l'importance du travail absorbé par le frottement

H limite l'emploi de l'excentrique au cas où l'effort à

X, transmettre est peu considérable, comme pour la

-y commande des distributeurs ['), des pompes alimen-

Fi|, r.4 taires, et exceptionnellement, des pompes à air.

61. — Coins de calage. — Le coin permet d'obtenir ime grande multiplication d'efforts sans aucune comphcation de mécanisme, puisqu'il suffit, pour réaliser une pression pour ainsi dire illimitée, de dinmiuer l'angle de ses, faces; sa propriété d'èlre irréversible en dessous d'une certaine inclinaison le rend particu- i

hèrement propre au calage des ponts mobiles, à la fixation de certains assemblages, etc. Pendant ia période d'enfoncement du coin, la force motrice F (fig. S5) est équilibrée par les réactions R, R' dirigées en sens con- i ^«-

Tenable, el inclinées, sur les nor- ftg 56 i '

1. On pent citer parmi les plus grands excentriqaw qni eidstant, canx dn paquebot Servifc, dont les tonrteBuz oat !■", 448 d« diamètn (4'-9")

maies aux deux faces, de l'angle du frottement; les directions R et R' étant connues, ainsi que leur point de concours, on peut trouver en grandeur et direction la valeur de l'effort P, supposé horizontal, que l'on doit exercer pour vaincre les réactions lorsque l'on connaît leur composante verticale N (âg. 66).

Kg. 58

Fig. 57

Lorsque le coin est abandonné à lui-même, la force verticale N qui tend à rapprocher les sabots (Sg. K7), ne peut déterminer le mouvement si elle est comprise dans l'angle r mené à partir de la normale aux points d'application, cette condition exige que l'dhgle 2a, du coin, soit inférieur â 2f; il y a lieu, cependant, de se tenir pratiquement en dessous de cette limite, à cause de l'incertitude qui règne sur la valeur du coefficient de frottement.

La même observation s'applique aux clavettes de serrage employées dans les orgabes de machines.

Le rendement du coin employé comme appareil de levage est égal au rapport U entre ie travail utile accompli

{dh étant le déplacement de chacune des réactions N), et le travail dépensé Vdê.

dt étant le déplacement du coin suivant son axe; or, on a (âg. S6)

et

dh =:dt tg a

D'ob

ta (" + f)

Lorsque a est inférieur à t, ce qui existe toujours dans le coin non

réversible, la valeur de U est faible et a pour limite &'

Abstraction faite de la condition d'arcboutement, le rendement U est susceptible d'un maximum qu'on obtiendrait en posant

âU

Celte recherche est analogue à celle du numéro 63.

62. — Vis à filet carré. — Admettons que la vis soit employée comme appareil de levage, c'est-à-dire qu'elle ait à vaincre une force Q dirigée suivant son axe (âg. S8), supposons en outre qu'elle se meuve dans un écrou fixe, ainsi que cela a lieu pour les vérins de levage, et que les forces motrices soient appliquées sous forme d'un couple, Pp, pu M agissant dans un plan normal à l'axe. ; Pour simplifier la question, nous ferons IbslracUon de la largeur du filet dans le sens du rayon, en le réduisant à l'hélice moyenne de contact ; la vis isolée est soumise à l'efifort Q, au couple M, et aux réactions qui se développent en chaque point de l'hélice moyenne; s'il n'y avait pas de frottement, ces réactions seraient, en chaque point, normales à l'hélice moyenne, et situées dans le plan tangent au cylindre qui la contient; l'effet du frottement est de faire naitre sur chaque élément, ds, du filet, une résistance langeatielle

fS d'

dirigée en sens contraire du glissement du filet de la vis sur l'écrou.

Par la nature du problème, il suffit, pour exprimer l'équilibre, et déterminer la valeur des réactions N et du moment Pp, d'avoir recours à deux équations; l'une, d'équilibre de translation parallèlement à l'axe, l'autre, d'équilibre de moment autour du même axe ; on arrive facilement à éliminer N, et à déterminer le moment inconnu M.

