GAZ PERMANENTS

équation qui peut se mettre sous une forme encore plus simple, car ce qui donne :

On peut aussi écrire l'équation (52) sous cette forme : (62«') g = B (T. - T-.) +J^* pdr

T, étant la température dans le premier réservoir et T'. la température du jet à l'oriflce.

Dans ces diverses formes d'équalion, il est impossible de trouver l'intégrale si l'on ne connaît, pour chaque point compris entre les sections u, et <!),, la loi qui lie la pression au volume; en général, cette loi n'est pas connue, elle dépend de la manière dont la chaleur est communiquée au corps dans sou trajet, mais nous pouvons résoudre le problème dans quelques cas particuliers.

68. — Cas où le volume est confiant. — L'équation (63) devient :

' Vf ,

^ = vip,-P3)

ou, puisque « est le volume de l'unité de poids, on a, en appelant S la densité par rapport à l'eau :

c'est la formule des liquides.

U se produit un abaissement de température dans l'oriSce, car le vo- ' lume doit rester constant malgré la diminution de pression; du reste, d'après l'équation (5â 6m) :

.dbyGoOgk

ÉCOULEMENT DBS FLUIDES

on a donc :

^.-^■='-ii^'=ft('-i

ainsi, soient :

P, = 1,1 X lOSM kilogmmn»

Pour l'air atmosphérique, R=: 29.212 soit :

T, = 878 + 10 = 288 (ou IC C.)

o est le poids de l'unilé de volume à la pression a et à la températiire T..

T", = 267^ enriron (on — 16"8 C.)

L'abaissement de température est donc très prononcé.

Pour réaliser ce mode d'écoulement il est à peine nécessaire de re> marquer qu'il faut fournir au corps une certaine quantité de chaleur positive ou négative pendant le trajet vers l'oriSce {W 70).

60. — Cm oà la température e$t cotutante. — On a, par l'équation

La loi qui lie ta pression au volume est ici la loi de MariottOt donc :

(66) g = ET, I.a

2? Pt

Celte formule est celle de tfavier. Pour réaliser la constance de la

GAZ PERMAREKTS 97

température, il est nécessaire de fournir au fluide une certaine quanlilé de chaleur, comme on le verra ci-apres.

70. — Cas où dQ = o. — La pression et le volume sont alors liés par l'équatioQ :

pr " = p^v, ^ On peut calculer l'abaissement de température par l'équalion (11) :

qui donne :

D'ailleurs, dans une transformation adiabatique; le travail accompli est égal à la perte d'énergie inlérieupc, on a donc :

J].'* pdv = Ec {T, - Ta)

et, en portant ces valeurs dans l'équalion {5% bis) : V T — In

Lorsqu'on introduit dans cette formule la chute de température, elle prend la forme très simple :

C'est la formule de Weisbacli. L'abaissement de température estassez faible, même pour une grande vitesse, mais il existe toujours dans l'écoulement adiabatique ; par conséquent, pour produire l'écoulement à température constante, 11 faut fournir une certaine quantité de chaleur.

L'atiaissement de température peut se mettre sous la forme :

,-r-lT

MACHINES TRBRH1QDB8.

T.-T., = îg..[l-(a)'— ]

98 £cOOLESIBNT DES FLUIDES

En comparant cette valeur à l'équation RS, on trouve que l'&baissemenl de température est moins prononcé dans l'écoulement adîabalique que dans l'écoulement à volume constant ; celui-ci ne peut donc être réalisé que moyennant une soustraction de chaleur (').

71. — La vitesse w, réalisée dans la section contractée de la veine, s'amortit au fur et à mesure que le jet s'épanouit dans le réservoir, en même temps que la température T', s'élève jusc^n'i T,.

