Publication iDdustrielle d'Armengaud, t. I. pi. i

D.gitizedbyGoOgle

f est le rayon moyen delà section, c'est-à-dire le quotient de la section par le périmètre mouillé, ot et n ont des valeurs qui dépendent de la nature des parois, et qui sont choisies comme ci-dessous:

Ciment liase, bois nlwtë m = 0,000.15 n:=0,ÛS

Faroia unies ea nuçonnerie on en plancbeti. m = 0,000.19 n = 0,07

Parois bratee en moellons m = 0,000.24 n = 0,25

Faroia enterre m = 0,000.28 n = 1,25

Soient a la largeur des aubes, « la quantité moyenne dont elles sont immergées, L la longueur développée du coursier; la perte de charge Lt) devient:

, a + iel , Li) = — ' Im -}- n

En substituant au terme -=-Tr- , dans l'équation (1) les valeurs qui le composent, et en faisant usage de l'équation (2), il vient :

T„ = n Q [h - g + ^ (« coa « - p)] - n Q

Pour augmenter autant que possible le travail recueilli, il faut choisir une valeur v qui rende maximum le terme :

- (« coa « — p)

c'est-à-dire qu'il faut adopter, en supposant que la grandeur de u soit donnée, ainsi que son inclinaison,

D'ailleurs puisque

OD a :

(5) . . . T„=nQ[H-A(l-icoa««)]-nQLT

Il ne faut pas perdre de vue que le dernier terme est lui-même fonc-

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tion de la vitesse v, qu'il y a tout intérêt à réduire ; en effet, le volume débile par la roue, qui est une donnée de la question, est approximativement égal à ;

toute diminution de v agit en sens inverse sur le produit ae, de telle sorte que si w est remplacé par -^ • '^ produit ae sera remplacé par K X ae, et en supposant que les aubes conservent des dimensions proportionnelles (ce qui a lieu, en effet), les quantités a et e devront être remplacées par a^ et par e^K ; on reconnaît facilement que toute diminution de v agit dans le même sens sur la perte de cbarge représentée par le dernier terme de l'équation (5). Pour augmenter la valeur du premier terme, il convient de réduire A, on est ainsi conduit, pour recueillir le maximum du travail, à cette double condition :

1* La bauteur h qui détermine la vitesse absolue u doit être aussi réduite que possible;

2" La vitesse v doit satisfaire à la condition (3).

On peut encore chercher l'influence de i sur le travail recueilli ; cet angle a été, dans tout ce qui précède, considéré comme une quantité donnée, mais on voit d'après l'équation (B), qu'il y a intérêt à le réduire.

On ne peut cependant adopter a=:o, car l'eau ne pénétrerait pas dans la roue ; a ne descend pas, pour cette raison, en dessous de 30" et s'élève jusqu'à 45°.

Le maximum théorique du rendement serait obtenu pour:

et l'on aurait :

En négligeant le dernier terme, qui esttoujourstrêsfaible, onvoitque le travail recueilli correspond à la chute :

Lorsque l'on adopte la valeur usuelle :

on trouve pour la hauteur utilisée :

:yGoog[e

Ce résultat indique qu'il faut disposer le vannage de manière à réduire a; c'est ce qui est obtenu par une prise d'eau en déversoir.

15. — Forme des aubes. — Puisque la vitesse relative est perdue à l'entrée sur la roue, la théorie n'impose aucune obligation en ce qui concerne la forme ou l'inclinaison des aubes ; si on les trace de manière à ce qu'elles soient parallèles à la vitesse relative w, la force vive s'anéantit sat la fonçure; si, au contraire, les aubes sont plus oi^' moins inclinées sur la vitesse relative d'entrée, la force vive se perd en deux fois : une pFemière partie estdétruits au bord des aubes, la force vive due à l'autre composante de la vitesse se perd comme dans le premier cas ; théoriquement les deux états de choses sont équivalents, mais la direction de l'aube ne t pourrait être teUe que w vint choquer sa face postérieure, car il en résulterait un effet nuisible.

