Exemple numérique. — Un arbre 0 (fig. 9), animé d'une

Titesse de 73 tours par minute, commande par cadre une pompe â mouvement alternatif; on suppose qu'il reçoit un travail moteur, variable à chaque instant, -capable de le loaintenip à l'état de mouvement uniforme.

Le poids du cadre, de ses liges, du plongeur, etc., est de 120 kîlo^ammes; l'effort résistant à vaincre à la levée aussi bien qu'à la descente est de 2S0 kilogrammes, on suppose que toutes les réactions sont normales aux surfaces frottantes c'est-à-dire qu'il n'y a pas de frottement.

On demande de déterminer à chaque instant

le travail moteur t„ à développer sur l'arbre, et

d'en déduire l'effort P, qui appliqué à l'extrémité

d'un bras de levier égal à 1 mètre produirait ce

travail.

Fi g. 9.

Solution :

Soilp, le poids des pièces à mouvement alternatif,

Q, ta résistance du piston pour la descente et la levée,

là, la vilessse angulaire de l'ai-bre.

V, la vitesse linéaire du piston à l'instant t, correspondant à la position M du bouton.

Considérons comme origine le point A, où la vitesse v est nulle, et appliquons l'équation générale depuis A jusqu'en M; les pièces à mouvement de rotation ayant, par hypothèse, une vitesse constante, ne donnent lieu à aucun accroissement de force vive, et Ion a :

-/' Q vdt -\-f* pvât

d'où, prenant la dérivée, et résolvant par rapport à t^:

On aurait de même, pour la course de bas en haut, en prenant le point B comme origine:

Di3ilBedb,G00gle

Or, t> = *>r sin a,

En tenant compte des valeurs numériques r= 0,20

2iiX 75

, On obtient, pour le mouvement de descente : -tjM » 116 ain 2<i + 20é sis a

a variant de o à ir depuis le point A. Et pour le mouvement d'aspiration:

t« = 116 sin 2« + 580 ain «

Les sinusoïdes 116 sin S a, 204 sin a, et SSO sin a s'obtiennent facilement (fig. 10), au moyen des circonférences ayant respectivement pour .

rayons les nombres 116, â04, SSO, en ayant soin de doubler les angles pour la première; l'échelle des temps, portés en abscisses, est déterminée en remarquant que AC est la durée, connue, d'une révolution.

En ajoutant algébriquement les ordonnées des courbes I et il, on obtiendra les valeurs de t™ pour une révolution entière.

En&n, si P désigne la force motrice cherchée, on a

Cette équation montre qu6 les valeurs de P sont proportionnelles à celles de t„, ce qui était évident a priori, puisque la vitesse du point d'application de l'effort P est constante. Pour obtenir la grandeur de P, il suffit de mesurer les ordonnées de t,^ au moyen d'mie écheUe convenablement choisie.

EqUATIOK applicable AO cas ou des PHÉNOuftNBS TDERUIQDE3 S'ACCOMPLISSENT DANS LA D

18. — Les macbines qui comprennent une source d'énergie calorifique renferment des fiuides à température variable, et dont l'état peut même cban^r par la vaporisation ou la combustion. L'expérience établit que la chaleur peut se convertir en travail ou réciproquement, et que cette transformation s'effectue à raison d'une certaine équivalence.

Désignant par E le travail équivalent à l'unité de chaleur, nous admettons que la quanlité de chaleur Q équivaut a»i travail QE, et qu'inverse-

T ment, le travail T, communiqué à un corps, peut augmenter de ^ calories

la chaleur de ce corps.

La variation de chaleur n'est pas nécessairement accompagnée d'un changement de température, elle peut être employée à opérer un changement moléculaire (fusion d'un solide, vaporisation d'un liquide ou inversement).

Il faut du reste envisager tout corps solide, liquide ou gazeux, comme étant animé, indépendamment de sa force vive d'ensemble ou extérieure, d'une force vive intérieure, a laquelle correspond une certaine quantité U, de travail ou d'énergie intérieurs . Dès lors, si Q est la quanlité de chaleur utilement transformée en travail communiquée au corps fonctionnant dans une machine, depuis l'inslant (, jusqu'à l'instant t„ si on

.dbyGoOgk

désigne par a 2 mv„ , 5 2 mv, , le terme des forces vives dues aux mouvements apparents, et par U„ U,, l'énergie intérieure des corps composant la machine, on pourra écrire :

El, si le mouvement est périodique, c'est-à-dire ai la force vive apparente repasse, ainsi que l'énergie intérieure, par les mêmes valeurs, on aura, en appliquant l'équation à la durée d'une période:

Si, en outre, il n'existe pas de forces motrices extérieuraB,

et l'équation donne

y''St,*=QE-/'':

h» travail utile recueilli su moyen d'une machine semblable, est égal au travail QE, communiqué sous forme de chaleur, diminué du travail employé à vaincre les résistances passives- Toute machine thermique peut être étudiée au moyen de l'équation ordinaire du travail, dans laquelle on introduit, comme travail moteur, la quantité QE, correspondant à la chaleur réellement transformée en travail.

• 19. — Bendement calorifique, rendement organique. — La quantité de chaleur Q n'est pas celle qui est dépensée ; car nous verrons (3" fascicule), que le fonctionnement de toute machine thermique comprend nécessairement une dépense de chaleur Q", communiquée à un fluide travailleur, lequel en rejette une partie Q' ne pouvant plus servir à la production du travail.

On a donc Q=Q" — Q*.

Le rapport de la quantité de chaleur utilisée à la quanlité dépensée se nomme rendement calorifique, il a pour expression:

L'étude de ce rendement fait l'objet de la théorie des machines thermiques; lorsqu'il est connu, on peut déterminer Q en fonction de la chaleur dépensée

Le rendement organique doit être envisagé comme au numéro 9, sa valeur est :

Pour les machines qui font l'objet du $ I, et parmi lesquelles on peut dter les motem-s hydrauliques, les moulins à vent, etc., il n'y a lieu de considérer que cette dernière forme de rendement ; les moteurs peuvent avoir un rendement thermique très faible, tout en ayant un rendement organique élevé; les comparaisons que l'on a faites parfois entre le rendement thermique des machines à vapeui' et le rendement organique des moteurs hydrauliques, ne pouvaient manquer d'entraMer les inventeurs dans une voie fausse.

L'élude de p, ou rendement calorifique, fait l'objet des applications de la Thermodynamique; pour la recherche de «, il suffit, dans toutes les machines, de pouvoir apprécier les travaux des résistances passives, c'est cette détermination qui feit l'objet du-chapitre suivant.

Etude des résistances passiTes.

Les résistances passives (7) comprennent principalement :

1° Le flottement des solides ;

2* Le frottement des solides immergés dans un liquide qui sera examiné au § 11 de ce chapitre ; cette résistance est de la même nature que celle qui se produit dans le cas où un liquide est en mouvement contre une paroi fixe ou à l'intérieur d'un tuyau ;

3° La résistance au roulement ;

k" La raideur, ou manque de flexibilité des cordes, courroies, etc., passant sur des poulies ou des tambours d'enroulement ;

5° Le travail absorbé par les chocs et les vibrations ;

6° Le frottement de l'air sur les pièces en mouvemenL

Cette dernière résistance est rarement assez grande pour qu'il y ait lieu d'en tenir compte, si ce n'est dans des cas spéciaux, tels par exemple que le fonctionnement des ventilateurs, la locomotion à grande vitesse ; on peiit aussi avoir à examiner l'effet dû au choc, la question est analogue à celle du mouvement des ^ojectiles (').