L'échauffement du gaz s'effectue sous pression constante, au détriment de sa force vive seule, car l'opération se &it sensiblement sans emprunt de chaleur à l'extérieur ; on doit donc avoir :

Ag=i7c(T,-r,)

Cette formule, rapprochée par exemple de celle de l'équation adiabatique (S7 biê), montre que, dans ce dernier mode, on a ;

c'estrà-dire que le fluide reprend, lorsqu'il s'est mis au repos dans le second réservoir, la température qu'il avait dans le premier. On en condut qu'il n'y a pas de travail extérieur dépensé dans l'opération ; en effet, les deux réservoirs à pression constante peuvent être supposés reliés par un système de deux pistons {ûg. 3â) disposés de telle manière que les volumes déplacés par chacun d'eux soient en raison inverse des pressions qn'fls sapportent C). Pendant l'é* coulement, le fluide reprenant dans le second réservoir la même température que dans le premier, les pistons senmt en équilibre, et il n'y a aucun travail effisctué par le gai sur les corps extérieurs . La chaleur founii« «a sjstèine est du reste nuUe, et comme la température

1. Nous n'aborderons paa toi tous les problèmes auxquels peut donner lieu l'écoulement des gaz. M. Haton de la Goupllliëre a tait dans son Coar» de Machinet, 1. 1 (n*- 291 A 307) un exposé teèa complet des problèmes relatifs au remplissage et à la vidange d'un réservoir; ces recherches peuvent présenter un certain intérêt au point de vue des applications de l'air comprimé.

!. On euppose. bien entendu, que tout le système se trouve dans le vide.

Fig.n

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GAZ PERliAMiKTS 99

ne change pas, on voit que les eondilions réalisées dans l'écoulement permanent ont cpielque analogie avec celles de l'expérience de Joule, bien que le phénomène soit évidemment tout autre.

78. — Pour établir l'accord complet entre les formules et les expériences lie Weisbach, il faut observer que le frottement du fluide contre . les bords de l'orifice développe de la chaleur, dont une portion très Mble est transmise à la paroi elle-même ; par conséquent, l'énergie perdue sous forme de force vive est en majeure partie transmise au Jet sous foime de chaleur, mais comme réchauffement a lieu à pression constanle, on aura en appelant T", la température effective du Jet et w^ la vitesse corrigée:

^.-=ETc(T,-T".)

Ces équations permettent de calculer T", lorsque l'on connaît f . Le volume spédflque t>„ à la sortie de l'orifice, sera :

Soient fi: le coefficient de contraction, o la section de l'orifice ; le débit sera, en volume :

et en poids :

Pour on orifice artxmdi :

? = 0.981, [i = 1, [ip = 0.981

Pour HD orifice en mioee paroi :

? = 0.981, (1 = 0.565 à 0.81, (!?(')= 0.656 àO.796

L'écoulement adlabatique est celui qui se rapproche le plus des conditions pratiques, car les gaz conduisent mal la chaleur, et il serait fort

I, (If K 9,036 d'âpre D«ibuiHon.

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iOO Roulement des PLurDBs

di^cile de transmettre au jet (ou de lui enlever) pendant l'écoulement même, une quantité de chaleur appréciable.

73. —Détendeurs. — Ces appareils ont été imaginés pour dépenser

â pression constante l'air comprimé d'un réservoir dont la pression

diminue successivement au fur et à mesure que le réservoir se vide. En

principe, ils se réduisent au système de la figure 33, qui représente en

schéma le détendeur Belleville .

Un obturateur cylindriques en se déplaçant vers le bas, découvre de plus en plus largement les orifices par lesquels l'air s'échappe à la pression p, ; la force qui tend à fermer cet obturateur est due à l'excès de la pression p, sur la pression atmosphérique, sur la section de la lige ( ; elle est équilibrée par un levier sur lequel a^ssent un ressort r et un contre-poids P réglé pour chaque cas; lorsque la pression p, diminue, l'action dulevieraugmente les ouvertures, et vice versa. '*■ Les détendeurs sont aujourd'hui fréqpiem-

ment employés pour réduire la pression de la vapeur dans les appareils de chaufTage, quelquefois aussi pour régulariser la pression de la vapeur fournie par les chaudières à petit volume d'eau, ou pour alimenter les enveloppes de vapeur des cylindres intermédiaires dans les machines â expansion multiple.

Lorsqu'il s'agit d'un gaz comprimé, les échanges de chaleur entre l'air et la fonte des parois sont négligeables dans la zone active de l'appareil; l'écoulement est donc adiabatique, et la température baisse dans l'orifice, mais elle se rétablit (n' 71) lorsque la vitesse est amortie.

L'énerpe intérieure n'est donc pas altérée, et les volumes de l'unité de poids du fiuide avant et après le passage k travers le détendeur, sont liés par la loi de Mariette.