Pratiquement, il vaut mieux diriger les aubes parallèlement à la vitesse w, au moins pour leur premier élément, car ainsi, l'eau pénètre nettement dans la roue, sans rejaillissement, c'est pourquoi on adopte fréquemment des aubes à contour brisé, lorsqu'elles sont en bois

Flg. 11 Hf. H

{ûg. 11), ou même des aubes courbes (fig. H) ; ces formes ont du reste encore l'avantage de ne pas relever l'eau à la sortie,

La fonçure peut être entièrement supprimée {flg. 12), mais le plus souvent, on la conserve en la disposant de manière à ce qu'elle laisse échapper l'air pendant le remplissage ; à cette Qn, on ménage à la partie

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supérieure de chaque compartiment une ouverture o (fig. H), qui règne sur toute la largeur de la roue.

Les aubes sont quelquefois disposées comme dans la figure 13, c'està-dire qu'elles comprennent un premier élément a, dirigé suivant le rayon, et une contre-aube a, contre laquelle la force vive relative est plus ou moins utilisée par réaction comme dans les roues à aubes courbes. Une foacure discontinue' favorise le départ de l'air pendant le remplissage. Lorsque l'on emploie cette construction, et qu'on veut éviter le choc tjontre le bord extérieur des aubes, il faut évidemment quewsoit dirigée suivant le rayon, on Fig. 13 a alors :

r = M COB a

En substituant cette valeur à l'équation (3) et en négligeant le terme dû à la résistance du coursier, on trouverait au lieu de l'équation (5):

T™ = nQ(H-ft)

Ce mode de fonctionnement serait donc moins avantageux que celui auquel conduit l'équation (3), puisqu'on perdrait entièrement la hauteur A, mais nous n'avons pas tenu compte de l'effet dû à la réaction sur la contre-aube ; pratiquement, la hauteur h n'est donc pas entièrement perdue.

16. — Conditions pratiques d" établissement du vannage en déversoir. — La formule qui donne le débit, en fonction de la largeur a du déversoir et de la profondeur h' du seuil en dessous du niveau d'amont prolongé (fig. 14) est, comme on le sait :

li^U Q 1= I 8 aA' 'JÏJh-

6 est un coefficient qui dépend en partie de la contraction plus ou moins grande de la veine, aussi bien dans le sens latéral que sur le seuil. Dans les roues hydrauliques, l'étranglement latéral est presque nul, la hauteur A' s'élève toujours au moins à 0"',10 ; on a alors, d'après les expériences de Caste! :

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Le chiffre trouvé par Poncelet se rapproche beaucoup de celui-ci. Nous avons supposé que le seuil présente une arête tranchante qui permet à la pression atmosphérique de s'établir dans la section ab ; lorsque le seuil présente beaucoup de largeur dans le sens des ûlets, avec une courbure assez faible pour que la veine s'y attache (fig, 18), les conditions de l'écoulement sont modifiées ; l'expérience indique alors qu'il faut prendre {') :

On a pour l'épaisseur do la veine :

La hauteur motrice n'est alors, dans la section ab, que la hauteur sur le point a; on peut vérifier qu'il en est bien ainsi, car en supposant que les filets traversent la section ab à peu près horizontalement, et, en remarquant que la hauteur sur le point a est :

il vient, pour le débit :

ce que l'expérience fournit précisément dans ce cas, attendu que :

1. Hatûn de la Goupillière. Cours de Macliines, p. 67 t 69. Il existe d'autres formules, notammeiU celles de Weiabach, Boileau, etc., qui donnent des résultats peu concordants &vec celle que nous employons. Revue uaioertelle de» Minet, £• série, (. XI, p. 511 .

Voir une étude récente sur ce sujet par M. Bazin (Annales des Ponts et Chausséesl, ainsi que Expérimenta on x Measurement or Water on Weirs >, par Donkin et Salter. Minute» of ProeeeMngt of tlie Institutton of C. Ç. vol. 83, année 18S0.

