DES MÀCHIHES QUAND LEUR VITESSE EST YÀRIAVLE

Mais

SxzszûTf êj'-=zbry ^z=sct;

donc Téquation ci-dessus prend la forme

(5) ' 2«i[{A — ii)aH-{B — *)Ô4-(C-^c)c]s=o. .Développant, on trouve

(6) 2m(«'-*- A»H-c«) = Z«i(Aa-f-B6-+-Cc).

Mais on a identi(^ement

2«[(A-.«)«H-(B— *)?-+-(€—<?)'] = 2/w(A^ -h B» 4- Ç*) -f- 2iw («» 4- 6» 4- c») — 2 2 /w ( A « -H- B ^ -f- Ce).

Substituant dans cette équation la valeur ci^dessousde

2/w(A«-f-B6H-Cc), il vient

lm{à*-^ 6»-f-c') — 2m(A*4-B'4-C*)

W- 2/w|;(A — a)« -f- (B — £>)»-h (C — c)*] = o. Mais

donc «nfin

2/w(K' — KJ)-H 2/w«' = o. c. Q. F. i>.

La démonstration précédente est peut-être un peu compliquée. £n voici une autre plus simple , déduite de celle que M. Bertrand a donnée d'un théorème de M, Sturm^ plus général que celui de Carnot [Comptes rendus de V Académie des Sciences du i5 décembre i856).

Le triangle intermédiaire de la fig. 97 donne

Kî=:K»-h«»— aK«oos{K,«).

Multipliant les deux membres de cette égalité par m, il vient

iiiKJ=:/iiK'-+- w«* — 2niâKcos(K., a).

Pour une seconde molécule m' on aurait pareillement

264 DIX- SEPTIEME LEÇOH.

et ainsi de $uite. Ajoutant toutes ces égalités membre à membre, on obtient

2/w(K; — K») = 2i»ft» — 22wwKcos(K, a).

Soit F une force contraire à u et capable de produire cette vitesse dan^ le temps 0 de la durée du choc , on aura

¥i:sm-r9 d'où mu = Fê.

Par suite, l'égalité ci-dessus devient

2/w (K; — K») = 2/wtf' — 2'2FK0ços (K,7«).

Mais Kd cos (K, u) est la projection faite sur F du chemin Kd décrit après le choc dans le temps 0 par le. molécule m; par conséquent FKdcos(K, u) est le travail de* la force F dans le temps 6 ; donc SFKd cos (K , a) représente la somme des ^avaux élémentaires des forces F pour les divers éléments du temps 6 ; et comme chaque somme en particulier est nulle , il

en résulte

2FK0cos(K, w) = o,

alors Fégalité ci -dessus devient

Zm(Kl — KM = 2 //la*. c. Q. r. d.