PRÉLIMINAIRES

1. — Au point de vue spécial où nous nous plaçons, les machines ont pour objet la transformation, en travail directement utilisable, de l'énergie des sources naturelles (*), elles sont donc d'autant plus parfaites qu'elles rendent disponible une partie plus grande de l'énergie que fournit la source première ; car, dans le cas même où celle-ci est gratuite, les dépenses (J'établissement et d'entretien sont d'autant plus élevées, que le rendement des appareils est plus faible.

S. — La théorie des machines sert à rechercher les conditions auxquelles doit satisfoire leur agencement, les proportions et les vitesses à donner à leurs organes, et, en général, toutes les circonslances de construction et de fonctionnement nécessaires pour qu'elles produisent l'effet uUle le plus élevé.

Ce problème est relativement simple pour les appareils qui reçoivent ou dépensent l'énergie sous forme de travail ('), tels sont les récepteurs

I. Renlflviz. — CinetnatiqM. 8a.vj 1877, Note 8 — analyse U définition qne djffîéreats antenra ont donnée des machtoeB.

S. M. Maorice LëTy distingue les sources de trsTail alimentées par de la force, c'est-à-dire donnant 1 énergie sons forme potentielle, et celles alimentées par du manTement, qni fonmùseut l'énergie à l'état cinétique. — Brisse et Ronché, iVoïc nlln cmnaU» de maihanatiquM 18S7, p. 505.

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hydrauliques pu pneumatiques, les transmissioiis, un grand nombre d'opéraleura, 11 suffît, pour analyser ces engins, de recourir aux conditions de l'équilibre des forces, et aux théorèmes généraux de la dynamique.

Il n'en est pas de même des organismes dont le jeu est accompagné de transformations -physiques, comme les machines à ctialeur, les machines magnéto-électriques, etc.

L'énergie calorifique, qui intervient dans les machines à vapeur, à air chaud, à gaz, est la seule qui rentre dans le domaine habituel de la mécanique appliquée; mais il est permis de prévoir que l'électricité sera appelée à jouer un rôle important, soit dans la production, soit dans le transport du travail.

8. — Au point de vue de leur aptitude à fournir du travail, les machines se distinguent par leur puissance ; l'unité de travail est le kilogrammètre, l'unité de puissance généralement adoptée est celle qui correspond à la production de 75 kilogrammètres par seconde ou chevalvapeur, employée depuis Watt (•).

1. Le cheval-v&pear de Watt éqaÏTftut & 38.000 livres-pied parmlnnteon environ 76 kilognunmètrea par seconde ; eu Autriche, l'unité de ptiissuice est de 76 kgm, 119 par aecoade. Le congrès de mécsaiqae appliquée, teon à Paris en 1689. a proposé une aaité nouvelle de puissance : le PonceUt, équivalant à 100 kilogrommètTea par seconde. Le cheval-vapeur et le Poncelet constituent des unttéa abaolnea qui ne s'apjiiiquent qn'k la mesure de la puissance, et dans lesquelles la notion du tempe est implicitement comprise.

Bqnatlon générale des Machines.

as ou lk* cobps composant la macbinb nb subi^sint agco» chakoeiient d'État

4. — La force F agissant sur un point matériel H, (fig. 1), on a, es désignant par m la masse du point, par v sa vitesse,, et par » l'arc de trajectoire parcouru à l'instanL quelconque t :

J Fc

qui peut aussi s'écrire :

ou, en désignant par rie produit Fucosa, qui exprime le travail de la force F par unité de temps à l'instant l i

T(ft = s»w/— snw.'j

S'il s'agit d'un corps quelconque, dans lequel on peut considérer une infinité de points matériels m, m\ m",..,, et qui est soumis en ces points à des forces extérieures F, F', F",.... nous écrirons, pour chaque point, une équation analogue à l'équation (2), eii taisant entrer, dans le premier membre, outre les travaux des torces extérieures, les travaux pro-

■dbyGoOQlc

venant des liaisons du point avec les autres parties du système. Ajoataut metnbre à membre ces équations, il vient :

Le terme lij/^tdt représente la somme des travaux des forces, tant intérieures qu'extérieures, qui ont agi sur le système depuis l'instant l^ jusqu'à l'instant f,.

6. — L'équation (3) est applicable aux systèmes entrant dans la composition des machines, car ils sont formés de corps en général solides, assujettis par des liens inextensibles ou parfaitement élastiques; ces corps prennent appui l'un sur l'autre, aîoni que sur des corps extérieurs fixes.

