DU RÉGULATEUR A FORGB CENTRIFUGE
réquation (lo) devient, en ayant égard à (i3) ,
Pour une autre position de la douille, on aurait pareillement
De la comparaison de ces deux équations, on tire
Ce qui démontre que les hauteurs d'un pendule conique sont^ à très-peu près, en raison int^erse des carrés des vitesses angulaires correspondantes , De sorte que si Ton pouvait mesurer la hauteur h qui répond à une vitesse donnée, on aurait pour la hauteur h\ relative à une autre vitesse aussi donnée.
Pour un second pendule qui tournerait avec la vitesse du premier, on aurait pareillement
H«MB«-hK;)=:g^(B«-i-Ko).
Comparant avec Téquation
/ia>'(B-+.K') = g'(B4-K), on trouve
à^ B H- K Bg -4- Ko H"~B-f.K''B^-hK'/
laquelle pourrait servir à déterminer h au moyen de H, et réciproquement.
CALCUL DU POIDS DES BOULES SOUS LA CONDITION QU'ELLES AIENT UNE COURSE VERTICALE DONNÉE.
-49. Soit (w la vitesse angulaire de régime, o)' et w" la plus grande et la plus petite vitesse du régulateur; A, //, A'' étant les hauteurs correspondantes, c la course verticale des boules, ou aura, pour déterminer les quatre inconnues //, /«', h'\ B, à
■ OO DOUZIEME LEÇOH.
résoudre les quaUe équations
lesquelles donnent
„ Ks{^"-^-")~K'c^-'^"'
Soit B
ainienatit
* un nombre eulier donné, on pourra poser
delào
ntire
Substituant ces valeurs dan» les i;ijuaiions tl-dess
DtJ RÉGULATEUR A FORCE CENTRIFUGE. 1 89
Maintenant désignons par N le nombre de tours que te régulateur fait en une minute , on aura la relation
ià , 60 = 2 TT N ,
d'où Ton tire
irN (12)
3o Substituant cette valeur dans l'équation (i), on trouve
(.-W ^ 36ooV n
36oo
Comme on pourrait obtenir pour B des valeurs trop grandes ou trop petites, on posera B>Bo, B<;Bi, et Ton aura pour B<B,
pour B > Bo
Désignons encore par h!^^h\ des valeurs telles, qu'on ait
remplaçant U et h" par leurs valeurs, puis résolvant par rapport à Cy on obtient les limites de la course verticale des boules, savoir
(n + xY
Toutefois/*', et/»' ne sont pas complètement arbitraires, attendu qu'on doit avoir
190 DOUZIÈME LEÇOW.
ce qui donne
Telle est la dépendance qu'il faut établir entre les hauteurs limites qu'on assigne au pendule conique.
Soit encore A, la hauteur MC de la douille , on aura^
Mais on a déjà
hx=z% Icosff,
h =fz {>-hr)coSf ;
do
ne
On aura de même
Retranchant membre à membre, posant li"^ — h\ = y, et observant que h!' — A' = c , il vient
Substituant cette valeur dans les inégalités (16) et (17), puis résolvant par rapport à y, on trouve pour les limites dé la course de la douille,
(/i-hO'^'f-r
On voit par la formule (19) que h^ sera plus grand que A, toutes les fois qu'on aura
DU RÉGULATBUK A FOBCE CENTRIFUGE. ipi
JNous ferons remarquer que le choix des quantités A'^, h\ n'a rien d'absolu ; seulement on évitera par leur emploi d'obtenir pour h! elh" des valeurs inacceptables.
Les limites de N sVxprîment aussi en fonction de A',, h\. On trouve sans peine, à l'aide de la première des équations (i),
B -hK
bTX'
Maintenant pour savoir quels sont les nombres qu'on peut choisir parmi ceux qui sont compris entre ces limites, on remarquera que la course des boules devant se faire entre h^ et /i* , on devra avoir, en désignant par No et Ni les deux limites ci-dessus ,
d'où Ton tire
N> No,
Telles sont les limites entre lesquelles il faudra choisir la valeur deN.