Il 7 aurait quelque difficulté à suivre une marche tout à fait rigoureuse pour le tracé du déversoir, nous procéderons de la manière suivante :

Remarquons d'abord que la veine, au moment où elle traverse la section ab, (âg. 15) possède, dans tous ses filets, à peu près la même vitesse que si elle B'écoulail du vannage m„ rig (fig. 16), supposons que le seuil de ce dernier soit prolongé par le coursier Kg n, et proposons^ nous de déterminer l'arc qui lui sert de directrice, de telle manière que la veine liquide reste en contact avec lui.

On a, par l'équation de continuité, en appelant u la vitesse d'un filet dans la section mn, et p l'angle qu'elle fonne avec l'horizontale :

Vit- 15

et, puisque :

On a aussi

mn X u cos ^ =: coastant«

H cos p :^ constante = u,

mn = con3tftnt« = ntgDii

Pour tracer le coursier, il suffira donc de prendre une courbe n,n, équidistante de celle m^m, que suit librement le filet superficiel. Soient

y U haatear d'exu but le point m, yo la haatear anr le point m^ X la quantité md.

La parabole décrite par le filet a poiu* équation :

ir* = 4 i/, 0/ - ".) Or, menons par «i la tangente ntc à l'arc mma en remarquant que l'angle cmd est égal à p, et que

ci = 2 nhd = 2 (y — jfo)

^f^^Jl^^sJ'-

ou réciproquement :

en faisant usage de l'équation de la parabole, on trouve aussi :

» = y sin 2 p

On peut, en se donnant à l'avance^, trouver la valeur de y, c'est-àdire la quantité dont le point m est situé sous le niveau d'amont. L'épaisseur normale de la veine au point E sera :

mn cos ^, OD 2 m cos p

L'angle p peut être choisi par les considérations suivantes :

Le fllet moyen El (fig. 17) doit faire avec la tangente ET un angle et donné; nous avons vu (14) qu'on prend

« = 80à4fi»

Le centre de la roue 0, doit être situé plus haut que le niveau d'amont, on peut se donner l'inclinaison t du rayon OB sur l'horizontale ; L'angle p sera donc :

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Pour r = 15°, et «= 30°, on a s =; 45". Faisons en sorte que «=:2 mètres, il faudra prendre

uo = u cos p

cette quantité représente aussi la demi-épaisseur wE, de la veine, mesurée verticalement.

On a

Le point E sera sous le niveau d'amont, à la distance

ff + mE = 0,806

L'épaisseur normale pg de la veine, au point d'entrée, est :

« = mn coa P = 0»,144

La distance horizontale x, qui sépare les sections m„n et mn est, comme nous l'avons vu plus haut :

3! = g ain 2 p = 0,20i

En résumé, la marche à suivre sera la suivante : ayant calculé comme ci-dessus les divers éléments en se donnant les valeurs de a, t, et m, on pourra fixer sur un tracé la position du point E relativement au niveau d'amont MN, tracer la ligne El, formant avec l'horizontale l'angle p, porter sur la verticale

Em=En = i/a

calculer x et tracer la section ttig n^, enfin, tracer la parabole mmo, ainsi que l'arc parallèle ting.

En réahté, la surface libre de l'eau, ne pouvant présenter la courhure discontinue Mmg tn, le vannage en déversoir ne peut être, en toute rigueur, substitué à celui de la figure 16, mais on possède, dans la

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mobiitté du vannage, un moyen de régler le débit de manière à admettra sur la roue le volume Q par seconde ; ta vitesse u, et l'épaisseur de la veine au point E, ne pourront différer beaucoup des valeurs prévues.

■ 17. — Largeur de la roue.