Nous savons que le travail limite qai serait développé par le gaz en se détendant jusqu'au moment où sa pression serait nulle, ne dépend que de la température initiale du gaz et non de sa pression (19), mais pratiquement, la détente étant limitée par la contre-pression atmosphérique, le travail recueilli pendant la détente diminue en même temps

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écOULBVENT DES TAPEVRS 101

que la pression/),. Le détendeur amène donc une perte d'effet inévitable, qui sera étudiée à propos des aéro-moteurs (')-

L'effet d'un modérateur ou d'une soupape à étranglement est analogue à celui du détendeur; cependant, on ne peut comparer l'action commune de ces différents organes à celle d'une vanne de moteur hydraulique, qui, pour un même poids d'eau dépensé, réduit la pression sans augmenter le volume du fluide.

Bcoolement des vapeurs C).

74. —L'équation (52) trouvée pour les gaz permanents, s'applique aux vapeurs, mais il est préférable ici de remplacer le travail de détente produit par le fluide en fonction de l'excès de la chaleur fournie sur l'accroissement de la chaleur interne ; c'est-à-dire de remplacer

Lj^'pdv

par l'expression équivalente :

Q - A (U. - U.) L'équation devient ainsi :

A g = A (p,r, - p,vù + Q - A (U. - DO

Soient a;, le titre initial du mélange ;

u'i le volume spécifique de la vapeur saturée à la température T, ; X, le titre à l'orifice i

u', le volume spécifique de la vapeur saturée à la pression p^, et à la température T, qui lui correspond. Le volume liquide dont la dilatation est, comme nous l'avons admis,

I, Sa Fascicule.

S. M. E. Haerens. — AnnaUt det Inginieurt de Gand, 1886, î» mémûire, a étudié de nombreux cas d'écouldinent de la vapeur saturée et même surchauffée.

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102 écOÏÏLBHBNT DË8 FLDIDES

négligeable vis à vis du volume de la vapeur, sera supposé eonstSBt et égal à 1. On a donc :

Pj = « + («j' — «) X,

A V, =fj' dq + fl". [r, - Aj,, {«.• - «)] A U, ^f^' dq + :r, [r. - Ajh («'. - «*)]

Q est la quantité de clialeur fournie à l'unité de poids du mélange pendant qu'il passe de l'état x^ T, p^ à l'état x, T, p„ et sur laquelle nous pouvons faire des hypothèses particulières ; la plus simple, qui ne doit pas s'écarter beaucoup de la réalité, consiste à supposer

En introduisant ces différentes valeurs dans l'expression qui fournit la vitesse, on obtient :

(68) A g=jT^' dq + r, r, - r, a:, + A (p, -p.) u

Lorsque l'on néglige le dernier terme, qui représente la chaleur correspondante au travail d'expulsion du volume w qu'aurait le mélange liquéfié, il vient simplement :

Les quantités ç„ g-,, r„ x,, r„ sont connues; le titre x, est celui du mélange après la détente adiabatjque ; on a donc, par l'équation (37) :

et le problème est entièrement résolu, surtout lorsque l'on possède une table de l'entropie t du liquide.

On emploie des formules approchées qui donnent la valeur explicite'

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ÉGOnLEHENT DES TAPBVRS 103

de la vitesse ; celle de M. Zeuner (') s'établit en remarquant que :

et en prenant pour l, chaleur spécifique du liquide, une valeur constante, ce qui donne :

r, ï, = J" r, X, + IT. log, |l

On a, du reste :

log, Ç|=log„ (i + îi-^'J et, en développant en série :

Cette valeur est introduite dans l'expression de r, x„ que l'on substitue dans l'équation (59). Pour la vapeur d'eau, t est sensiblement égal à l'unité, et l'on démontre que, même pour des écarts de température dépassant ceux que l'on a à considérer dans les applications, on peut se borner à conserver le premier terme du développement ; dans tous les cas où Xt est assez grand, on obtient ainsi, pour la vapeur d'eau :

(»•») » = 91.8 (/n-^'ïi^'