On peut aussi ramener l'équilibre à celui d'un corps pesant posé sur

Fig.58

un plan dont l'inclinaison serait celle du filet. Pour y parvenir, effectuons sur les forces des transports parallèles, et substituons aux couples, des forces d'égal moment par rapport à l'axe de la vis; si ces changements sont choisis de manière à n'altérer aucune des deux équations, l'équilibre dunouveausystème exprimera i

en même temps celui des forces agissant réellement. ^v?\

Ainsi, transportons laforce Q parallèlement à ellemême en Un point A de l'hélice moyenne (fig. 59), substituons au moment du couple M celui de la force K, agissant dans le plan tangent au cylindre et dans une direction perpendiculaire à l'axe, la force K inconnue, étant choisie de manière à ce que

Kr = Pp

Fig. 59

Substituons enfin, aux réactions qui agissent sur chaque élément, leur somme algébrique pour tout le filet, comme si elles étaient parallèles dans J'espace, et appliquons ces forces ou leur résultante R, au point A> dans le plan langent au cylindre. '

Les seules forces Q, K et R sont situées ifens le même plan, et leur équilibre entraine celui des forces réelles ; la force R est connue en direction, puisqu'elle est inclinéede l'angle <t sur la normale; cette condition permet d'achever le rectangle QSK qui détermine à la fois R el K.

La figure donne

ou

Pj, = Qr tg (« -f- f )

Le moment conserve une valeur finie pom> autant que l'on ait

La valeur de ? étant toujours très faible, on voit qu'il est généralement possible de vaincre la charge Q au moyen d'un couple de moment Pp ('),

1. Pour la TÏs à filet triaTtguliure, on pent procéder par le calcul ; on tronTe, en appelant p l'angle de la généntiice du profil avec le rajon, et en adoptant, pour le reste, les même BOtationa que ci-destna :

1-/Bin « v'i + 'ff'» +VP pwr ?=o, on retombe sur la formule de la vis à filet carré. Dana la série W^itv«rth, on a:

63. — Rendement de la via à (Hét carré. — Le travail utile effectué, qui correspond au déplacement angulaire, p, de la vis, a pour expression

■ Qr Mff •

et le travail du couple est

ce qui donne pour le rendement

cette valeur s'annule pour

et pour

Le maximum est fourni par

équation qui donne :

Cette valeur a étant voisine de 4S", ne conviendrait pas à un appareil de levage, car ta vis qui en résulterait n'exercerait aucun effet multipli- ' caleur; une autre condition est du re^te généralement imposée en ce cas, c'est que le mouvement de la vis ne peut être réversible, c'est-à-dire que la force Q, agissant selile, De doit pas déterrainer le mouvement; ce point est examiné au nuïuéfo suivant.

Ç4, — Pour étudier les conditions d^ réversibilité de la vis, nous

admettrons qu'elle puisse céder à l'efforl longitudinal Q; il s'agit alors de trouver le moment M capable de maintenir la vis en mouvement uniforme. Le glissement relatif ayant changé de sens, il en est dé même de l'inclinaison f sur la normale au Qlet, on trouve donc (flg- 60)

c'est-à-dire que le moment M est positif pour toute

à défaut de ce moment M, la vis cède à l'effort longitudinal; pour que l'appareil ne soit pas réversible, on doit avoir

condition qui doit toujours être réalisée dans les appareils de levage.

Application numérique. — D'après les règles en usage dans la construction des vis à filet carré, on a:

d représente te diamètre extérieur du filet, p et c représentent le pas et le creux, respectivement; toutes ces quantités sont exprimées en miUimèlres.

Od a donc

^ y 2 + 0.09 d ^ "~ 2«r~it(0.955rf— 1)

tga augmente an ftir et à mesure que d diminue, prenant par exemple d= 30 ée qui correspond à Une vis de petit diamètre, on a

Le coefHcient de froltement au repos des métaux, même lorsqu'Us sont graissés, reste au-dessus de cette valeur, on en conclut que la vis dans les conditions ordinaires n'est pas réversible.