Soit a la largeur utile de la roue, égale à celle du déversoir, on a :

Q = «, X 2i(o X a d'où

2tfo«o Si, en employant les valeurs iixées au numéro précédent, et qui sont :

ïo = 0.102

on était conduit à une la/geur de roue dépassant S mètres, ou si, d'une manière générale, on veut alléger la roue ou rendre sa construction plus économique, on accepte comme base du calcul du déversoir une vitesse u supérieure à 2 mètres, on augmente ainsi à la fois uo et j/o, et, par conséquent,, la largeur de la roue diminue très rapidement (on reconnaît que la largeur varie en raison inverse du cube de la vitesse admise).

18. — Profondeur des aubes.— Pour réglerlaprofondeurtderaubage, il faut avoir égard au coefficient de remplissage, celui-ci ne peut être supérieur à ^ lorsque la fonçure est continue, et qu'aucune- disposition spéciale n'est prise pour le départ de l'air, tandis qu'on peut le prendre égal à ' lorsque le système de construction est celui des Sgures 11, 12 et 13.

Adoptons le coefficient ^ , le volume engendré par l'aube qui se déplace, pendant une seconde, est :

aiv et le volume d'eau admis pendant le même temps est :

on doit avoir :

abv =:2atw •

UOTSURS ANlUfia, ETC. ^

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D'ailleurs, on connait, d'après le tracé d'atibes que l'on veut adopter, le rapport entre u et « (15). Sî l'on a égard à la condition du maximum d'effet, on prend

d'où

qui, pour (t=30' donne 6 = 4,6e.

Si, au contraire, on adopte de^ aubes dirigées suivant les rayoQS,

La distance des aubes ne peut être fixée convenablement par la théorie ; on peut dire seulement, pour que le remplissage ait lieu dans les conditions supposées, que cette distance ne peut être augmentée an delà de certaines limites, puisque sans cela l'eau serait reçue, à la an du passage d'uii compartiment devantle déversoir, sous une hauteur très supérieure à A. ' ,

D'autre part, dans les roues non ventUées, la distance de deux aubes doit être plus grande, afin d'augmenter la durée pendant laquelle l'air peut s'échapper par la circonférence extérieure

On obtient généralement de bonnes dimensions en prenant pour la distance d des aubes, une quantité comprise entre 0,Sb et b

19. — Epaisseur de la nappe d'eau à Vaval. — Soit e, celte épaisseur, on a, par la condition de continuité :

e,v=-tu d'où

c'est-à-dire que e, est précisément (;gal à la moitié de la longueur des aubes projetée sur le rayon, lorsque l'on adopte \m coeiïïcient de rem-

\ plissage égal à ^ , ce qui devait évidemment avoir lieu.

20. — Rayon de ta roue. - • Soit R ce rayon, on a (flg. 18) : B = OP + H — AE + «, ; f Aq

D'où

: e, + H - AE

OD a TU que, pour obtenir «=2 mètres, il faut (flg. 17) avec -1=15' : ■

j, + mE = 0,806 t = 0,144

c'est-à-dire que, pour ti =s « cos a, et « = 30°. e, — 0.166 R = 1.86 (H — 0,14)

d'où

SI . — • Mode de construction det roues de côté. ~- Les roues étaient autrefois construites exclusivement en bois, le fer n'y entrait qu'a l'étatde frattes ou de couvre-joints pour la consolidation des assemblages ('). Le fer et la fonte pennettent d'obtenir des roues plus rigides, le bois n'est plus guère employé que pour la construction des aubes et du vannage.

Dans les bons spécimens (*)> ^ i^ue est composée de deux ou plusieurs plans de bras, suivant sa largeur ; le nomlire de bras à adopter dans chaque plan est donné par là formule empirique suivante :

Ainsi, pour on rayon de 2 mètres, oh adopterait 6 bras, s 3 mètres, > 8 bras,

et ainsi de suite.

Les bras sont assemblés, au centre, sur des plateaux en fonte à ner- Tores, on tourteaux, calés sur l'arbre, et à l'extérieur, avec des couronnes de forme circulaire, qui servent d'appui aux coyaux supportant les aubes ; les couronnes sont réunies par la fonçure, lorsque celle-ci existe.