Or, on peut toujours introduire, parmi les travaux du premier membre, tous ceux qui s'exercent réellement sur les différents points matériels des systèmes, soit qu'ils proviennent d'efforts extérieurs appliqués directement en ces points, soit qu'ils proviennent des liaisons ou des réactions produites par les points fixes.

Dans l'application aux machines, l'équation acquiert un sens parfaitement défini, car la plupart des pièces peuvent être considérées comme des soLdes invariables de forme ; dans ce cas, les travaux intérieurs ne figurent pas dans l'équation, vu que leur somme algébrique est nufie; la force vive d'une pièce peut souvent s'obtenir très facilement, lorsqu'elle possède un mouvement simple (translation ou rotation autour d'un axe connu).

Les travaux qui proviennent de l'existence de liaisons élastiques entre deux pièces peuvent s'évaluer, dans l'ensemble, par le changement de longueur du IJen ; quant aux travaux dus aux réactions des appuis, il y a lieu, pour les déterminer, de tenir compte de certains phénomènes physiques qui seront étudiés au chapitre 11 ; il est à peine nécessaire de remarquer que le travail des réactions, dans un ensemble de deux pièces mobiles appuyées l'une sur l'autre, ne dépend que de leur mouvement relatif.

6. — Les appuis fixes ou mobiles font toujours naître des résistances au mouvement, c'esl-à-dire des forces dont le travail est de signe con-

traire à celui des forces motrices ; pour cette raison on les nomme résistances passives.

7. — En résumé, il y a lieu de distinguer dans le premier membre de l'équation (3) :

1' Les travaux; moteurs, c'est-à-dire ceux que l'on applique au système dans le but de vaincre des travaux résistants, nous les désigoerons, pour la période considérée, par

aj '■'r.dt

2° Les travaux des résistances à vaincre, et qui constituent le résultat industriel à produire ; ainsi dans une machine élévatoire, ce travail correspondrait au produit du poids par la hauteur d'élévation. Nous désignons ces travaux par

Sj 't.rft

3" Les travaux résistants occasionnés par le jeu de la machine (6) et provenant de diverses causes telles que le frottement des appuis, les résistances des milieux, etc., nous les désignerons par

s J t, dt

4° Les travaux occasionnés par suite du mouvement des pièces pesantes de la machipe, lorsque ces pièces ne sont pas équilibrées ; comme ces pièces repassent, après une ou plusieurs évolutions, par leurs positions premières, ou on conclut que, leurs centres de gravité décrivant des courbes fermées, ces travaux sont tantôt positifs, tantôt négatîl^; pour une évolution complète, leur somme algébrique est nulle, et il est inutile de les faire intervenir dans réquation.On peut, du reste, faire entrer les travaux dont il est ici question, dans le terme des travaux moteurs, en leur donnant un signe convenable.

5' Les travaux résistants qui proviennent des chocs, lorsque la machine comporte des pièces qui changent brusquement de vitesse, comme dans tes anciens marteaux de forge.

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On sait que, lorsque le choc se produit entre deux corps qui ne sont pas parfaitement élastiques, il en résuite toujours, pour l'ensemble des deux masses, une perte de force vive ; Poncelet a admis, dans les problèmes de l'espèce, que les corps soumis à des chocs répétés perdent rapidement tonte élasticité.

Sauf dans le cas où le choc est nécessaire pour l'élaboration de la matière première, comme dans le martelage, on l'évite de plus en plus, et même le forgeage des grosses pièces est parfois opéré aujourd'hui à l'aide de puissantes presses.

Le choc est accidentel lorsqu'il résulte d'usures, de desserrages ; il occasionne toujours une perte de travail {').

8. — Lorsque l'on néglige le travail absorbé par les chocs, et qu'on envisage le travail dû au poids des pièces comme ^sant partie des travaux moteurs, l'équation générale des forces vives peut s'écrire

B J * t„ (tt — 2 J * t» d( — S J \r A = i S mt.,' — J 2 mt," t, t, t. 2 3

ou:

(i) sj 'T«d*=2j '^màt—lj 'vrfi — sis mu,» +|Emr/ '. '. (, * *

9. — Discussion de Véqualion générale. — Si, pour la période considérée, la force vive finale est égale à ce qu'elle était à l'origine, ou, plus généralement, si on considère le fonctionnement de la machine pendant une durée assez longue pour que la variation de force vive soit négligeable vis-à-vis des termes du travail, on a :

Çt. ft. Çh

d'où, si on désigne par u le rendement, c'est-à-dire le rapport du travail utile produit, au travail moteur, on a :

Sj '-Crdt S J ' T„ dt

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qui exprime, ainsi qu'on pouvait le prévoir, que le rendement de toute machine est inférieur à l'unité. Ce résultat explique aussi la stérilité de toute recherche tendant à produire le mouvement perpétuel.

