CHAPITRE lU

BqnillbrB des mécanismes sonmis & des réolstanoes 1 passives.

Nous Dons bornerons, dans ce chapitre, à envisager les mécanismes qui, par leur combinaison, constituent les transmissions ; nous supposons ces mécanismes connus au point de vue cinématique, c'est>à-dire en ce qui concerne les mouvements qu'ils réalisent. Notre but est d'arriver à la connaissance du tenne

Hf'.rdt

îif'Frds

qui entre dans les deux formes données à l'équation des forces vives. Nous supposerons que les systèmes sont à l'état de mouvement unifonne, ou bien, s'ils n'en sont pas susceptibles, que leurs vitesses sont, en tous cas assez faibles pour qu'an puisse négliger les forces d'inertie. Les seules forces à considérer sont donc les actions extérieures, et les résistances passives naissant du mouvement (11).

SI

smins daks lbsqubls on n'a a gohsjd^bbb qub lk raomusMT 48. — Pivot chargé tuivant son axe. — (fig. 30). Appelons :

.dbyGoOgk

P l'effort agissant suivant l'axe ; r le rayon du pivot ;

Lu la vitesse angulaire constante ; p la pression uniforme par unité de la surface de contact.

On a:

La force tangenUeUe gui sollicite chaque élément, en sens contraire du mouvement est :

Pour l'élément de temps dt, on trouve facilement que !e travail des forces analogues sur toute la surface de contact est donné par

T. d* = I * /pr- «A = f/P^W*

le travail absorbé par seconde serait :

M s'exprime souvent en fonction du nombre de tours n que fait l'arbre par minute ; or :

2nn Le travail résistant devient alors :

Exemple :

p = S.000 kil.

r = O.0fi / = 0.07 »=:70

D.gitizedbyGoO^^lc

Le travail absorbé par seconde par le ft-otlement du pivot sera : tr — 51.S igm.

~ = 0.69 cheral vapeur

La fonnnle (1) nous apprend que le travail perdu est proportionnel au rayon du tourillon, il y a donc intérêt à le réduire ; d'autre part, la pression par unité de surface étant limitée par la considération du graissage, on ne peut descendre pour r en dessous d'une certaine limite.

49- — La formule précédente peut s'étendre aux épaulements des arbres sollicités suivant leur 6xe, analogues à ceux qu'on trouve dans les paliers de butée des aiA>re3 d'hélice. Le travaU absorbé par seconde est alors :

P est la pression suivant l'axe supporté par l'ensemble des cannelures

ou par l'épaulement unique ;

ri, le rayon extérieur ;

r. le rayon intérieur de la surface de contact.

Exemple : Le palier de butée du steamer Grecian comporte onze cannelures

On trouve Tr^675 Xgm., environ

sg=9eEiflvanx

50. — Certaines expériences sur les lubrifiants (27) ont été faîtes au moyen de deux disques horizontaux appuyés l'un sur l'autre; un mouvement de rotation étant communiqué au disque supérieur, on mesure

le moment M à exercer pour maintenir en repos le disque fixe, ce moment a pour expression

on tire de l'équation la valeur de f, qui est la seule inconnue. Mais on admet implicitement que le coefficient de iWittement est le même dans toute l'étendue du plateau, c'est-à-dire qu'il est indépendant de la vitesse.

On peut opérer en prenant comme point de départ une autre hypothèse, et admettre a priori

En introduisant cette valeur dans le calcul du numéro 48, et en opérant à dififérentes vitesses, on obtiendrait les paramètres de la fonction inconnue.

M. Unwln a opéré de cette manière pour déterminer le frottement des liquides sur les solides (33). En admettant que la résistance par unité de surface est donnée par

AV

. formule dans laquelle V désigne la vitesse, A et n des paramètres inconnus, il vient, en appliquant à un disque mince tournant dans l'eau le calcul du numéro 48, et en remarquant que le disque présente deux

r étant ici' le rayon extérieur du disque; deux expériences à des vitesses différentes, mais connues, permettent de trouver les valeurs de A et n après quoi il est nécessaire encore de s'assurer que la formule se vérifie pour une vitesse quelconque, car sinon, la loi supposée ne pourrait être admise.