La tendance au desserrage est encore combattue, dans la plupart des cas de la pratique, par le moment résistant du Jhittement occasionné sur la face terminale ab de la vis (fig. 61), lorsque l'effort Q s'exerce par l'intermédiaire d'une face de contact ab plus ou moins étendue.

Fig.61

65. — On peut avoir à considérer aussi le cas d'une vis immobile, aur laquelle se trouverait engagé im écrou, ainsi que cela eîdsle toujours pour les boulons de serrage (fig. 62) ; si l'on suppose que la base de l'écivDU repose sans froltement sur une rondelle, la réaction des pièces serrées produit sur l'écrou des forces q ayant une résultante Q, agissant suivant son axe, et la théorie du numéro 63 peut s'appliquer

Fig. 6Î

Fig. 63

entièrement; en réalité, le frottement qui s'exerce sur la base de l'écrou combat la tendance au desserrage, et a pour effet d'élever la limite des inclinaisons possibles; l'emploi d'une large embase no peut que contrarier le desserrage (49). Nous ajouterons que, dans les cas où le corps du boulon est soumis à des efforts alternatifs, comme dans les assemblages des tiges de piston, par exemple, ou lorsque les pièces sont exposées à des vibrations, il faut recourir, pour assurer la tenuedel'écrou, à des moyens spéciaux, bien connus des constructeurs mécaniciens-

Les remarques-ci-dessus s'appliquent également aux vis d'assemblage (flg. 63). ,

DigilizedbyGoOgle

66. — Des engrenages. — Nous supposons connues les diverses méthodes employées pour le tracé des engrenages; les axes 0 et 0' étant donnés, ainsi que les vitesses angulaires u et &>', on sait que si r et r' désignent les rayons des cercles primitifs,

ce qui permet de déterminer le point M (fig. 64) ; » étant le profil adapté à la roue O, et S celui adapté à la roue 0', C le point de contact des deux dents, la ligne MC est normale auz deux profils en leur point de contact.

Le mouvement relatif des deux roues peut s'obtenir en rendant fixe la roue O, et en faisant rouler la roue 0' sur [celle-ci, de manière que leur point de contact M se meuve vers la gauche avec la vitesse ur; de cette manière la dent a est fixe, et le profil S se déplace en restant tangent à a; ce déplacement résulte à la fois du roulement des deux courbes l'une sur l'autre, et de leur glissement relatif suivant la tangente; la vitesse v^ du glissement est donnée par

c, = ûX

û étant la vitesse angulaire du système roulant 0' et X la grandeur de la normale CM pour la position considérée.

.dbyGoOgk

O se déduit facilement de la vitesse des roues, on a pour les engrenages extérieurs :

tandis que l'on a pour des roues intérieures,

«' se rapportant à la petite roue.

Et pour un pignon engrenant avec une crémaillère :

Ix)rsque tes dents sont appliquées l'une sur l'autre par une certaine pression provenant de l'application des forces extérieures, le glissement entraine du frottement, tandis que la résistance au roulement, toujours très faible, peut être négligée.

67. — Pour déterminer l'état de sollicitation de chacune des roues, -. nous remarquerons que la réaction au point de contact C, au lieu d'être dirigée suivant la normale CM, fait avec celle-ci l'angle f du frottement,; le sens dans lequel il faut porter l'angle f , dépend du sens du mouvement. Nous négligerons d'abord le frottement des arbres 0 et 0' sur leurs supports.

Pour achever de résoudre le problème, on peut employer diverses méthodes :

1" On peut écrire l'équation d'équilibre du système 0', ia force R sera, pour plus de facilité, remplacée par ses deux composantes : N et /N ; on écrira ensuite l'équalion d'équilibre du système 0; l'élimination de N entre tes deux équations fournira la relation cherchée entre P et Q,

2" On peut écrire l'équation des travaux virtuels pour l'ensemble du système; soit v la vitesse linéaire du point de contact M, on a évidemment, pour les engrenages extérieurs :

L'équation des travauz virtuels donne, après simplification :

Pour éliminer N, H est encore nécessaire de recourir à une équation d'équilibre, celle du système 0', par exemple; on a, en désignant l'angle O'MC par a, et faisant O'B = p

p =5 f' coa « — X

« el X peuvent être liés par une relation géométrique {tracé épicycloïdal) ou rester indépendants (tracé en développante) ; quoiqu'il en soit leurs valeiu^ peuvent être déterminées pour chaque position du point C-

On sait que, pour le tracé épicycloïdal à flancs droits, j> = o; cette condition, introduite dans les équations, donne:

La valeur de P varie à chaque instant; si on veut trouver le travail de cette force pour un certain déplacement du point M, on devra écrire

Pour obtenir la valeur du dernier terme, il est nécessaire d'exprimier îlet « en fonction de *.