Lorsque l'on envisage le travail de la macfaine pendant la période de mise en train, c'est-à-dire lorsqu'elle part du repos :

^E mr.» = 0 Dans ce cas on a :

S J T, d( = E J t„ d( — S J V (iï — 5 S m».' '. '. '.

La moitié de la force vive gagnée se retranche donc du travail utilisé. Tandis qu'en prenant la machine pendant la période d'arrêt, à la fin de laquelle :

g ju mo,' =s 0 on aurait:

sj '-c^dt^sj \„df~sj 'if-dt+sSmr,* '. *. *.

e'est-à-dîre qu'on retrouve, sous forme de travail effectué par la madiine, la force vive dont les pièces étaient animées à l'origine de la période.

U est à remarquer, cependant, que beaucoup d'opérations industrielles exigeant une vitesse constante, il n'est pas possible d'utihserles machines pendant la période d'arrêt; la force vive qu'elles possèdent lorsqu'on cesse d'actionner les opérateurs est alors perdue.

Enfin, l'équation (4) donne aussi :

Ce résultat montre que la force vive des pièces d'une machine varie, à chaque instant, d'après la valeur du terme renfermant les travaux des forces depuis l'origine à partir de laquelle on considère le mouvement. L'arrêt se produit lorsque

5 S mp,' = 0

c'est-à-dire quand !e terme des travaux prend une valeur négative égale à la moitié de la force vive à l'origine. Le danger de l'arrêt diminue lors-

que la valeur 3 Sm«c, devient de plus en plus considérable, c'est-àdire lorsqu'il y a dans la machine une grande réserve, de force vive.

10. — On peut remarquer ici l'influence des masses, sur la stabilité du mouvement des machines, car, à une certaine variation de force vive, répond un cliangement de vitesse d'autant moindre, que les masses en jeu sont plus considérables.

Si les masses étaient nulles, le mouvement ne pourrait avoir lieu pratiquement, car la vitesse prendrait une valeur infinie.

L'organe auquel on donne le nom de votant, a pour but d'augmenter les masses en mouvement, et, par conséquent de diminuer les changements de vitesse qui accompagnent les variations du terme des travaux.

11. — Mouvement uniforme. — Appliquons l'équation des forces vives pour une période comptée depuis l'instant &> jusqu'à un instant variable ft, nous aurons :

Pour que la force vive ne vari ) pas, il faut ;

(f 7 S ffle*

fi) S(t„-T.-V)=0

Les valeurs t™, t., tr, étant prises à l'instant 6 (•). 1. On peut représenter graphiquement les termes tels que

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En se reportant (4), à l'origine de la ootion nouvelle du travail par unité de temps, travail que nous avons désigné par -r, on voit que l'équation (S) donne lieu à ce Uiéorème :

Pour que la force vive de l'ensemble des pièces soit constante à tout instant, il faut que ta somme algébrique des travaux de toutes les forces, tant motrices que résistantes, qui se développent sur le système, soit constamment nulle.

La propriété réciproque est évidemment vraie.

Sauf de rares exceptions, on ne peut dire qu'une machine se trouve à l'étal de mouvement uniforme lorsque la somme des forces vives de ses pièces ne varie pas, car la constance de cette somme, formée d'éléments complexes, n'exige pas que chaque pièce composant la machine ail une vitesse constante.

Ainsi, dans le mécanisme de la machine à vapeur usuelle, lorsque l'arbre est à l'état de rotation uniforme, le mouvement de la lige de piston est varié, et inversement ; il y a très peu de systèmes qui soient susceptibles de prendre un mouvement uniforme; cependant, dans beaucoup de cas, certains organes prédominent par leur masse ou par leur vitesse, et l'on peut, sans grande erreur, faire abstraction des parties accessoires.

En se reportant à l'équation (5), on voitque, dans tout système momentanément à l'état de mouvement uniforme, ou pour lequel la sommedes forces vives est constante, les forces sont liées entre eUes par l'équation du travail virtuel, c'esl-à-dire que le système peut-être considéré comme en équilibre; les résistances passives doivertf être comptées au nombre des forces qui sollicitent les pièces.

