ÉQUILIBRE DUNE MOUFLE

39. Une moufle consiste en un système de poulies assem^ ^blées sur la même chape, et tournant sur des axes d^érents^ ou sur le même axe (fig* j4 ^Z- 7^)*

>llFLBa ET DE I

Considérons par exemple la moufle {fig- 74 ) et soient S, S', Fig. 74. Fig. 75. T,T',u,u', les ten-

■ T^ sions des cordes. Si

l'on fait une secdon xy, il est clair qu'on ne pourra soutenir la moufle inférieure, qu'en appliquant les forces ci-dessus aux cordes qui vont s'enrouler sur les poulies de la moufle mobile ; donc, ennommmtQ U cbai^, y compris le poids de la chape [3Z] *' <ïc* poulies qu'elle

porte, on aura (i) s -I- S' + T -h r -+- « -j- «' = Q.

Mais, si l'on n'a pas égard au frottement,

donc l'équation préc^ente devient , en nommant n le nombre des poulies,

« P = Q, d'oà P = ^.

Ainsi la puissance est égale à la résistance divisée par le nombre des poulies.

Ayons égard maintenant au frottement.

Si l'on pose, pour abr^er,

les équations (a) et {9) du n"33, relatives à la poulie liite et à

l5a DIXIÈME LBÇOir.

la poulie mobile, donnent respectivement {fig' 74)1 en supposant toutes les poulies de même poids, et le rapport - constant,

P = AS-4-B, S=AS' — B, S' = AT4-B, T = Ar — B, {^) { r = Aa-f-B,

«=Aa' — B,

auxquelles nous joindrons Tidentité

tt' =: u\

Ces six équations combinées avec l'équation (i) serviront à déterminer les sept inconnues P, S, S', T, T', u, u'. En les ajoutant membre à membre , on en tire

P-4-Q==AQh-i»', d'o^

(3) a'==P+Q — AQ.

Multiplions maintenant la deuxième des équations (2) par A, la troisième par A^, etc. , on obtient ainsi

P=:AS-f.B, AS = A»S' — AB, A»S' = A»Th-A»B, A»T = A^T' — A»B, A«r = A»«-hA^B, A»a = A«a' — A»B.

Ajoutant ces équations membre à membre , et nommant tou^ jpurs n le nombre des poulies , il vient

Mais les termes entre parenthèses forment une progression géométrique dont la raison est — A , et qui est composée de ^ termes , on aura donc #

DBS MOUFLES ET DE I. A VIS. l53

par suile la valear de P devient

Remplaçant U' par sa valeur (3) , on trouve ^

Remarquons maintenant que si Ton néglige les termes du quatrième ordre , par rapport à y*, p , on a , ainsi que nous Favons vu précédemment,

d où Ton tire au même degré d'approximation ,

r A 4- 1 a r et ensuite

r A»— iizzaii-^,

à — i) • I / fù\ I /p

Substituant ces diverses valeurs dans Téquation (4)? on est conduit à la formule très-simple

ouy ce qui est la même chose ,

et si l'on met en évidence le poids ts'-\-^ n^ de la chape , on trouve

7 P = ^H ^ ^.--iZ^ 2/H-i)nT4-4c' +4Q]-

l54 DIXiÈm LEfOBT.

Ici j comme dans tous les autres ctLB^il j a économie de force motrice à soulever de grandes charges. On voit aussi qu*i7 est avantageux Remployer de petits tourillons et des poulies d^un grand rayon.

■APPOIT DBS CHKHIHS PABCOORIJS PAS LA PUISSAIGB BT LA BÉSISTABCB.

Si le poids Q s'élève d'une quantité quelconque q^ les diamètres horizontaux de chaque poulie de la chape mobile s^ élèveront de la même quantité; par conséquent^ les n fils qui soutiennent la moufle mobile se raccourciront de la même quantité q\ il passera donc & travers le point fixe A une quantité p de corde égale à n^ ^ et Ton aura

- P^nq.

mAPPOBT DO TBAVAIL OTILB AU TBAVAUi MOTEIIR.