51. — Tourillons. — Les arbres terminés par des tourillons reposant sur coussinets, sont généralement sollicités par des forces perpendicn-

laires à leur axe. On admet que la surface du tourillon, ne pouvant a'embolter exactement dans le coussinet, ne touche la surface intérieure que suivant une génératrice, c'est-à-dire que les sections droites du tourillon et du coussinet n'ont qu'un point de contact, A (fig. 31). — Les centres du tourillon fM\ et du coussinet sont en 0 etb' respectivement ; lorsque le tourillon est en fuouvement dans le sens de la Sèche, la réaction du coussinet fait avec la normale, c'est-à-dire avec les rayons OA, O'A, UD angle égal à l'angle du frottement, en désignant par r le rayon du tourillon, par r' celui du coussinet, la réaction R passe donc à la distance

Pig.31

du centre 0, ou à ta distance du centre 0'

Oj» = r 8hi f O'p' = r' sin f

Si le mouvement avait lieu dans l'autre sens, la réaction R, tangente aux circonférences Op, O'p', serait au contraire dirigée [suivant AR'.

Lorsque le mouvement est uniforme, la réaction R doit être égale et opposée à la résultante de toutes les forces qui agissent sur le système, on eu déduit la direction suivant laquelle agit cette résultante lorsque Ton connaît le point de contact A.

Réciproquement, si on connaît une direction DD, à laquelle la résultante est parallèle (6g. 3S), ainsi que le contour du coussinet dont le centre est 4D

en 0', et le sens du mouvement, il suffit y

pour avoir le point de contact A, et par conséquent le centre du tourillon, de décrire du point 0' la circonférence de rayon r" sin ç, et d'y mener une tangente parallèle à DD, on trouvera ainsi le point de contact A, et l'on portera Ao = r pour avoir le centre du tourillon.

11 faut remarquer que la composante tangentielle d

Fig. 3* I la réaction doit

toujours être en sens conlraîre du mouvement du tourillon; pour le sens de rotation inverse du précédent, on "obtient donc la construction indiquée figure 33.

On pourrait évidemment supposer connu le centre du tourillon, et se servir de la même construction pour déterminer le point de contact, ainsi que. le centre du coussinet, on aurait alors à décrire les circonférences pointillées. Enfin, il faut tenir compte I de la résultante des forces extérieures, en supposant que la

pièce à laquelle appartient le tourillon soit sollicitée vers le haut suivant

la direction ©,D„ on obtient, pour les deux sens de rotation, les figures

34 et 35.

Fig. 31 a 35

Il peut tie de la

arriver que le tourillon soit fixe, le coussinet fait alors parpièce tournante à laquelle sont appliquées les forces extérieures: il en est ainsi dans les roues tournant sur fusées fixes, les poulies des moufles, les poulies folles, elc, soit 0' (fig. 36), le centre de Toeil d'une poulie sollicitée par des forces extérieures dont la résultante est parallèle à DD et agit dans lesensdelaflèche. Soitr'Ie rayon de l'œil, il suffira pour trouver le point de contact avec le pivot, de décrire de Xf' la circonférence r' sin ip, et d'y mener une tangente parallèle à DD on trouvera ainsi le point A pour le sens de rotation indiqué.

62. — Pour exprimer IVéquilibre du système tournant et arriver à la connaissance de la force motrice qu'il est nécessaire de lui appliquer,

on doit recounr à une équation de moment autour de l'axe de rotation; cet axe est choisi de préférence à tout autre, parce qu'il donne aux moments des forces une expression plus simple, il faut donc introduire, dans l'équation, le moment de la réaction du support fixe; si R désigne la réaction (fig. 31), le moment à introduire est

ou bien (28)

B r sin r

Dans le cas où le tourillon est fixe (âj RrV

B), ce moment devient

- Galet de guidage. — Le dispositif représenté par la figure 3

était autrefois employé pour guider en ligne droite le pied de machines à vapeur verticales ; pour le mouvement de haut en bas, le galet, tournant dans le sens de la fiéche, doit être en équilibre sous l'action de la force qu'il reçoit de la fourche F de la crossette, et de la réaction qu'il reçoit du guide; il suffit, pour avoir la direction de ces forces, de porter mM :=S à partir du, point de contact géométrique du galet, et de mener par M une tangente au cercle de rayon r sin ?, r étant le rayon du pivot.