IS. — Mouvement varié. — En général l'équation (5) n'est pas vérifiée, et, par conséquent, le terme des travaux, au lieu d'être constamment nul,

car il suffit de porter en abacissea les valenra de t, en ordonnées les Taleors £ t„ on obtient une cnnrbe BG (fig. 2), dont l'aire ABCD est le terme cherché ; raccroiasement âémentùre de ce terme ^ l'instant 6, pour la durée d6, est donné pftr CDC'D' dont U valeur est

DCXdS

c'eat-à-diie que sa dérÏTée par rapporta S a pour valeur DC. Mais DC est la valear que prend, à l'instant t, le lennfl Zto,, ce qui justifie l'éqoation (5).

peut prendre loule valeur positive ou négative ; on peut, par la représentation graphique, établir clairement la loi de variation de la force vive en fonction du temps, car l'équalion générale peut se mettre sous la forme :

Portons en abscisses les valeurs du temps (fig. 3); et en ordonnées: d'une part, les valeurs de Et™, d'autre part les valeurs de ït» + Stc ;

Fig. 3.

nous obtenons ainsi deux courbes, l'une, en trait plein, relative au travail moteur, l'autre pointillée, relative à l'ensemble des travaux résistants utiles et passifs. En retranchant les ordonnées, et en tenant compte du signe, on obtient une ligne qui représente la fonction

Pour obtenir ^ S mo*, il suffit, en chaque point tel que M, de porter MC = AB=|2 wp.'

et d'y ajouter la valeur de l'aire abcd, ou a'b'c'd", qui représente la somme des"Hravaui développés depuis l'origine U jusqu'à l'instant final (. On trouve ainsi le point D, et la loi des forces vives est représentée par la

courbe BD ; cette ligne, rapportée à l'axe BC, n'est autre chose que la courbe intégrale de b'd", ce qui permet d'établir deux propriéléE importantes:

i' Lonqve

^ Et„-(ST, + S v)=o

la tomme des farces vives casse par une valeur maxima ou minima. S" Lorsque

Et» — (ST.4-Et,)

patte par une valeur maxima ou minima, la courbe des forces vives prétente -un point d'inflexion.

Ces propriétés peuvent être démontrées directement, car

-^^ =:St»-(St- + S V)

'"•^'^ d[aT»-(I!x. + 2v)]

Loraque &<F = o, on a donc :

c'esl-à-dire que la force vive passe par un maximum ou un minimun, (points f • et t"").

Lorsque c'tT passe par un maximum ou un minimum,

d[ST„-fET, + B%)]^

et, par conséquent,

a» 5 s me'

donc, la courbe des forces vives passe par un point d'infleiion (points f elO-

On peut remarquer, en outre, qu'au moment où la force vive j}asse par des valeurs masima ou minima, i^ forces agissant sur le système se font équilibre, pourvu qu'on y comprenne les résistances passives.

13. — Mouvement périodique. — On donne ce nom au mode particulier de mouvement pour lequel tous les organes de la machine repassent périodiquement par les mêmes vitesses; s'il en est ainsi, la somme des forces vives repasse à des intervalles de temps égaux par les mêmes valeurs (*); ainsi, dans tout mouvement périodique, si on porte en ig. 4), des intervalles réguliers T, correspondant à la durée

Hg. 4.

de la période, on partage la courbe des forces vives en autant de tronçons superposables -.abcde.

En se reportant au mode de conslruclion de cette courbe, on voit immédiatement que la courbe des travaux doit présenter la même propriété, c'est-à-dire que, dans tout mouvement périodique, la différence

repasse périodiquement par la même valeur; quant à l'allure de la courbe STm, ou de la courbe St, -f STr, elle peut notablement différer d'une période à l'autre; enfin, il est évident que, pour la durée d'une période, l'intégrale des travaux développés est nulle.

1. La proposition inverse n'est pas vraie, c'est-à-dire qu'il ne snffit pas qne la somme (fea forces TÎYes repasse par la même Taleur pour qu'un organe déterminé reprenne la même vitesse; il n'en est ainsi que pour oertainee mactmies.

