RÉGULATEUR A TIGES OPPOSÉE
51. Dans certains pendules coniques^ les tiges qui portent les boules sont prolongées de l'autre côté du centre fixe M'
DU RÉGULATEUA A FORCB CERTHIFCGE. SOI
(fig. 91) de rotation, soit eu ligne droite» soii sous un angle 6
que nous supposerons peu diiTérent de 180 degrés. Nous prendrons pour d l'angle OM^a tourné vers la droite; de sorte qu^on aura, en désignant par e un petit angle positif ou négatif,
aura, en désignant par
On peut remarquer, avant d'aller plus loin, que les angles 9, 9', 9" sont liés par les relations
sin y' = — sin (<p 4- ^) , . cos<p'==^cos((p-f.e),
\ sin<p''=:— rj-t-8in((p-hO)1-,
on a aussi, eu vertu de l'équation (i),
I sin(y 4-Ô) = — 8În{y-he), 1 cos{«p + 0) = -!-cos(f -i- c).
!102 DOIii^lkME LEÇOH>
Adoptant les ruènies notations que précédcniDient , od obtient, pour les actions centrifuges résultantes qui agissent sur les boules et sur les liges.
De la valeur de F' ou déduit aussi saus peiue
(5) x = iï;L,[?-.i„W + .)].
Apiès cela on trouve âuccessivenienl que les liavau' laîrcs des diverses forces qui sollicitent le système
GaF = 2 - &i' (À -[-/■)- sin ç coiçJo,
^'^=- ^-^L/cos(if + e)[p-/sin(7 + e)jd>,
□ ^ C'OSifO^ ,
i-2F"'=:- -o>';'sm(<p + e)<:os(y+8)5î,
EaB = — 2B{i-i- risin^Jy,
Put = — T/sinï^iv,
6 2L = — L/si(i{i.-|-9)5if,
Ea (-L ) = — L/hiii(^ +S)aT.
— (M-i-L)p(i +lanB'?)5îi.
DU RÉGULATEUR ▲ FORGE CENTRIFUGE. ao3
En effet ,
G(M4-L) = (M-hL)MC; mais
MM'=i/(cos<p'H-cost|>"):
d'ailleurs la dernière des équations (a) donne, aux quantités près de l'ordre de p*,
(7) cosf" = — cos(^ 4- ô) -H y lang(ç -h ô).
Substituant dans l'expression de MM' les valeurs de cos f ', CCS y", il vient
(8) MM' =— 2/cos(y-f-ô)-+-p tang (f -+- ô).
fie là on tire, en négligeant les quantités du deuxième oixire par rapport à p et à s,
^.MM'=: 2/sin(^ + 9)^ç-+-p(i -h tang'ç) Jy,
et comme c^.MM' est la variation algébrique de MM', MG=: — 2/sin(f + 0)^^ — p(i H- tang'f ) ^y.
Cette valeur, substituée dans celle de 6 (M + L ), donne la dernière des équations (6) . Maintenant si Ton égale a zéro la somme algébrique des travaux des forces, on est conduit à Téquation
TX» LV'sin'fyH-Q) i L/pcos(<p-hQ)
- *'^3B(\-^ry "^3B(X-+.r)sin<p 3 B (X -f- r )sin f
__g ^T>siny-f-2/(M-{-aL)sin(y-HQ) + (M+L)p(i-f-taDg^y) »» »« 2B(X 4-r) siDf
Remarquons, avant d'aller plus loin, que le quatrième terme de l'équation (9) devient, en négligeant les quantités du second ordre par rapport à p et à £,
1 L/pA
3 B(; + r)»sin^' par suite, l'équation citée se transforme dans la suivante :
TX« ^ L/>sin2(®-f-ô) I Liph h-i-zr^TTTi .. H
, ^3B(X-hr)» - 3B(X-t-r)8in© 3B(> -h rj'siny
i __£ gTXsîn<p4-2/(M-+-2L)sin(<p4-e)"h(M + L)p(i'4-tang^y)
\ "^ w^ 2B(> + /')sinf '
Si dans celle equ.
1 on fail0— 180", p = o, OQoblieiil '
laquelle serait rigoureusement exacte, si les liges sypérieures étaieiit le prolongemeul de celles qui portent les boules, et si le point de rotation sur la douille pouvait être placé sur l'axe du régulateur. Si entre les tiges qui portent les boules, et les autres tiges du système , ou établit la relation (12) Ti = 2(M + 2L)/,
l'équaiion (i 1) se simplifiera et deviendra
Si l'on pose, pour abréger,
réquaLion cilét; prendra la forme
(iG) /<u'(BH-K') = ç(B + K).
Mai. ici l'on a, comme au n-îiO,
L = ff/)'/D, T = «/^'UD,
par suite, les valeurs ei-dessus deKet de K' deviennent
cnj
faisant f= u.
,,^, y m/'v-ip'n-^Mi
r, si ,/ = ,,,
DU RÉGULATEUR A FORCE CEUTRIFUGE. ao5
Si 1 on fait servir l'équation (lo) à la détermination de la correction dh de A, on trouvera , en faisant r = o,
^^ = "(B4-K0XsinyL3^'^^^^^"^5-^ ^J
On calculera cette formule en y substituant les valeurs de h et de ^ qui résultent de la première approx.imation , et en ayant égard à la valeur ci-dessus de L. ^
L'équation (i6) ayant la même forme que les équations (i) du n^ 49 conduira aux mêmes conséquences ; seulement les valeurs de K et de K' ne seront pas les mêmes dans les deux cas. ' Si l'on nomme /ii la hauteur de la douille, on aura d'abord, en vertu des équations (8) et (3),
Ai=2/cos(o + •) -f-ptang(^ -+-•)..
Développant et négligeant les termes du deuxième ordre par rapport à |0 et s, il vient
At=r a/cosf + p tangf — 2/ssin^.
Mais
h cosy=-;
donc
(22) ^, = 2- A -I- p tang(j> — 2/ssin^.
On aura de même pour les valeurs extrêmes de la hauteur de la douille, et en négligeant les variations de l'angle ^,
(23) A', = 2 - A' -f-ptangç — 2/8sinf,
{24 ) A", = 2 - A" 4- p lang f — '2/6 sin y.
On tire des équations (23) et (24) ^ (25) ^^^x""-
2o6 DOUZIEME LEÇON.
Après cela, on lioiivcin tomme au «"j'iO,
Pour calniler un pendule conique à tiges prolongées , on commencera par calculer K et K'. Ayant adopté une certaine valeur pour h"^, la relation (27) dirigera dans le choix àeh\. "Ensuite lcsét{uations{a8) feront connaître les limites de y. Ayant adopté pour y une valeur comprise entre ces limites , on s'en servira pour calculer c au moyen de la formule (aS). c étant connu, les inégalités (29) feront connaître les limites de N. Ayant choisi la valeur de IV, la relation (3o) déterminera B. Au moyen des équations (a6) on obtiendra /i, h', h". On corrigera ces valeurs à l'aide de la formule (21), et en adoptant poui h' et h" les mêmes corrections que pour h, Entin les formules (22), (23), (24) feront connaître les hauteurs moyenne et extrêmes de la douille.
DU RÉGULÀTEVn À FORCE CEUTBIFUOf:. «207
