SI

IX 2x

La propriété que possède le rapport -» d'augmenter très rapidement

avec l'angte embrassé, est souvent mise à profit dans les applications de la mécanique ; sur elle, sont basés les amarrages, les nœuds, les freins à lamea employés dans les appareils de levage, certains freins dynamométriques, les transmissions par courroies, par cordes, etc., (').

On remarquera que - conserve toujours une valeur Snie, et qu'ainsi

il est nécessaire, pour empêcher le glissement, d'exercer sur le brin libre une tension, qui peut à la vérité devenir très faible.

96. — Frein à. bande flexible. — Ce frein est souvent employé pour modérer le retour de la charge dans les appareils de levage; les deux dispositions les plus usitées sont celles des figures 98 et 99. Dans les deux cas, le point 0 est fixe, ta force p agit avec un bras de levier L, a

L Koos aroiu indique on s; st^e d'attsche des c&bles dans les éprearea de traction, basj for ce principe. Bvîltlin menntel de tAMOciation des Ingtniewë sortie <1«9 Ec(^ sp&ialee de Oand, 18^-83, p. 18.

.dbyGoOgk

est l'angle embrassé, T et ( sont les tensions aux deux exlrénûtés de la

lame ; négligeons le frottement sur l'arbre; pQur que le mouvement ne puisse avoir lieu, il suffît qu'on ait :

Or, quand le gbssement est sur le point de se produire,

TâZ

Avec la première disposition, on aura donc, pour le minimum de l'effort à exercer au bout du leviei- :

-zj.

On produira ainsi la tension ( dans le brin le moins tendu, et la traction T s'établira d'elle-même dans l'autre brin. On reconnaît que cet agencement est rationnel, car il faudra exercer sur le levier un effort moindre que si l'on avait pris la disposition de la Sgure 100. Dans le frein différentiel, (âg. 99), on a :

Pig. 100 pL=:tb~ Ta

Lorsque le glissement est sur le point de se produire, le rapport-piend la même valeur «A» que daijs le frein précédent, on a donc :

rL:

On peut, en agissant sur a et b, diminuer la valeur d p=o, et le frein sera automatique, lorsque

Lorsque - est inférieur à /*, on trouve une valeur de p négative,

ce qui veut dire que, même en déchargeant l'extrémité du levier, le Irein est encore serré ; mais, en aucun cas, b ne peut devenir inférieur à a, sinon, il faudrait absolument agir de bas en haut pour serrer le frein.

97. — TraTtsmissions par courroies et par cordes ('). — Ces transmissions s'emploient dans le cas de deux arbres parallèles, et relativement assez rapprochés. Soit 0' (fig. 101), l'arbre à commander, qui doit effectuer par minute n' tours, l'arbre moteur 0 tournant à n révolutions.

Soit Qq le couple résistant sur l'arbre 0',

Pp le couple moteur sur l'arbre 0,

r' et r les rayons des poulies, )' et f les rayons des arbres-

1. Lee transmissions par oonrroies et par câbles sont ici traitéea nniqnemeiit an point de vue da la rechercha des teadons néceasaires ponr transmettre nu effort on DM poisuoce doDO^, et du calcal des résistances passÎTea.

.dbyGoOgk

— liste travail, eD cheTaax, à transmettre est :

Lorsque N est connu, on trouve Qq au moyen de cette relation, qui donne :

Lorsque la transmission s'opère, les deux brins sont inégalement tendus, mais la tension dans le brin conduit reste cependant assez grande pour qu'on puisse le considérer comme rectiligne, à moins que les arbres ne soient à une distance inusitée. On a, respectivement, pour les deux poulies 0' et 0 en appelant f et T les tensions :

. (1) Tr' = ft-' + Q5 + Ml +/• p- Ké3. (T, t)

(2) Pp + (r = Tr + MT +/' p Bés. (T, ()

Ces équations renferment comme inconnues T, t et P, elles comportent donc une infinité de solutions, résultat qu'on pouvait prévoir a priori, car, lorsqu'une transmission fonctionne, il est toujours possible de donner aux deux brins de la courroie des tensions plus grandes que celles qui existent. Toutefois, il n'est pas avantageux d'en agir ainsi, car la section de la courroie devrait augmenter en conséquence; loule augmentation des tensions au-delà des valeurs nécessaires entraînerait, du reste, des résistances passives supplémentaires.

