TRÈS-PETIT DIAMÈTRE
*47. Avant d'aller plus loin, nous allons déterminer le point d'application de la résultante des actions centrifuges sur chacune des tiges du pendule. Pour cela, soit un cylindre dont l'axe MN (Jîg, 88) rencontre l'axe de rotation; le centre de
gravité étant au milieu O, l'ordonnée ^1, qui détermine la position de la résultan te des actions centrifuges, sera (en ayant égard au signe de a , et prenant pour plan primitif des Xf le plan perpendiculaire à l'axe mené par le point O (voir p. y6)
= I x'z^dm,
ma J
Quant à la valeur absolue de a , elle est ici égale à OA. Pour intégrer l'équation (i), nous transformerons d'abord les coordonnées x', z'en d'autres relatives aux axes Ox^ Or, et l'on trouvera sans peine, en nommant <f l'angle aigu que l'axe du cylindre fait avec Taxe de rotation,
x' = X €05 f — z sin y , «' = d: sin ^ -t- « ces y.
(*) M. le général Poncelet est le premier qui ait tenu compte de toutes les f<irfîC8 qui agissent sur le régulateur. ( Voir le Traité de Mécanique appliquée aux machines , page 83. )
DU RÉGULATEUR A FORCE GE19TRIFUGE. Ijg
A l'aide de ces valeurs , celle de Zt devient
__^ D sin cp cos 7
ma
jx^dxflxdz — I z^dtfLrdy]
car, dans ce nouveau systèrae de coordonnées, on a évidemment
fxzdm = o.
Dans l'équation précédente, D est la masse du corps sous Tunité de volume. Posant , pour abréger,
V = Jx^ dx dr dz^ p' = Jz^ dzdxdy^
la valeur de z^ devient
D sin (p cos ff , , .
ma
Nommant / la hauteur du cylindre, puis intégrant par rapport
à z depuis z=l /jusqu'à ^ =^ -f- - /, il vient
ç =r Ijx^dxdy,
Intégrant par rapport ky depuis y = — y^ jusqu'à y = -j-^j , on trouve
f = iljx'^dxy'x.
Quant à yi on a, en nommant p le rayon du cylindre,
Substituant cette valeur dans celle de t^, il vient
(» = 2 Ifx^iix ^ p* — .r» .
Pour inl^rer cette expression, je remarque que l'on a
j:Vx v//>*--.r'=j --x(p^ — j?=)rf.^/?'— X»;
intégrant par parties^ et prenant l'intégrale depuis x = — p jusqu'à x = -hp^on trouve
x^dx ^p^-^x^=zjp^ j dxsjp" ^ x\
iSo VOVZliSUE LEÇON.
En6n , le même mode d'intégration donne donc
x'*dx V /'*— ' *' = Q ^/^«
Substituant cette valeur dans m, on a finalement
Pareillement, si Ton intègre m' par rapport à z , on trouve
ç^ =s — /» I dxdy.
L^Dt^ration relative à y donne également
De la sorte la valeur de z^ devient
(3) ,. = sinycosy(^5---j,
en observant que m = 7r/?*/D.
Si p est très-petit , comme cela a lieu dans le pendule conique , on peut négliger le deuxième terme^ et prendre simplement
(4) z.=~sinçcos9--
Posant NB = p, et observant que OP = - / sîn y , on a pour la valeur de a,
fl = p 4- - / sm y ;
par suite , la valeur de z^ devient
(5) «1 = — smycosy — . , , . — •
DU RÉGULATEUR A FORCE CENTRIFUGE. l8t
De là on conclut
OG = — sin « — , t ■ . — »
(7) MG = - / f I - g sin y — — Ç-,— V
(8) NG = -/(i4-^siny ^ /^ . Y
Si p est nul ou très-petit, et si <f n'est pas très-petit, les for- ^ mules ci-dessiis donnent exactement , ou à très-peu près,
(9) fM&=|^
d'où il résulte que lorsqiiun cylindre d'un très-petit diamètre tourne autour d'un axe, si cfe cylindre se termine sur l'axe ou très -près de Faxe^ sans faire av^ec lui un très-petit angle j la résultante des actions centrifuges rencontrera celui du cylindre au tiers de sa longueur y à partir de F extrémité la plus éloignée de Faxe de rotation^ ou aux deux tiers à partir de Vautre extrémité , Vaxe du cylindre et Vaxe de rotation étant situés dans le. même plan.
Quant à Tintensite de cette résultante, elle se calculera comme si la masse du cylindre était concentrée en un point quelconque de oz'. ( f^oir page 73.)
Maintenant si Ton décompose la force R en deu!c forces parallèles X , Y, agissant aux points M et N , on trouve
(loj X = ~R(i-h^siiiy , /. . ■ )/
(11) Yz=:-iR(l-isiny ^/^ . V