Si, pour simplifier le problème, nous supposons i^aè les tractions de la tige du piston et de la bielle agissent suivant les axes de ces pièces, on voit que la crossette, et la tige qui fait corps avec elle sont soumises :

1' A la force verticale V provenant de l'action de la vapeur,

3° A la traction de la bielle, dont la direction \

seulement est connue, Fig, 37

3" A la réaction R transmise par le pivot du galet, réaction dont on possède également la direction,

4* A la réaction S provenant du presse-étoupes, inclinée sur la normale de l'angle du frottement.

Toutes ces forces transportées en un point de l'espace et supposées connues, doivent fonner un contour fermé (équilibre de translation) (fig. 39), il faut déplus:

Mo{B,S)=0 \

c'esl-à-dire

R Og 8~ Op

la connaissance du rapport ^ permet d'effectuer la construction suivante:

on un point quelconque I (fig."38), on mène les quantités IK, KL, parallèles aux directions connues R et S, et égales à Oq, Op; on connaît ainsi la direction IL du côté be du polygone abc, ce qui achève de déterminer les grandeurs de R, S elB.

Les choses ne se passent comme nous l'avons supposé, que si la réaction R est comprise dans l'angle du frottement possible entre le galet et le guide, sinon, le galet, au lieu de tourner, fonctionnerait comme une glissière, et l'état de sollicitation se trouverait modifié.

On remarque que la réaction R s'incline d'autant plus sur la normale, que le rayon du pivot augmente, à parité des autres conditions ; si l'on tient compte de ce que le guide fixe est presque toujours graissé par les projections de l'huile du mécanisme, on voit que les galets de l'espèce sont en danger de ne pas rouler, aussi ont-ils été complètement abandonnés pour le guidage; il y aurait encore lieu de reprocher à ce système la flexion à laquelle est soumise la crossette par suite de l'excentricité de la force R par rapport au point 0.

54. — Glissière ordinaire. — Dans le cas le plus simple, mais purement hypothétique, d'une glissière (fig. 40) soumise aux forces P et B' agissant sur une articulation centrale 0, sans frottement, la réaction H

ng. 3S-39

de la glissière snr le patin passe nécessairement par 0, et son inclinaison étant donnée par l'angle du frottement, on déduit là grandeur des forces B et H du triangle des forces, qu'on construit immédiatement.

Fig. 40

Kg. il

Fig.tt

L'équilibre indiqué ci-dessus n'est toutefois réalisé que si la direction OK tombe dans la face de contact du patin ; le fonctionnement de la glissière (fig. 41), serait impossible, car l'effet de la résultante de P et B serait précisément de faire toui-ner le patin autour de son arête A. On peat empêcher ce pivotement, il est vrai, au moyen d'une deuxième' glissière (âg. 43), le patin glisse alors par deux arêtes opposées A et B, et est soumis aux réactions H et K' dont les directions sont connues .

On doit avoir par l'équation des moments autour de 0:

E Oj B'~ Op

On pourra facilement tracer la direction de la ligne be (fig. 43), et, en menant par a une parallèle à la bielle, on achèvera de déterminer R, R' et B.

Ce système serait évidemment très défeclueuz, puisqu'il fait naître une réaclion nouvelle R', et que le frottementdù auxdeux réactionsK, R' est incomparablement plus grand que celui de la réaction R de la figure 40, mais pratiquement, il est même impossible d'admettre un frottement par les arêtes vives des pièces, le graissage ne serait plus satisfaisant, et il s'ensuivrait aussitôt un grippement.

65. — Dans l'application, les patins de guidage font corps avec la tige, à laquelle ils Sont liés par assemblage rigide ou même par soudure (crossettes des macbines' marines); il est beaucoup plus rationnel de supposer alors que le patin porte égalemcRtpa'r toute sa face de contact, puisque celte face conserve toujours la direction de la tige, c'est-à-dire celle du guide lui-même, admettons donc que la réaction R du guide agisse au centre de la face d'appui (fig. 44), on pourra, comme dans les numéros précédents, trouver le rapport

.Op ■ÎTa

et,' par conséquent, construire le polygone qui donne les forces inconnues B, R el R'. Dans le cas particulier où o=:i?' ce polygone devient le triangle abc (flg. 45), dans lequel bc est parallèle à la fois à R et R', et représente leur somme; on peut remarquer alors que la composante B conserve la

même valeur quel que soit le point où agit la réaction du guide; f diffé-

Pig. 45 - Fig. 46 Fig. 41

tant toujours fort peu de f, la construction de la figure 45 donne la valeur de B avec une approximation très suffisante.