Le travail utile et le travail moteur ont pour valeurs respectivement

prenant le rapport ,

Mais on tire de Téquation (7)

chassant le dénominateur n , il vient

nP aor'+ao i ffV. , ^^ , 4=»' . /l .

renversant le rapport y et observant que

on obtient

/g\ 3fL -^ L -

i-u ZL H-/!-^ 2/i4-H)-4-47r +4

DES M0IIFLB8 BT DB LÀ VIS. l55

£a supprimant au dénominateur le terme affecté de Q , on aura la valeur maxima du rendement ^ savoir

Si Ton fait la division , et qu*on néglige des termes très-petits, les deux formules ci-dessus deviennent

/ \ T« 2 ct' -1-/10 I /"pF/ \^ i^' /T

T. fp

Si , par exemple ,

n = 6j y=o,i3, p = o,o3, r=o,20, cr == 4^ , bt' = 3o , Q = 1 000 ,

les formules (10) et (ii) donnent respectivement

la première—- = 0,714»

la deuxième r;^ = 0,766. *

La moufle proposée a donc un rendement maximum d'environ 76 pour 100.

Si Ton compare la formule (7) du n^ 38 avec la formule (11) du n^ 39, on reconnaît que ai le nombre des poulies mobiles du premier système est le même que le nombre total des poulies de la moufle , • le premier système est plus avantageux que le second, pourvu que le nombre des poulies surpasse deux.

BÉFINITIOIV DB L'HÉLIGB.

40. Soit un cylindre ABCD (Jig, 76). Prenons A A' égale à la circonférence de la base, puis construisons le rectangle

l56 DIXIÈME LEÇOIî«

AA'CC; ce rectangle ne sera autre chose que la surface con-

Fig 76. vexe du Cylindre déve-

loppée [sur le plan de la figure. Partageons maintenant la hauteur AC en plusieurs parties égales*, par lej points de division E, F,. . ., menons des parallèles à AA'; puis tirons les diagonales AE', EF', FC, etc. Cela fait,

si nous enroulons le rectangle ainsi préparé sur le cylindre, le côté AA' s'enroulera sur la circonférence de la base , el le point A' après Tenroulement viendra se placer en A; de même E' viendra en E^ et ain^i de suite. Quant aux diagonales, elles traceront sur le cylindre une courbe continue qui porte le nom d* hélice, La portion de cette courbe due à^jF enroulement d'une diagonale se nomme spire. Plus généralement, une spire est un arc d'hélice qui, partant d'un point d'une génératrice , vient se terminer à la même généraXrice, après ai^oir décrit une rév^olution entière.

On nomme aussi pas de V hélice, la distance qui sépare les deux extrémités d'une spire. L'hélice a pour propriété caractéristique d'avoir toutes ses tangentes également inclinées sur le plan de la base du cylindre. En effets on peut concevoir le rectangle comme étant décomposé en une infinité de tranches infiniment minces, parallèles à l'axe du cylindre : alors chaque petit rectangle venant se placer tout d'une pièce sur le cylindre , tout arc d'hélice mn qu'il renferme conservera sur le cylindre , par rapport aux génératrices , la même inclinaison que sur le rectangle, et comme sur le rectangle celte inclinaison est constante , elle le sera aussi sur le cylindre : mais cet élément prolongé devient , sur le cylindre , la tangente à l'hélice 5 donc la tangente en un point quelconque de Thelice fait le même angle av^ec les génératrices y et par conse-^ quent a\^cc le plan de la base du cylindre.

DES MOUFLES ET DE LÀ VIS. iS^

Si .l'on homme i^cette inclinaison, h le pas de l'hélice, le iriangle rectangle AA'E donnera

A'E' ou A = AA' lang /.

Mais Aâ'=: 2 7rr, en nommant r le rayon du cylindre; donc

(i) A = 29rrtaDgf,

tang I =

2ff r