On se contente d'une solution approchée, qui consiste à chercher la valeur moyenne de P en supposant que le contact commence à la ligne des ceiUres, on sait qu'il se termine généralement à une distance égale au pas ; on attribue à X une valeur constante égale à la moitié du pas, et à étant voisin de 90°, on fait sin « = 1 . On a du reste, si m et m' désignent les nombres de dents des roues 0 et 0', et si a représente le pas :

Skt = ma

ce qui donne finalement:

Telle est la formule usuelle qui donne la valeur P en fonction de Q, en négligeant toute résistance autre que le frottement des dents ; elle nous apprend que le terme additionnel dû à ce ft^ttemenl, diminue au fur et à mesure que m et m' augmentent, c'est-à-dire que les dentures deviennent plus 6nes.

On trouverait facilement, pour les roues qui engrènent intérieurement:

et pour les crémaillères:

Enfin, od applique aussi la formule (1), au cas des roues coniques, m et m' représentent alors les nombres de dents qui entreraient dans les circonférences de rayon OS et O'S, respectivement (fig. 68).

Le tracé épicycloïdai n'est employé que pour des roues de grand rayon, à denture peu fatiguée, le tracé en développante ou la méthode deWillis, sont préférables dans la plupart des cas ; oéanmoins, on peut encore, avec une approximation suffisante, adopter les formules ci-desaus pour cesdivers tracés; ^i' ^ il faut observer, en effet que le contact ayant

toi^ours lieu dans le voisinage de la ligne des centres, la pression normale qui engendre le frottement est à peu près égale à l'effort Q.

En réalité, l'effort est exercé par plusieurs d.enLs qui agissent simultanément, la manière suivant laquelle il se partage entre les dents en prise, dépend du degré de précision que présentent les dentures, mais on conçoit que le travail des résistances reste à peu près le même que dans l'hypothèse admise.

3° Enfin, on peut trouver, par un moyen graphique, la grandeur de a force P: considérons à'abord le système 0' (flg. 66); la direcUon de

la force R est connue, elle reste tangente, quelle que soit la position du point C, à une circonférence décrite du point M, et dont le rayon est

On achève facilement le parallélogramme qui donne P ; on peut aussi opérer au moyen de tracés polygonaux (flg. 67).

68. — Pour tenir compte du f^ttement des arbres sur leurs coussinets, on adopte une solution approchée: on cherche l'effort moteur X qu'il serait nécessaire / ; \^

d'appliquer au point M de la roue 0', pour entrai- *\ ( J^' ) •', ner la résistance Q ainsi que les résistances pas- \ Nf I J ; sives (6g. 68) ('). ■ "cJ- :'3Kl-a^

Soit p' le rayon du tourillon, " "^

^, son coefflcîentde frottement sur les coussinets,

R' la réaction totale sur le toiuillon.

L'éqiiation d'équilibre auteur de 0' donne: (o) Xr' = Qr- +// p' R' Kg. 68

1. Ii'arbra comporte ndoessaîroment deux toarilloaH, mus nous admettrons tonjours, & moins de aappoaition contraire, qu'ils sont disposés Bjmétriqnement par rapport au plan moyen de la roue ; las réactions des coussinets étant ^ales et pa- TalleleB, ou peut les jouter, et il eu est de même de leurs moments, ai donc les tonrillons Bout de même diamètre, on pourra considérer le système comme n'ayant qn'oa seul tourillon dont le plan moyen coïncide avec celui des forces BolUcitantes, •t qoi reçoit la réaction total» .

