RÉGULATEUR

48. Reprenons la question que nous avons en vue. Généralement le pendule conique forme un hexagone tel que celui de la {Jig. 89), dans lequel les quantités égales MS, M5; UC, uC

Fig. 90.

sont très-petites. Pour abréger, j'inscris le poids de diaque pièc« à l'extrémité de la verticale du centre de gravité: ainsi par exemple T est le poids de la tige SE, L le poids de AU, enfin M est le poids de la douille. Soient aussi F^ F'^ les résultantes des actions centrifuges sur les tiges cylindriques telles que AU, SE (je suppose que la tige qui porte la boule pénètre dans celle-ci jusqu'en E). Je puis décomposer F' en deux forces parallèles X, Y agissant aux points A et U, et Ton aura , en vertu de la formule ( 10) du numéro précédent,

y / SIB f /

J'opère une décomposition analogue relativement à la tige au. Je puis également remplacer de chaque côté la force

DU RÉGDLATEim A FOllCE CENTHIFUGE.

L par deux forces égales à -L et agissant en A, U et en a, u.

Ces dernières se composent à leur tour en une force unique L agissant suivant Taxe de la douille. Enfin j^écris, pour abréger,

MS=:p, SE =5^, SA=/, SD,= f.

Cela posé, j'imprime au système un mouvement infiniment petit qui lui fasse prendre la position accentuée tracée sur la figure. J'aurai d'abord, en nommant F la force centrifuge qui agit sur Vune des boules, et o) la vitesse angulaire de rotation ,

F = - w* [p -h (> -f- r) sin (p J.

Dans cette formule /* est La distance OE , laquelle sera positive ou négative, selon qu*elle sera comptée sur le prolongement de SE ou en sens contraire. Relativement aux autres forces centrifuges y on aura de même

Cela posé, les travaux élémentaires des forces qui agissent sur le système auront les valeurs ci-après :

S !»F = 2 F (> 4- r) cos <p^^» ,

CÔ 2 X -.= F' / cos op ( I -f- - sin cp -

6 2F"=r2F"/COS^^(p,

S 2^B = — 2 B (>. + /•) sin fSfy, G2T= — TXsin(pd>,

(52 [-LJ=— L/sin ifStf.

On a aussi

ITikT,) *''

s (M-hL)=r — 7,[M -t- L)/sin^y.

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Pomp = „, eeiie foiœule donne

Mai„,e,ia,i. .i Ja„. I, f„„nnle (j) „, m ésalemen. , = „ elle devient " *

2B(l + rj 3Bn+rp

• I'™po.„„.-„„„. aeluellenieii, da,„ir égard i la ,,ua,„i,é p .|ne n„„, ve„„„. de .lésli^ee. A cet elle, „„„. ,■„„„, 'j-.b„„, observer que pour p = u, ""oru

''? 3 sin i'

(.«1.1 |ius,:, SI l'on ildvdoppc lequaiion (7) suivanl I^s ijui

DU RÉGULATEUR A FORCE CENTRIFUGE. l8^

sauces croissantes de p, on aura pour la correction d/ide/i, et en ne conservant que les termes du premier ordre par rapport k Pj

. »»(>H-r)sin<p \ B/

l 2B()H-r)'sin^V 3, ^ + '^ /

dans laquelle on a fait, pour abréger,

K = H±Ii*L±Mi.

Comme le second- terme de cette équation est très-petit, à cause du diviseur B , on peut prendre simplement

^ ^^ w»(X-{-r)smY\ B^

Si Ton veut avoir égard au deuxième terme de la formule (12), il suffira d'y remplacer h par la valeur de cette quantité qui résulte de la première approximation. Nous remarquerons que Téquation (y) exprime la valeur exacte de h (du moins à la quantité près de Tordre de p* que nous avons négligée dans la formule (3) du n° 47) quand la douille est à l'état de repos, car alors elle n'agit plus sur les «leviers de manœuvre qu'elle doit entraîner. Si Téquation dont il s'agit devait exprimer les conditions du mouvement de la douille, il faudrait encore avoii^ égard aux frottements sur les articulations des tiges et des leviers. Mais nous remarquerons que si l'on nomme pi, le rayon d'un tourillon , f le coefficient du frottement qui est ici trèspetit, parce que le système est toujours tenu bien huilé, N la pression normale qui s'exerce au point de rotatioa entre le tourillon et l'œil, le glissement aura pour valeur pià^^ en nommant d^ l'angle qui répond à l'arc de glissement •, par suite le travail absorbé sera

Mais â^ et ô'(f sont des quantités de môme ordre*, posant

l86 DOUZIEME LEÇOH.

j- = 6, fi étant un nombre fini, la valeur de G devient

S = — iN/p, so>,

qui est une quantité négligeable par rapport aux autres travaux élémentaires. Donc Véquation (*]) peut être regardée comme étant r équation du mouvement vertical du système, quelle que soit d'ailleurs la nature de ce mouvement» La démonstration précédente suppose que fi est un petit nombre ; et en effet, on'trouve par les règles qui servent à déterminer le glissement infiniment petit entre deux courbes que e = a en A et a, tandis que e = I pour les autres articulations (*).

Si la résistance dM que les leviers de manœuvre opposent au mouvement n'était pas négligeable, il suffirait, pour y avoir égard, de remplacer dans les équations précédentes le poids M de la douille par M -h JM, la résistance dM étant positive quand elle s'ajoute au poids de la douille, négative dans le cas contraire.

Si Ion pose maintenant

(iS) ' LfMhTV

{*) Cherchons, par exemple, le glissement qui a lieu au point A. On verra

(n<>71) que le déplacement élémentaire dé la tige AU équivaut à une rotation

infiniment petite autour du pointa; donc si le point U parooart un espace égal

à ce, on aura, en nommant m la rotation infiniment petite autour du centre

instantané h,

w.AU^CC.

Mais »

CC'="iNN'= 2/d> sinç) et A U = 2 / sîn çp ;

remplaçant, dans l'égalité précédente, CC et AU par leurs valeurs, il vient

Imprimons jisaintenant aux tiges SA, AU un mouvement commun de rota«> tion Jç? autour de Taxe S, et en sens contraire du mouvement de SA; de la sorte la tige SA sera réduite au repos, mais alors la tige AU sera animée de deux rotations égales à âp et dirigées dans le même sens. Ces deux rotations se composeront eniine seule autour de Taxe A, laquelle sera égale à leur somme. Par conséquent , on aura

^■p =. iOf* C. Q. F. D.