75. — La vitesse te est celle qui se produit dans le voisinage de l'orifice, mais bientôt, elle se ralentit, et il en résulte des mouvements tourbillonnaires, pendant lesquels la force vive du jet se transforme en cbaleur que le mélange absorbe à la pression constante Py Soit x\ le titre de la vapeur ramenée au repos, sa température reste T, (à moins que la vapeur ne se surchauffe, ce qui aura lieu si nous trouvons a;', > 1). Nous aurons ;

1. Ouvrage cité, et A. Poohet, Nouvelle Mécanique induBtrielle.

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104 ÉGOULBHBNT DBS FLU1UB8

OU, en prenant la valenr de la force vive donnée par l'équation (58) :

(eo)

A(p, —pi.)u + gt -

Celte valeur aurait pu être trouvée directement, en exprimant que le travail effectué sur la vapeur dans l'ensemble des deux réservoirs est égal à l'accroissement de son énergie intérieure.

Application numérique. — Soient :

T, = 27S + 100 pa = 10884

Pourx,=:i, on trouve x',> 1, ce qu'il est facile de vérifier par l'équation (60). On peut se demander quel devrait être le titre initial du mélange pour que la vapeur arrivée au repos dans le second réservoir soit saturée et sèche. On devra avoir x\ =: i dans l'équation (60) i celle-ci donne alors :

76. — Surchauffe spontanée. — La vapeur saturée à 190" C. (12,5 atm. abs. environ), contenant 6 % d'eau, se sèche donc complètement en s'écoulant sans perte ni gain de chaleur à la pression atmosphérique, après qu'elle est rentrée au repos.

Si l'on suppose que le titre soit supi^rieur à 0.94, la vapeur se surchauffe, et c'est ce que l'on observe dans l'écoulement de la vapeur à l'air libre; dans le voisinage de l'orifice, il se forme un cône gris ayant l'orifice pour base, et celte couleur est due à l'humidité produite par la détente ; le jel s'épanouit ensuite, il devient Iransparenl et prend une couleur bleue ; c'est le ft-ottemenl de l'air et l'arrêt progressif de la vapeur qui produisent ce phénomène; enfin, à une distance plus grande encore, le jel se refroidit, et la vapeur prend l'état vésicuJaire.

Ce résultat indique que l'on peut surchaufTer la vapeur, lorsqu'elle est humide, en déterminant une chute de pression; toutefois, la surchauffe que l'on peut obtenir ainsi n'est pas très prononcée.

En règle générale, loi-sque l'on étrangle la vapeur qui se rend de la chaudière au récepteur, soit au moyen d'un détendeur (73), soit au moyen

vGooqIc

ÉCOtlLBHBNT DBS TAPEURS lOS

d'une valve, on retrouve sous forme de chaleur interne tout l'excès du travail de la pression d'amont sur celui de la pression d'aval. On ne peut en conclure, cependant, qu'il est indifférent d'employer la vapeuràpleine pression ou de lui faire subir un étranglement ; nous verrons au contraire dans la thëorie des machines à vapeur, que par le fait de l'étranglement la chaleur de la source supérieure est moins bien utilisée,

La surchauffe, ou tout au moins l'élévation du titre que noua venons de reconnaître pour la vapeur d'eau, n'est nullement en contradiction avec le fait établi au numéro 48 : la condensation de la vapeur pendant la détente adiabatique ; en effet, il y a une différence essentielle entre les deux phénomènes : dans le changement réversible, le mélange effectue du travail au détriment de sa chaleur interne, tandis que la vapeur qui s'écoule et qui rentre au repos reçoit, au total, le travail des pressions extérieures. Dans l'oriâce même, le titre de la vapeur est celui qui résulterait de la détente adiabatique, dont le travail s'est exercé sur la musse de la vapeur, mais l'équivalent en force vive du travail rentre en jeu dans la transformation ultérieure.

77. — /)éfr(7 (funon^w. — Pour l'obtenir, il fautmultiplierla section de l'oriâce, exprimée en mètres carrés, par la vitesse de la vapeur, et par le poids du mètre cube du mélange ; celui-ci est :

OU, très approximativement, même lorsque le titre x, est faible :

On a donc, en appelant P le débit en poids, et o la section :

M ,X, M *Bi v

Cette formule peut être utile pour la recherche du diamètre à donner aux soupapes de sûreté des chaudières (').