Dans le mourenient ascendant du pislon, cette simpliScation n'a plus lieu, l'état de sollicitation est celui donné par les figures 46 et 47,

Si l'on admet que le corps du jpiston est libre dans le cylindre, c'est-àdire ne touche la paroi que par rinlôrmédiaire de garnitures, qui ont toute liberté de jouer latêraleioent dans leurs raipures (pistons, suédois) on constate que ]e bourrage de la tige est soumis (Sg. 44 et 46), à des efforts R' qui changent de sens à chaque course ('), et dont la grandeur varie d'après la position de la crossette, attendu que la forcp R varie, aussi bien que le rapport des bras de levier Op, Oq.

56. — Ajoutons, cependant, qu'il n'est pas permis dans les systèmes de l'espèce, de faire abstraction des forces d'inertie, attendu que le mouvement ne saurait être uniforme pour chacune des pièces en particulier qui les composent; ces dernières peuvent être partagées en deux -catégories ;

1' celles qui participent au mouvement rectijigne du piston;

2° la bielle, dont le mouvement résulte à chaque instant de la translation de son centre de gravité et de la rotation autour de ce point.

L'effet de l'inertie sur les premières pièces est de modifier la grandeur de P, et s'il existait seul, il suffirait de tracer les polygones des forces en ajoutant à P et en tenant compte de son signe, la réaction d'inertie des pièces du premier genre; quant aux forces d'inertie provenant du mouvement de la bielle, il est plus dilBcile d'en tenir compte; M. Massau (*) a résolu complètement cette question, nous mettrons sa méthode à proSt dans une autre partie de ce cours. '

57. — Transmission par manivelle lorsque Von tient compte de tous let frottements. — Nous simplifierons ia question en supposant, comme dans les systèmes à mouvement unU'orme, que l'inertie des pièces qui changent de vitesse est négligée; nous ferons aussi abstraction du poids des pièces.

Le sens de rotation étant celui qui se trouve déterminé dans la figure 48, et la bielle étant isolée du manneton, ainsi que du tourillon fixé dans la crossette, il estfacile devoir que dans le premier quadrant lï^,,

1. Il en eat aînai tout an moins lorsqne l'articulation est comprise dans l'angle formé par les r&etions R obiennes à la descente et & la montée.

2. AnnaUê de fjiMoetation da Ingétiiewa sortis dea Ecoles spéciales de* Gand,

ta ]îgDe d'action des forces qui s'équilibrent par l'intermédiaire de la bielle ne peut être dirigée que suivant la tangente commune /,(,, aux circonférences pointillées dont il a été question au numéro SI ; nous ne ferons aucune distinction ici entre le rayon du tourillon, et celui de son logement dans les cQussinets, ces deux quantités étant pra- M tiquement les mêmes.

L'équilibre de la çrosseite exige : 1* que les forces P, 6, It et R' portées bout à bout, forment un polygone fermé, 2* que

Mi (R, R') = 0

R' Ip R- Iq

Le pointi estl'intersectiondesdeuxforces P et B, la .direction de c^tte dernière est connue par la construction déjà indignée. La force B une fois connue par le triangle de la Ëgure 49, il est facile de déterminer les actions qui ae développent sur le système tournant, si l'on fixe, par exemple, la direction de la résistance utile à vaincre, Q. £n effet, les forces fi et Q devant être équilibrées par la réaction Rf du coussinet de l'arisre, celleci doit passer par leur point d'intersection 1"; d'autre part, U, doit être tangente à la circonférence ' Kg. 48 du frottement sur l'arbre, ce qui

achève de déterminer sa direction, etparconséquentsagrandeur, avec celle de Q.

Lorsque l'on tient compte du sens des forces qui se produisent dans les deux courses successives, et du changement du sens de rotation de la bielle autour de son pied pendant pig, ^g la révolution entière de l'arbre, on constate que la ligne

d'acUon prend, par rapport à l'axe géométrique de la bielle, les positions indiquées (fig. 50, M et 52.) U résulte nécessairement de ces diverses

-lïëJi

rjg.;

Fig. 52

positions de la ligne d'action, d'autant plus excentriques que les lourilloQs sont plus grands relativement à la longueur de la bielle, un état de solUcitalîon tout particulier dont il y a lieu de tenir compte pour le calcul des dimensions des bielles; les tourillons des manivelles prennent sortent de grands rayons dans le cas des arbres coudés.