Les deoz équations de projection permettraient d'exprimer la réacUoD R' (qui n'est autre chose que la résultante des forces Q, X) en fonction des composantes de ces forces suivant deux axes.

On considère ensuite l'effort moteur X comme amenant sur le système 0 une réaction Y, donnée par la formule (1)

Enfin, la condition d'équilibre du système 0 autour de son axe donne, en appelant p le rayoD du tourillon, et R la réaction totale des coussinets

Pr = Yr+/'pR

R s'exprime facilement en fonction des composantes de P et de Y.

L'élimination de X et Y entre les trois équations (a) {b) (c), donne la valeur cbercliée.

Cette solution n'est qu'approchée, attendu qu'en appliquant au point M la force X, inconnue, qui doit entraîner la roue 0', nous substituons, à la réaction totale des dents en contact, une force qui en diffère un peu ; la même observation s'applique au système 0.

69 . — D'une manière générale, il convient de remarquer que la po sition de toute force motrice agissant sur un système soumis à un ^t-

Fif . 69

Kg.™

tement, influe sur la grandeur même de la force, attendu que cette position détermine la valeur de la réaction sur les supports, et par conséquent l'importance du frottement.

On peut mettre cette propriété à profit pour réduire les résistances passives, lorsque la disposition de certains organes est arbitraire; ainsi, le treuil à engrenage (âg. 69), peut être actionné par un pignon placé en A, c'est-à-dire du même c6té que la résistance Q : dans ce cas, la réaction sur le touiîUon eat nécessairement égale à Q — X ; si, au contraire, on fait agir le pignon au point A' (fig, 70), c'est-à-dire du côté opposé à la résistance, la réaction totale sur le tourillon de l'arbre principal est égale à Q -^- X' ; la première disposition est donc préférable,

70. — On peut, en employant le procédé graphique indiqué au numéro 67 — 3°, tenir compte du frottement des tourillons, et l'on obtient alors une solution exacte du problème ; le point de contact des dents en prise étant en G (fig. 71), on trace, autour de M, la circonférence

Flg. 7i

enveloppe de la réaction ; on trace de même autour de 0' et de 0 les circonférences enveloppes des forces R et R' ; la construction s'achève par les moyens ordinaires, la force P est donnée par le côté 5 du poly* gone des forces.

Quel que soit le tracé adopté, le contact commence à une certaine distance au delà de la ligne des centres, il faut, pour que le mouvement soit possible, que la réaction des dents reste en dehors des circonférences enveloppes 0, 0'; pour des roues à dents épicycloïdales tournant dans le sens des flèches (fig. 73), le contact commence à gauche de la ligne des centres au point C ; la réaction de la dent en ce point peut se rapprocher beaucoup de la circonférence enveloppe tracée autour de

0", et il en résulte une valeur très grande de P, (fig. 74). En diminuant

ïe rayon de 0* tout en conservant le même pas, on produirait l'arcbou-

• lement; on a soin de se tenir aussi loin que possible de cette limite, en

ng. 73

adoptant pour le pas une valeur assez faible ; pour un effort circonférentiel donné, la largeur des dents suivant la génératrice augmente lorsque l'épaisseur diminue, ce qui explique les difficultés que l'on peut avoir à transmettre au moyen de roues de petit diamètre un effort considérable.

L'emploi des dents à chevrons permet de réaliser une grande résistance sans augmenter le pas ; au point de vue du frottement, l'étude de l'engrenage à cbevrons se ramène au cas ordinaire, car on peut le décomposer, par des plans perpendiculaires à l'axe, en une série de roues très minces.

7l. — Lorsque la vitesse angulaire des arbres n'est pas imposée et qu'il s'agit simplement de transmettre une puitsance donnée, on peut diminuer la valeur de l'effort circonférentiel par une augmentation des nombres de tours, ou bien, si l'on peut écarter les axes, il est encore possible, en adoptant des rayons plus grands, d'arriver au mèm» résultat. Les deux moyens peuvent être employés simultanément, ils reviennent tous deux à augmenter la vitesse de roulement des circonférences primitives. Cependant le fonctionnement des engrenages donne toigours

.dbyGoOgk

lieu à des vibralions qai angmenteDt avec la vitesse, U est bon de se tenir à cet égard entre les limites que l'expérience a indiquées (').