Toulefois, pour que ces limites ne soient pas contradictoires, il faudra qu'on ait
« -f- I ■ n — I d'où
Dans la pratique, les tiges qui supportent les boules du régulateur les traversent dans toute leur étendue , il en résulte qu'il faut prendre pour r, qui entre dans K et K', le rayon de la boule. Mais ce rayon dépend lui-même du poids, car en
193 DOUZIÈME LEÇOM.
nommant D ce poids sous TuTiité de ïolumi;, 011 a
Je mels le signe — à cause qu'ici la quantUé r est négative, étant comptée en sens inverse du prolongement de la lige. En éliminant B entre les relations (t'i) et (aS), on aurait une équation du cinquième degré qui servirait à déterminer r; r étant connu, l'une ou l'autre des équations citées ferait connaître B. Mais ici l'on peut éviter l'emploi de l'équation du cinquième degré; pour cela it suffira de prendre jwurX non pas SE' mais SO, et faisant par conséquent r=o dans les relations qui contiennentcettc quantité: toutcfoisildoitétreentendu que le point D sera alors le centre de gravité de SO el non pas de SE' ; de même D, sera le point d'application de la force centrifuge sur SO , et non pas sur SE'. B étant connu , la relation entre le volume et le poids déterminera le rayon de la boule. Maison remarquera que la formule (i3) donne le poids qui répond à l'équilibre, comme si la lige s'étendait jusqu'en O seulement ; la valeur trouvée pour l( est donc le poids de la boule supposée vide dans l'intervalle occupé par la partie OG de la tige. En second lieu, comme celle-ci s'étend jusqu'en E', c'est comme si l'on substituait, d&O jusqu'en Et, la matière delà tige à celle de la boule; le poids de la boule telle qu'on l'emploiera, sera donc en erreurde la différence entre le poids de la matière de la boule occupée par OE' et le poids de OE', ce qui est une approximation certainement suffisante: d'ailleurs on pourrait substituer ce poids dans les équations (10) et ([3) du n" 48, et l'on obtiendrait la valeur exacte de h. On déterminerait de la même manière k' et h" dont la différence ferait connaître la course verticale des boules, et par suite celle de ladouille.
CALCUL DE LA LIHITE INFÉRIEURE DtJ POIDS DES BOULES.
La limite inférieure B ^ B„ que nous avons emplojée précédemment n'est pas arbitraire. Il faut la déterminer -wns la
PU BÉGULÀTEUn A FORCE CENTRIFUGE. igZ
condition que s'il survient une variation do) de vitesse, les boules soient capables de vaincre la résistance qu'opposent les leviers de manœuvre. Reprenons l'équation
Si la vitesse de rotation devient cd + ^co , et que la résistance à vaincre soit dM, K deviendra K H- dK, et Ton aura pour Téquation de l'équilibre du système,
B -+-K' Divisant cette équation par la précédente, on trouve
B-f-K' développant et résolvant par rapport à B + Ky il vient
dK étant donnée supposons qu'on veuille donner aux houles un poids tel, que la douille puisse moui^oir les leviers de ma*
n œuvre aidant que la vitesse ait varié de la quantité d&)= —
Pour cela, nous examinerons les deux cas où itù sera positif ou négatif.
Premier cas. Comme
B + Kstt: — ', T-ri
si l'on remplace — par -9 le deuxième membre deviendra
trop petit, et l'on aura, pour déterminer la limite inférieure de B,
Deuxième cas. dco étant négatif, il en sera de même de dK;
194 Douxiàm iMÇOH.
alors si 1 on ne lient compte que des yaleurs absolues de ces quantités, la valeur de B + K sera
Mais le dénominateur de cette équation est une fonction croissante de Jw, donc si Ton remplace encore — par -> on aura
an -->i
En comparant les deux valeurs précédentes de la limite inférieure de B + K, on voit qu'il suffira de prendre, dans tous les cas , I
par conséquent,
un — 1
Il est facile de s'assurer à priori que toute valeur de B satisfaisant i cette limite, produira l'effet désiré. Pour le faire voir, posons 9 pour abréger,
fonct. ( -^ ) = B H- K -. / ^ ^ V '
— (an )
Si dans cette équation on fait jci) = o , on a
fonct. ( — I <^o.
Ensuite, si Ton pose
u n il viendra
fonct. ( — I > o.
Par conséquent, entre
0«>=:U et ow=r-
ft
DU RÉGULATEUR A FORGE CBITTRIFT'GE. igS
il existe une valeur de' don pour laquelle
fonct
de sorte que pour celte valeur de la variation de la vitesse , le régulateur pourra soulever la résistance k vaincre.
On voit par la formule ( 28 ) que B sera d^ autant plus grand, que le nombre w, que j'appellerai coefficient de sensibilité, sera lui-même plus grand.