58. — Le travail absorbé par le frottement des bielles sur leurs tourillons est variable à chaque instant avec les forces en jeu; remarquons d"abord que l'amplitude, très faible, du mouvement oscillatoire, permet de négliger le travail du frottement sur le tourillon de la crosselte; quant au bouton de manivelle, on peut remarquer que si la bielle se déplaçait parallèlement à elle-même, et si le point de contact avec les coussinets étaiiinvariable par rapporta ceux-ci, on aurait, pour le travail élémentaire du frottement:

/' B p rf«

B étant la force exercée par la bielle;

p le rayon du bouton ;

du. l'angle décrit par l'arbre.

Toutefois, lorsque l'on tient compte du mouvement oscillatoire de la bielle, on constate qu'il a pour effet d'augmenter la vitesse de glissement dans le premier et le quatrième quadrants, et qu'il exerce un effet inverse dans l'autre demi-tour; pour une révolution entière, on obtient approximativement le travaitdu frottement sur le bouton par l'expression

Bb, étant la valeur moyenne de l'effort exercé parla bielle (').

Lorsque l'arbre effectue n révolutions par minute, on obtient pour le travail résistant par seconde, exprimé en chevaux:

Il est à peine nécessaire de remarquer que ce travaU est toujours proportionnel au rayon du bouton.

Applications numériques. — 1° Les machines motrices du paquebot Servia comportent un arbre moteur à trois coudes, on a:

Bm = 70,000 kil. environ p = 0,820

On admet qu'avec le système de graissage employé, /' = 0,011

Ce chiffre peut paraître fort élevé mais il faut remarquer qu'il s'agit ici d'un appareil qui développe plus de 10,000 chevaux, et que les tourillons des coudes ont 640 millimètres de diamètre.

1. Cette valenr moyenne devrait être oalcnlée en prenant nn certmin nombre de positions équidistuiteB de la manivelle ■

2* On a pour une machine fixe:

B„ « 7,000 kU.

11 vient, pour le travait perdu à la tête de bielle :

^ = 0,42 chevaux

Les valeurs ci-dessus se rapportent a un moteur déTeloppant environ 200 chevaux.

On voit, par ces exemples, que le travail absorbé par le frottement des têtes de bielle est peu important, surtout pour les manivelles ordinaires.

59. — Pointstnorti. — Les transmissions par bielle, lorsqu'on les suppose sans frottement, n'ont que deux positions d'arcboutement, auxquelles on donne le nom de points morU. On suppose bien entendu, que le système est employé pour transformer le mouvement alternatif en mouvement de rotation, car, dans le cas inverse, la commande est toujours possible.

Lorsque l'on tient compte du frottement qui se produit aux différents points de contact clés pièces entre elles, on reconnaît que rarcboulement s'étend de part et d'autre des points morts, dans une zone qu'on peut

déterminer.

Pour que le mouvement soit possible, il

est nécessaire que ta ligne d'action de la

bielle, déterminée en tenant compte des

^ttements aux deux articulations, passe

en dehors de la circonférence de rayon

ii"sinç qui appartient à l'arbre.

En prenant la bielle dans la position CgM',

(fig. S3}, qui correspond à la limite de la

■dbyGoOQlc

zone d'arcboutement/on voit facilement que la ligne d'action est tangente à la fois aux trois circonférences-enveloppes; de plus, en tenant compte de ce qui a été expliqué au n" 57, on reconnaît que la zone cherchée, M'jM",, est symétrique parrapport aupoîntmortgéMnétriqueM,; la zone qui correspond au point mort supérieur est M', M", elle est un peu plus étendue, et augmente la difficulté de mise en train des machines.

60. — Arcboutement des excejttriques. — Tout ce qui contribue à " augmenter les rayons des circonférences-enveloppes, a pour effet d'augmenter l'étendue des zones d'arcboutement ; il faut citer, en premier lieu, l'influence du rayon du bouton de manivelle, qui peut prendre, dans les excentriques (fig. 34), une valeur très grande en comparaison du rayon d'excentricité;les circonférences p' sin y, ' sin f peuvent arriver à se toucher, auquel cas la zone d'arcboutement envahit toute la circonférence. Il est évident, pour cette raison, que l'excentrique ne peut être employé pour la transformation du mou* vemenl alternatif en mouvemant circulaire, et qu'ij il doit être réservé pour la transformation inverse ;