78. — Ve la vis tangente. — Lorsque le rapport des vitesses à réaliser est très grand, les inconvénients signalés au numéro 10 obligent à employer des arbres intermédiaires ; il peut du reste arriver, que les axes, au lieu d'être parallèles, soient perpendiculaires en direction, on emploie alors la vis tangente ; admettons que le profil du filet se compose (âg. 7S) d'une partie droite bii, et de l'arc Me, appartenant à la cycloïde décrite par la circonférence sous double de la roue ; on sait que le profil de la dent se compose du rayon c'M, et d'un arc Mft' de la développante de la circonférence primitive de la roue. On voit que le contact dans le plan de la figure, qui est celui mené par l'axe de la vis peipendiculairement à l'arbre de la roue, commence au point o, sur la

\ Pyhf'

Rg. 75

Fig.'W

généralrice du cylindre moyen, se déplace sur aM, et suit alors la circonférence sous-double jusqu'au point a'. La zone de contact Ma' peut être supprimée, il suffit, pour cela, de limiter le filetàla génératrice GG; les flancs droits de la roue n'existent plus, et l'on évite le déforcement des dents à la racine ; admettoos ce mode de tracé, et supposons qu'une seule dent soit attaquée par le filet (fig. 76). U s'agit de déterminer, en

1 - On cite comme esempla d'une tréa gnnde Titesae, celni d'an voluit denté établi pu- U maison Gorliss, tournant à 50 révolations par minute, et dont le diamètre primitif est de 9°, 144 (30 pieda), ces données jiortent la Titease an chifire de 24 mètreB par seconde, valeur rarement atteinte, même dans les transmisBioiU par ooniToiea. Ëngineeiing 1688 1" sem. p. 265,

.dbyGoOgk

admettant d'abord que les tourillons ne doimeut lieu à aucun frottement, la valeur dé l'efîort P à appliquer à la vis dans le plan tangent au cybndre GG, et perpendiculairemenl à son axe, pour vaincre la résistance Q, le glissement qui s'opère entre le? deux organes au point C, donne beu à iine résistance qui augmente la valeur de P.

Désignons par :

a, 1 angle de l'hélice de contact sur la section droite de la vis ;

r, le rayon du cylindre contenant cette hélice ;

M, la vitesse de rotation de la vis ;

X, la nonnale MC, comprise entre te centre Instantané M, et le point de contact C pour la position considérée ;

r', le rayon primitif de la roue ; . w', la vitesse angulaire de la roue.

Pour la vitesse angulaire «, imprimée à la vis, tout point situé à la distance r est animé perpendiculairement à l'axe, d'une vitesse

et le point C, situé à l'intersection de l'hélice avec le plan de la figure est animé suivant la droite CM, d'une vitesse

cette vitesse est aussi celle de la circonférence primitive de la roue ; on a donc :

""V-vW; , Le glissement de la dent sur la génératrice CI du

filet, {fig. 77), s'opère avec une vitesse

v'if ^ ho' :=: T X(a ^ a

Fig. 11 tandis que l'héUce glisse en même temps suivant

sa direction, et est animée d'une vitesse constante v"g, par rapport au point M.

La vitesse de g^ement - totale est la résultante des vitesses ti'g el

Il importe de ne pas se tromper sur le sens de ces vitesses, et pour cela, il foui n'avoir égard qu'au mouvement relatif des deux organes l'un par rapport à l'autre, c'est-à-dire l'un des deux étant considéré comme fixe : la vis, par exemple ; la vitesse v'g doit alors être prise de C vers I et la vitesse v"g doit être prise en sens contraire du mouvement de la vis. La résultante Vg coïncide avec la direction du glissement relatif total, et détermine la direction delà composante de alternent /7I; la composante nonnale de la réaction, perpendiculaire aux surfaces en contact, est dirigée suivant CN, et fait avec la génératrice GG l'angle k (comme dans la vis simple), CN est dans le plan tangent au cylindre le long de la génératrice GG.

