la figure Errt étant inscriptible à un cercle^dont E/ est le diamètre, et les angles rr't^ rE/, qui sous-tendent le même arc r/, étant égaux. Donc, enfin, on a, pour déterminer la distance du point de contact / de chaque tangente rt au pied de la perpendiculaire qui lui correspond, la relation

qui montre que, dans les suppositions particulières qui nous occupent, où le point I est sur la verticale des tourillons du tablier, la distance dont il s'agit est invariable et égale, à une quantité facile à calculer, comme l'a démontré primitivement M. Gosselin.

25. Détermination du rayon du tambour des chatnes et du plus grand rayon de la spirale,— Pour éviter que les portions de chaîne enroulée sur le grand tambour du contre-poids ne s'y recroisent et ne s'y embarrassent, le capitaine Derché â pris la circonférence de ce tambour précisément égale à la longueur totale de cette portion, ou à /, — /„; en sorte qu'on a

/, - In

/,— /^=27rR, d'où R =

TT étant le rapport de la circonférence au diamètre. Quant à la valeur du contre-poids Q, M. Derché la détermine d'après la condition que le bras de levier de la spirale, qui répond à la position horizontale du tablier, soit précisément égale à R; et, comme on a

38o COUBS Dl MÉCAinQOB •

on déduit de cette seconde condition*