D'autre part, la transmission ne peut s'effectuer que si la courroie ne glisse pas sur la jante de l'une ou de l'autre poulie, ce qui arriverait certainement si elle n'était pas assez tendue.

Pour que le glissement ne se produise sur aucune des deux poulies, il faut que l'on ait, en désignant par a.' et a les angles embrassés sur chacune d'elles :

valenps e** ou «/*, et dans la cas d'qae oourroie non croisée, il suffira

que ~ soit plus petit que la valeur ef'^ calculée pour la plus petite des

deux poulies; nous ajouterons que lorsque les deux arbres sont à une distance convenable, l'angle se rapproche de 180*; cependant, pour tenir compte de la Sèche du brin conduit, qui pour un certain sens de rotation, tend à diminuer l'arc embrassé, on prend souvent

ce qui donne (voir le tableau du q* 95)

— = 8 environ

Qaoiqail en soit, ai l'on désigne par K la plus petite des deux valeurs e /•' ou e/*, il faut que

U existe une inanité de manières de satisfaire à la condition ci-dessus,

T mais on peut voir facilement qu'il y a intérêt à adopter pour -j un

rapport aussi élevé que possible, car, soit |t le rapportdes deux tensions, on a, en négligeant dans l'équation (1) tous les termes de résistances passives, qui sont peu importants:

et puisque

11 est visible que les tensions ( et T diminuent lorsque i* augmente,

on derra donc, si l'on ne veut exagérer les tensions, élever [x autant tpxe possible, c'est-à-dire le rendre égal à K, ce qui restreint la condition (3). Les tensions sont alors approzimatÏTement :

mais il serait facile d'obtenir les valeurs [euctes de f et T en utilisant complètement les équations (1) et (f).

Dans une transmission établie comme ci-dessus, le glissement serait sur le point de se produire, et il n'y aurait aucune réserve de tension pour prévenir le glissement en cas de variation accidentelle du couple résistant ; comme, de plus, les courroies finissent par s'allonger, surtout lorsqu'elles n'ont pas encore servi pendant longtemps, on préfère augmenter T et ( ; les tensions ci-dessus conduiraient, pour l'ensemble des deux brins, à>la tension totale

t + lQg C— 1 r'

Lorsque la transmission ne fonctionne pas, par exemple lorsque la courroie vient d'être posée, les tensions sont tes mêmes dans les deux brins, l'une d'elles augmente d'une certaine quantité pendant la marcbe, pendant que l'autre diminue d'une quantité égale ('). La tension de pose

1. Ce fait est facile i démontrer, car eoit T, la tension lois de U pose, E le coefficient d'élfteticité dn cuir; en passant de la tension nnJIe à la tension T, Ttinité de longnenr de U ooniroie subit nu allongement p,- , l'allongement correspondant A la

mente donc le brin conducteur proportionnellement à -pr (T — T,) ; dans le brin

conduit an contraire, l'allongement diminue proportionnellement à -p' (T, -^ t) ; maïs la longueur totale reste sensiblement la même, il faut donc que

T — T, =: T, — ( on

nécessaire pour permettre aux tensions T et 1 de se développer est donc

" s ~IK — 1 r

Pour se prémunir contre la possibilité du glissement, on augmente à dessein la tenaion de pose, et l'on fait

Comme on a approximatiTement \

On tire de ces deux dernières équations :

î— llK + 1 , ( ~ K + 11

K est nécessairement supérieur à l'unité, il en résulte que

c'est-à-dire qu'une certaine marge est réservée contre le danger du glissement.