On a pour l'ensemble du système, d'après le principe du travail virtael:

Pm r <ô = Qu' r' dt -f /N Vgdt OU, puisque :

' "~ COB P ~ COSBCOS^

et à cause de Téquation (1) :

L'équation d'équilibre -de la vis autour de son axe donne, d'autre part, après simplification :

P = N ein a -{-fS coB ^oa >

d'oii

^ ' ~ rin B -f / COS p COB a

.dbyGoogk

L'élimination de N entre les équations (2) et (3) donne : p — .n ain «4-/cob a coa p

La valeur de eosp qui figure dans l'équation dépend nécessairement de la grandeur relative des composantes v'g, v'V ; on a d'ailleurs

coep=-

V 1 + '?' P d'où

(fi)

Vf"* + î.' ain* •

On peut attribuer à X la valeur moyenne correspondant à la moitié du ' pas, et trouver une formule approchée qui suftit pour tous les besoins de la pratique ; on se contente souvent d'une approximation plus grossière, en remarquant que X sin a étant faible .en comparaison de r', on a sensiblement

eos^sl ce qui donne

il existe donc entre Q et P la même relation que celle trouvée pour la vis entre K et Q au numéro 62.

L'hypothèse

oobP =1 revient à faire abstracUon de la vitesse de glissement transversale oV

pour ne tenir compte que de la composante t>'V ; dasa ce cas, la roue joue, par rapport à la via, le rôle d'un écrou ordinaire. Cette assimilatiOQ est surtout permise dans le cas où le pas est modéré, et où le rayon r' est assez grand, et l'on voit que la vis ne pourrait être comman- (^éepar la roue, qu'à la condition d'avoir, comme au numéro 64,

73. — Rendement de la via taitgenle. — Lorsque l'on néglige le glissement transversal, ainsi que le ^ttement des tourillons, on a comme pour la vis, (numéro 63) : .

Lorsque l'appareil ne peut être réversible, on a forcément

c'est-à-dire une valeur assez faible, et le rendement s'abaisse en conséquence. Si, au contraire, le mécanisme est employé comme organe de transmission de mouvement, et si le rapport des vitesses de rotation permet d'adopter une valeur de a. plus élevée, le rendement s'élève et atteint son maximum lorsque

Cette InclioaiBon de'filet étant à peu près égale à 45 degrés, le rapport des TiteBBsea angulaires de la vis et de l'engrenage est sensiblement le même que celui de deux roues droites qui seraient montées sur des axes parallèles situés à la même distance que dans l'appareil considéré; pour atteindre cette inclinaison, il est du reste nécessaire d'employer de^ vis à filet multiple, ou à plusieurs entrées.

74. — Pour tenir compte du frottement sur les tourillons, on applique la méthode exposée au numéro 68 pour les engrenages ordinaires, c'est-à-dire qu'on pose, pour chacun des arbres, une équation d'équilibre

en appliquant à la roue au point M (flg. 78), un effort X, inconnu, provenant de l'action du filet de la vis; on applique de même à la vis un effort horizontal Y, constituant pour ce système la résistance occasionnée par la roue, on. obtient ainsi deux équations renfermant X Y et P ; on admet en outre que X et Y sont liés par la relation (4) qui existe entre les forces P et Q du numéro 72,

L'évaluation des moments des frottements sur les tourillons ne saurait donner lieu à aucune difficulté; on remarquera seulement que les forces N, /N n'étant, pour aucun des deux organes, situées dans un plan perpendiculaire à l'axe, il en résulte, pour les arbres, des poussées longitudinales qui produisent du frottement sur leurs épaulements; la position des forces N, /N, a aussi une certaine influence sur la grandeur des réactions s'exerçant au pourtour dea touril- Fig. 78 Ions.

On aura, très approximativement, pour la poussée S, suivant l'axe de

en remarquant que Y remplace ici la force P dans la formule (3) La poussée T, suivant l'axe de la roue est :

T = N ain a +f'S «w P coa «

76. — Expériences de William Seller» ('). — On doit à ce constructeur une série d'expériences très importantes, établies dans le but de