78. — Ecoulement à l'air libre de l'eau d'une chaudière. — Lorsque la température de l'eau est inférieure à lOO'C, le phénomène est régi I. 4' Fascicule.

.dbyGoOgk

106 éCOCLEMBNT DEg FLUIDES

par les lois de l'hydraulique, et ne présente aucun intérêt spécial ; mais lorsque la température T, est supérieure à 313 + 100, on peut prévoir qu'une partie du jet se vaporise pendant le trajet du mélange, d'abord entièrement liquide, qui se rend vers l'orifice ; il y a ainsi une certaine énergie dépensée qui altère complètement le phénomène.

La formule pratique (SQbi$) ne s'applique pas au cas où x, est nul, U faut faire le calcul au moyen de l'équation (59); on a, dans le cas de l'exemple numérique déjà traité (n' 76) : ■j; ~ 0.1536

On obtiendrait, par la formule de l'hydraulique :

et l'on voit combien grave serait l'erreur commise en négligeant l'effel de la modification de la chaleur interne du Suide qui s'écoule.

Pour obtenir le débit en poida de l'orifice, ilfauttenircompte du poids spécifique du mélange :

«+^. («',-«) onau = 0,OOI.

Pour l'orifice ayant 1 mètre carré de section, il vient pour le débit en poids :

P = — ; TT : = 1125 kîl. parsecondâ

Si l'on suppose que l'eau est sous la même pression (produite, par exemple, par un piston ou par une autre chaudière), mais à la température de 100* seulement, le débit en poids devient :

M. Zeuner(') établit que, pour un orifice donné, le débit en poida n'augmente que très peu avec la pression initiale ; on se rend facilement compte de ce fait en remarquant que le titre du mélange, en augmentant la vitesse, diminue la densité,

I. Zeuaer. ■- Ouvrage cité p. 4U. Une table est calculée pour des pressions absolues s'élendant de 3 & U atmosphères; le poids débité par métré carré d'orifice augmente de 1091 k., 6 b. ll!9 k., 6; dans le premier cas la proportion de vapeur n'est que de 41,5 kilogrammes, tandis qu'& la presdon ta plus élevée, cette proportion est de 183 k., 7.

.GooqIc

APPIRBILS A JET

lOT

Des expériences récentes, inspirées par M. Sauvage (*), ontmonlré que le phénomène réel ne vérifie nullement la théorie ci-âessus; le débit augmenterait avec la pression dans une assez forte mesure, et serait toujours beaucoup plus grand que celui de la formule de M. Zeuaer. M. Widmann, ingénieur de la Marine, signale des anomalies semblables au siget de l'écoulement de la vapeur, qui, d'après ses expériences et celles faiies par M. Garnier, à Indret, donnerait lieu à un débit 3 ou 4 fois plus grand que celui des formules théoriques.

Appareils à Jet.

79. — Injecteur Giffard {') pour V alimentation de& chaudières. — La vapeur est prise sur une chaudière à la température centigrade l„ elle est saturée et son litre se rapproche de l'unité ; elle entraîne, au moment où elle débouche dans la chambre C, âgure 34, une certaine quantité d'eau froide à la lem-

pérature (. Pendant cette opéra- ^lion, la vapeur se condense et l'eau qui résulte du mélange, échauffée à la température 9, possède, dans la section de sortie B, la vitesse V ; en ce point, la veine liquide est soumise à la pression atmosphérique, mais par suite du ralentissement

Flg. 34.

qu'elle subit dans la tuyère divergente D, sa pression s'élève, et elle pénètre dans la chambre d'eau de la chaudière.

Soient („ x, la température et le titre de la vapeur à la sortie de l'oriâce, p, la pression, et w la vitesse du jet dans cet orifice.

Si noua supposons que les parois de l'appareil n' absorbent ni ne cèdent aucune quantité de chaleur, l'énergie du fluide qui sort de la section B est égale à la somme des énergies amenées : 1") par le fluide qui

1. ÈtotAtmna d» Peau d«l ehaudièm, par M. HA. Sauvage. — AnnaUi det Minet, août iS9S. — Voir aussi sur cette question les expériences et les travaux de M. Résal. Ser. Phi/ttqu« tndvstrUUt, t. I., cli. tii.