La valeur

n'est qu'approchée, elle est obtenue en négligeant les résistances passives dont l'effet est de nécessiter une augmentation 4e T — t.

T 4- lest déterminée parla tension de posç; le procédé indiqué cidessus permet cette augmentation sans que le rapport K soit dépassé ou même atteint.

Hg. m

98. — Dane certains cas, l'une des tensions est connue avec certitude, c'est lorsqu'on fait usage d'un 'cA \ galet tendeur (fig, 102); si l'on néi y glige le frottement sur l'axe du "" galet on peut facilement trouver 1 en fonction de l'effort p rapporté au centre du galet, et de l'angle d'inflexion du brin, cet angle est déterminé par la longueur de la courroie.

Le galet tendeur doit toujours être disposé de manière à augmenter

les arcs embrassés sur les poulies, et en raison de la tension plus faible

à réaliser, il convient de le faire

\ agir sur le brin conduit plutôt que

sur le brin conducteur.

On rencontre quelquefois, dans

''*■ ^"^ certaines transmissions par cordes,

le système de tendeur représenté (ûg. 103), on connaît alors la somme

des tensions.

88. — Lorsque les poulies sont assez rapprochées, et que le rapport des rayons est considérable, l'angle minimum embrassé diminne; aussi ce genre de transmissions exige une tension de pose exagérée, et il convient autant que possible de l'éviter; lorsque l'espace fait défaut pour installer un arbre intermédiaire, on emploie avec succès on galet aoxi- ^m w/i§ 'iisire (fig. 104), qui sert seulement à

~T / if't\ -^ augmenter l'arc embrassé; pour di-

minuer la pression qui se reporte sur ses pivots, on l'installe de préférence ^'8' ^'** sur le brin conduit. L'emploi de ce

galet auxiliaire s'indique lorsque l'on veut établir une transmission à grande vitesse dans un espace réduit, par exemple dans les petites installations d'éclairage électrique.

On peut aussi, en croisant les brins (fig. 105), augmenter l'angle embrassé, qui devient alors le même pour les deux poulies, mais le {Sottement qui se développe à la rencontre des deux brins einpèclie Fig. 105 d'employer ce système pour des Iransmis-

sions importantes. Eofail on n'emploie la courroie croisée que pour des courroies peu larges, et dans le but de changer le sens de la vitesse d'une transmission secondaire.

100. — Vileue des brins. — L'effort circonférentiel que l'on doit transmettre à la poulie commandée est, en négligeant les résistances passives (n' 97)

En appelant v la vitesse de la courroie, on a

cette valeur, substituée dans l'égalité précédente, conduit à nne forme plus simple des tensions t et T

eo supposant réalisées les conditions les plus favorables au point de vue des tensions, c'est-à-dire celles qui correspondent au commencement du glissement.

Pour transmettre une puissance N déterminée, on a donc intérêt à augmenter v aaiant que possible, car on peut ainsi réduire la section de la courroie proportionnellement à T, et diminuer en même temps les résistances passives.

L'augmentation de vitesse peut d'ailleurs être obtenue en agissant, soit sur les nombres de tours par minute, soit sur les rayons, soit sur ces deux éléments à la fois.

Lorsque la vitesse n'est pas grande, la force centrifuge qui s'exerce sur la courroie dans son passage sur les poulies est très faible et peut être négligée, mais on réalise parfois (') de très grandes vitesses, et il

1 • Oç peat dtar coniine exemple de l'une des vitesBes les plno grandes que l'on ût atteinte jnaqn'à ce jour, la traQStnigsion principale de la c Linière Gantoise >,

où dflm mnrmÎA« inmAlli^a. t^n 1'°.Ariri ^Alarupnr r^ïiaimna or^nf iJfnKlinll an r lin -mpmf

Totantde V,IH de diamè^ tonmant à laisoa de 53 râToîntions par minute ; la viteueàlajant«eflt de 2fi"'B0 environ.