14. — Loi des forces vives en fonction de Vespaee parcouru par f «n des points de la machine, — Pour pouvoir employer le mode de représentation graphique de la force vive en fonction de temps, il faut que la loi suivant laquelle se développent les travaux, tant moteurs que résistants, soit elle-même donnée en fonction du temps. Il arrive plus souvent que les forces motrices ou résistantes agissant aux divers points de la machine sont données en fonction des positions de ces divers points. On peut alors employer l'équation (1) qui, étendue à un système de masses prend la forme

|2nw'= I L mv + S f [P„ -(F, +Pr)] <fa

dans laquelle ?„, F„, F„ désignent les composantes tangentielles des forces motrices, des résistances utiles et des résistances passives agissant en un point du système.

Pour chaque point soumis à des forces, il y a lieu d'introduire une intégrale de même forme, entre des limites correspondantes à la position initiale et à la position finale, le signe S s'étend à toutes ces intégrales.

Quelle que soit la complication du système, soumis à la force mbtrice P', à la résistance utile Q, et aux réactions R et R' (fig. 8), on peut toujours remplacer chaque force, telle que Q, par d'autres forces dont l'une, transportée au point A, donne seule naissance à du travail; on n'aura

plus à considérer, dans le terme des travaux, que les forces agissant en un même point A, et l'on pourra construire un diagramme qui donne, pour toute valeur s, du chemin parcouru par ce point, le terme

P« - (P- 4- Fr)

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d'où l'on passera aisémeat à l'expression

/ [Pm-

Nous verrons un exemple de l'application de cette méthode dans le calcul des volants.

15. — Loi du mouvement dans un cas simple. — Supposons que la machine soit constituée de telle manière (') que le terme dû à l'ensemble des forces vives puisse se mettre sous la forme

H désignant une masse convenablement calculée, et v la vitesse d'un point choisi dans le système.

L'emploi de la méthode exposée au numéro 12 permet de tracer la loi des forces vives en fonction de l'espace parcouru par le point choisi; les

ordonnées telles que AB (fig. 6), représentent les valeurs s M «', ou, par

un changement d'échelle, les valeurs de v' ; on peut conslpiire le diagramme des valeurs de v, il suffit de porter en AB', la racine de l'ordonnée de la première courbe, et d'effectuer cette construction pour chaque valeur de *, on obtiendra la loi des vitesses en fonction de l'espace parcouru.

liâces  mouTement de tnaslstion on à moa-

Or, on a d'où

ea. supposant t=:o pour t = o.

au moyen de la construction indiquée pour le point B', on porte

AB" = ab" = • ; de là, il est fecile de passer a l'intégrale, mn, qui

représente (, on en déduira < en fonction de t, c'est-à-dire la loi du mouvement. Réciprocpiement, si l'on connaît la loi suivant laquelle se développent les travaux en fonction du temps, on peut en déduire 5 Mu*, et par conséquent «, d'où l'on passera à la connaissance de

vdt

16. — Application. — Pour rendre plus claire la signification des diagrammes dont il est question aux numéros 12, 14 et IS, prenons le cas d'une machine dont les pièces sont liées invariablement l'une à l'autre (comme dans un train de véhicules, ou dans une série de pièces tournantes) ; supposons que le système soit sollicité par une résistance uniforme Q (fig. 7), (comprenant les résistances utiles et les résistances pa&sïTes), et par une force motrice, donnée en fonction de l'espace, par la ligne brisée P.

Admettons que la machine soit en repos pour s z= o, la loi des forces vives sera donnée par la ligne o,ABG, dont le coefficient angulaire est égal en chaque point à la valeur de P — Q correspondante.

La courbe 0,A'B'C', formée d'arcs de paraboles, estobtenue en prenant les racines des^ordonnées de la courbe des forces vives, et, représente, si l'on mesure ses ordonnéesa une échelle convenable, la loi des vitesses du système en fonction de l'espace parcouru par un de ses points, c'està-dire les valeurs de v.

La courbe A"B"C" donne les valeurs de -ï enfin, la coorbe continue

0,«N.... composée d'arcs de paraboles, est la loi du temps en fonction de l'espace.

La connaissance de celte dernière courbe permet de tracer (fig. 8), le diagramme des forces vives en fonction du temps, ainsi que celui des

nr

travaux moteurs et résistants n'p, n'q, à chaque instant, car ceux-ci sont représentés par le produit des forces P et Q par la vitesse c ; on remarquera ici combien les diagrammes des travaux: ST™,'a(T„-i- t^), qui, dans ce cas particulier, sont formés de lignes droites inclinées, peuvent différer de ceux des forces motrices et résistantes.

Ajoutons qu'on ne pourrait analyser le mouvement d'une manière aussi simple dans la plupart des cas de la pratique, par exemple, lorsque le système comprend des pièces à mouvement alternatif.