Quant à la valeur de dK , elle se déduit sans peine de la formule (i3) du n** 48 , laquelle donne, en faisant comme précédemment r=o,
Si l'on suppose par exemple 5M = a^^'^jS , et qu'on adopte les données de l'exemple ci-après, on trouve d'abord
La formule (28) donne ensuite, en observant que K = 1 1 ,6629,
FOSHULBS A EMPLOYER DAHS LA PRATIQUE POUR LE CALCUL DUN RÉGULATEUR, ALORS QUE LES TIGES SONT CYLINDRIQUES.
50. Nommons D le poids de la matière des tiges du régula* teur sous Tunité de volume , p le rayon des liges /, p' celui des tiges X, on aura
et la valeur de K deviendra , en y faisant r= o ,
„ 2M/-4-ffD(3/>'/»-»-A>"V) (') ^ = n
Si// = p,
196 DOUZIEME LEÇOir.
On aura de même
et dans le cas de pf=^p^
Les autres formules à employer seront, en les rangeant dans l'ordre suivant lequel on pourra les calculer,
'^ ff \/»'— 1/ V «^ B-, + K' ^ « \«»— 1/ V <^ B, + K''
Kwg- — K'c— y— (
36SS i -lï- j ' - "*
DU b£gulaT£ua a force gehtrifuge. 197
(II) \h\^lih\
aBX»sin(p \f ^^ * 3 X ^
/j3j ] ir*N* >sin(p \ B/
^ jr£»DAp^ / a XM^\
aBVsinçV ^ SX/
Négligeant le deuxième terme,
On voit par là que la même correction conviendra, à très* peu près, aux deux hauteurs extrêmes h! y hl^. La première des équations (11) donne e^suite
Appliquons ces formules à un exemple numérique. Supposons >
si les tiges sont en cuivre, on aura
Si nous prenons
la formule (5) donnera <
IpS DOUZIÈME LEÇON.
nous prendrons
On tire ensuite des formules (6)
I v<o">o999> nous adopterons
Après cela', on a, par la formule (7),
Prenant pour les limites de B
B«=ri5S B, = 60*^,
les formules (8) donnent
t N> 43,2572, i N<48,8i; nous adopterons
Alors, par la formule (9), on trouve
On déduit ensuite des relations (10] et (11)
En calculant les deux termes de la formule (i3), on obtient
I •' terme = — o™ , 024^
2* terme = — o" ,0024
d'où ^/i = — o»" ,0266.
Enfin la formule (i5) donne, pour la correction de /ii,
DU EÉGULÂTEOR ▲ FOECE CENTRIFUGE. I99
BÉSOLTATS DÉniIITirS*
7 = o'^togGy c = ©'■,072, N = 47, B = 20^,87, h =o",5i22, A, = o",6829, A' = o»,478, h\ = o",6373, A"=ro-,55, A", =0», 7 333.
Nous ferons remarquer que si, dans la formule (lo) du n^iS, on suppose nul le poids des tiges ^ on aura simplement
Si dans cette formule on fait N = 47» î^ vient
À = o»,4o49, tandis que la valeur exacte de A est
A=rO"',5l22:
Terreur commise est donc environ de o"*,! i .
Nous observerons encore que si j dans la valeur (9) de B, on fait K'= o, ce qui revient à faire abstraction de la force centrifuge sur les tiges, on ti^uve
Le terme dû à Faction de la force centrifuge sur tes tiges diminue donc la valeur de B de 14*^54^*5. On voit par là que le poids des tiges, ainsi que Faction que la force centrifuge exerce sur elles, ne sont pas généralement des quantités négligeables.
CALCUL DE LA HAITTEUR DUH RÉGULATEUR RÉPONDABrr A UN POIDS DE BOULES CAPABLE DE SOULEVER UHE RÉSISTANCE DONNÉE.
Proposons-nous, pour deuxiènie exemple, de calculer la hauteur h qui répond à un poids de boules capable de soule^
aoO DOUZIEME LEÇON.
uer une résistance donnée* Prenons
>=:o",75, / = o«,5 /? = o«,oo5,
Les formules (a) et (4) donnent d'abord
K = o" , 603982 , K' = o , 228678 : on déduit ensuite de l'équation (a8) du numéro précédent
Bo= 19*^,564; et comme on doit avoir B>Bo5 nous prendrons
Les inégalités (a3) du numéro cité donnent à leur tour
N< 49*69 î d^où l'on tire, à Taidedes relations (24) du même numéro,
.N<4i,99- Adoptant
on obtient, par la première des équations (i) du n^ 49,
Cette valeur, substituée dans la première des équations (ii) du présent numéro, donne
Enfin, à Taide des relations (i4) et (i5), on trouve
S/èZ=z — o"*,oo24, ^/*, = — o",oo32.
Et Ton voit que ces corrections sont ici sans importance.