.dbyGoOgk

est nécessaire alors de rechercher l'influence que la force centrifuge peut avoir sur les tensions.

101. — L'effet de la force centrifuge est de diminuer la pression normale que la courroie exerce sur chaque élément de la jante, et, par conséquent, deréduire le frottement qui entraine la courroie; on ne peut empêcher le glissement que par un excès de tension dans les brins, la force centrifuge modifie donc les relations (3) et (4) établies au n" 95 pour les courroies plates, et les cordes fonctionnant sur les poulies à gorge, respectivement.

Soit p le poids de la courroie par unité de longueur, pds est le poids pour l'élément de longueur de (fig. 9S) ; cet élément est sollicité par les tensions X, X+ dX, ainsi que par la réaction normale, Nffs, de la poulie, la force centrifuge

et, enfin, par le frottement f^ds.

Si nous supposons qu'il s'agit d'un tambour circulaire, «test la vitesse angulaire de l'élément considéré, r est le rayon, et ces quantités sont constantes.

Les équations d'équilibre de l'élément sont:

en éUminant N entre les deux équations, et remarquant que tar désigne la vitesse o à la circonférence, on a :

gX ..

qui donne, par l'intégration, en appelant a l'angle correspondant à l'arc

DigilizedbyGoOgle

Cette relation doit exister lorsque le glissement eslsur le point de se produire, on voit immédiatement que l'on a:

c'est-à-dire, que le rapport des tensions doit rester inférieur à ce qu'il est lorsque l'on néglige la force centrifuge ; comme leur différence doit être suffisante, d'autre part, pour entraîner l'effort circonférentiel, on voit, en défini tive, que la force centrifuge oblige à augmenter les deux.tensions, ainsi qu'on pouvait le prévoir.

102- — Nous avons vu (100), qu'il y a intérêt à augmenter la vitesse de la courroie si l'on veut diminuer la -tensiou, mais la force centrifuge qui augmente en conséquence, exerce un effet contraire, il y a donc lieu de rechercher la vitesse pour laquelle la puissance transmise est la plus grande, la section de la courroie étant donnée ; pour ne pas compliquer inutilement les formules et les réaultatg, nous ferons abstraction des résistances passives.

Soit s la section de la courroie,

T la charge admise par unité de section dans le brin conducteur,

V la vitesse,

5 le poids spécifique de la courroie,

p = 8« le poids par unité de longueur.

La tension totale du brin conducteur étant T, celle du brin conduit est f, et la puissance transmise sera, en y comprenant les résistances passives:

On tire de la relation (1), établie au n" 101, en supposant que le glis< sèment eat sur le point de se produire :

DsmzedbyGoOgle

ce qui donne :

ji X So La valeur de v qui rend nulle la dérivée du second memtffe est:

Pour les courroies neuves, en cuir, le poids spécifique est: 8 = 1000

T est la charge admise par mètre carré de section, elle varie avec le coefficient de sécurité que l'on adopte, el avec la qualité du cuir ; les grandes transmissions sont quelquefois chargées à 0 kil., 40 (Leloutre), par nûllimètre carré du brin tendu; on a donc:

T = lOOO* X 0,40 = 400.000 D'où

Pour une tension de 0 kil., âS par millimètre carré, on trouve

vitesse dont on s'approche rarement dans l'application. Lorsque l'on adopte la vitesse rni la plus avantageuse, la condition du

devient, en remaxqnant que et

00, eu faisant «r = T:

On voit que cette conditioD diffère notablement de celle obtenue en négligeant la force ceotrifuge.

