X. > Y. «vecX. > Y

ou

S, < Y. avec X, < Y,

car, de celte manière, les composantes parallèles au même axe figurent toujours par leur somme.

Enfin, si une partie des forces se trouve en dehors des appuis,'il peut être nécessaire, tout en adoptant le mode de résolution approché cidessus, d'obtenir séparément les valeurs de X„ X„ Y„ Y„ parce que les équations de translation ne fournissent, dans le cas où les composantes X, et X, ou Y, el Y, sont de signes contraires, que la somme algébrique des deux forces, tandis que c'est leur somme arithmétique qui doil figurer dans l'équation (2).

89. — Le treuil est presque toujours commaudé par engrenages, au moyen d'un nombre plus ou moins grand d'arbres intermédiaires ; on emploie alors, pour passer d'un système au système suivant, la méthode indiquée au n° 68; les réactions sur les tourillons sont calculées en employant la méthode approchée de Poncelet; lorsque le dernier arbre est mû à bras d'hommes au moyen d'une ou de deux manivelles, la direction de la force motrice appliquée à ces manivelles est variable à chaque instant, >et, par conséquent, la grandeur de la force motrice l'est aussi, puisque ce changement de direction entraine une modification dans la grandeur des réactions ; la force motrice devrait alors être calculée pour chaque position. Dans les problèmes pratiques, il suffit de chercher la valeur de la force motrice pour un certain nombre de posisitioDS équidistantes des manivelles, et d'en déduire l'effort moyen.

90. — Poulie simple. — La poulie fixe, i comme un treuil simplifié; désignons par

I, peut être considérée

r, le rayon mesuré sur l'axe de la corde, p, le rayon du pivot, mobile avec la poulie,

dans le cas où le pivot est fixe (fig,89), p désigne li

la poulie.

Ona:

Pr=Qr + MQ+/'pR

R peut s'évaluer en fonction des composantes de P et de Q ; le poids propre de la poulie est négligé.

Lorsque les brins sont parallèles, on a en outre :

ce qui donne :

OU

9 1. — La poulie mobile (Sg. 90), donne

X + Y = Q équations qui, résolues, pennettent de calculer Y

OU, en tenant compte de la valeur de a :

9S. — Les combinaisons de poulies se rattachent, comme on sait, à l'un ou l'autre des systèmes représentés (flg. 91 et 92) ; ce dernier, connii sous le nom de moufae,iou palan, est le plus employé.

Dans le cas de la figure 91, sin désigne le nombre des poulies, on a:

^ = (rT^)"«

nous supposons que les poulies et pivots ont le même diamètre, et que toutes les cordes employées sont de même grosseur. Dans lamouffie, on a:

T..-, = "T.,tj P = «T„.,

Oq a, en outre

Les équations ci-dessus, au nombre de in + 1, permettent de déterminer P et les 2 n tensions inconnues.

On trouve

Kg. M Fig. 9Î

93. — Palan différentiel. — Cet appareil (fig. 93), connu aussi sous le nom de poulie de Weston, exige l'emploi d'une chaîne et de poulieaâ empreintes; l'effet multiplicateur est exprimé par

On peut, par la réduction de R — r, l'augmenter autant qu'on le veut ; pour une charge Q, appliquée au crochet, la tension qui sert à déterminer la grosseur de la chaîne est ^ , approximativement, tandis que, pour un palan, la chaîne ne doit résister, lorsqu'on fait abstraction des résistances passives, qu'à l'effort ^,

Si l'on abandonne à elle-même la poulie de Weston, le mouvement tend à se produire en sens inverse sous l'effet de Q ; la tension T„ devient donc plus grande que T., et, bien qu'elle agisse sur le rayon r de la

.dbyGoOgk

poulie différentielle, son moment peut équilibrer celui de T„ à la condition! que le rapport — ne soit pas trop grand ; l'appareil possède alors la ppopriété de ne pas être réversible.

La poulie de Wealon peut èlre actionnée au moyen d'un engrenage et d'une vis tangente; dans ce cas, la non-réversibilité peut être obtenue par l'inclinaison du filet de la vis.

94. — On ne peut évidemment appliquer atix chaînes les théories de la raideur des cordes; la résistance à laquelle donnée^ lieu les chaînes ordinaires où à maiUons articulés lorsqu'elles passent sur une poulie, est due à la rotation relative des maillons successifs au moment de l'enroulement et du : déroulement. Le travail nécessaire pour vaincre le frottement est emprunté à la force motrice P.

Soit r, (fig. 94) le rayon de la poulie augmenté de' la demi-largeur de la chaîne, p le rayon des tourillons, fleuT coefficient de frottement sur Pig. 9t les coussinets,

p, le rayon du fer de la chaîne (ou, s'il s'agit d'une chaîne de Galle, le rayon des pivots), /", Je coefficient de frottement fer sur fer.

Le bras de levier de Q par rapport au point d'application de la réaction K devient :

y + rp+r:?.

tandis que celui de la force motrice, P, est diminué, et prend la valeur

r-fe-A'f,

Comme les chaînes peuvent être rugueuses et non graissées, Hermaun ('} admet pour fi la valeur 0,20