A la vitesse de 18 mètres par seconde qui correspond à -3-t et qui est souvent réalisée, on a

Poîir «/* =: 2 la condition devient

alors qu'on aurait, en négligeant la force centrifuge :

D est à remarquer aussi, que si T, représente la tension de pose, T et t les tensions en marche, on a toujours, puisque la longueur totale reste invariable : .

2 Ti = T +t

En négligeant les frottements, et lorsque la courroie est sur le point )r, on a :

.dbyGoOgk

qui remplace l'équation {3) du numéro 97.

Ces trois équations penneltent de trouver la tension de pose.

103. — L'expression trouvée au numéro précédent pour vu est applicable aux courroies et aux cordes de toute nature; on aurait, pour une courroie en caoutchouc (')

T = 300000 Pm =23-60

Pour les cordages en chanvre fort des Flandres (44), on admet, d'après M. Vertongen, une tension de travail de 0 kil, 2S par millimètre carré, afin de ne pas fatiguer les épissures, on a : 8=1050

Pour les cordages en chanvre de Manille, la charge admise est la même, mais 5 == 830, ce qui porte la vitesse Wm à 31",80 (")■

104. — Le rayon des poulies ne figure pas dans l'expression de «m. il semble donc indifférent de réaliser la vitesse par l'augmentation des nombres de tours ou par celle des rayons; toutefois, lorsqu'on tient compte de la raideur, on s'aperçoit qu'il est préférable d'adopter de grands rayons de poulies plutôt que d'agir sur le nombre de tours, car la puissance absorbée parla raideur augmente, pour une tension donnée, proportionnellement à la vitesse angulaire, attendu que cette puissance a pour expression, sur la poulie motrice:

Û.MT et sur la poulie commandée:

•o'M( où M = 0,02 m

1. Leloutte. — Im trangmitsions par courroies, etc., Paris 1881.

2. La vitesse la phis grande qai ait été réalisée dans une trausmissioii par câbles, est celle d'une tDachine motiice établie par Douglas et Grant ; le volant comprend S8 gorges, il a 30 pieds de diamètre, et fait 60 tours par minute (Engineering^ 1888, 1" sem. p. 3S2>, ce qui porte la vitesse à Wr,75 par seconde.

m représeotant le poids du cable par mètre de longueur, ce poids est proportionnel à la seclion, laquelle est délerminée «n fonction de T et ne dépend par conséquent que de la vitesse linéaire.

Pour les courroies, et bien que les données numériques fassent défaut, nous devrions conclure dans le même SGns,

Le choix des rayons exerce, sur la puissance perdue en frottement; une influence qui échappe à toute loi générale. Dans les grosses transmissions, te poids des volants et des poulies est la force prépondérante, tandis que l'inverse a lieu pour transmissions légères. La vitesse de rotation réagit également sur le diamètre des arbres soumis à la torsion.

D'ailleurs, la raison d'économie limite le diamètre à donner aux poulies, abstraction faite des considérations d'emplacement. .

105. — Glissement permanent des courroies. — M. Kretz (') a, le premier, appelé l'attention sur un glissement d'une nature spéciale, qui se produit dans les transmissions, même lorsque les tensions sont convenablement établies, et qui a pour cause l'élasticité des liens. Lorsqu'on fait abstfaction des changements de longueur qui accompagnent les tensions t et T, on doit avoir :

car le déplacement des poulies, mesuré à la circonférence, est le même pour les deux arbres ; mais, loreque la permanence du régime est établie, la quantité de matière qui s'enroule sur l'une quelconque des deujt poulies est la même que celle qui s'en déroule pendant le même tempscette quantité de matière répond, pour les deux brins, à des longueuis /, r, différentes; car, en appelant E le coefficient d'élasticité, et» la section de la courroie, on doit avoir: \

'— Il

Sur la poulie menée, la courroie subit donc un glissemerit dans le sens du mouvement, tandis que, sur la poulie motrice, un effet opposé se produit; au total, les choses se passent comme silapouUe menée enroulant la longueur