CHOC DE DEUX SPHÈRES NON ÉLASTIQUES
Soient deux sphères en mouvement sur une ligne droite, et dont tous les points décrivent des droites parallèles à la ligne des centres: m et m! étant leurs masses , (^ la vitesse commune après le choc, ^o 6t \^^ les vitesses respectives avant le choc, on aura , en vertu du théorème de Camot ,
réduisant et résolvant par rapport à (^, on obtient
Si la masse nil est au repos ^ la vitesse commune après le choc sera
(la) v=- j(>,.
^/Ê.—.^^ Il 1 1 « I «■
DÉFINITIONS DES BIANIVELLES.
67. Une manivelle consiste généralement en un bras de levier tel que OA (fig, 98), monté sur un aAreO, auquel il^ Fig. 98. transmet un mouvement de rotation. L'ex-
trémité Â de la manivelle s'articule avec une bielle AB, laquelle fait tourner la manivelle pendant qu'elle-même exécute un mouvement oscillant de va-et-vient, qu'elle reçoit du moteur, comme par exemple du piston d'une machine à vapeur. Si la manivelle n'a qu^un bras, elle prend le nom de manivelle simple^ elle sappelle manivelle doubla si elle adeux bras sur chacun desquels agit la force motrice, et ainsi de suite. La longueur de la bielle étant généralement cinq à six fois plus grande que celle de la manivelle, il en résulte que, dans toutes ses positions, la bielle est très-peu inclinée sur là tige du piston, de sorte que nous pourrons la regarder comme étant toujours à très-peu près parallèle à elle-même, et par conséquent dirigée suivant la verticale, si le piston ♦est luimême vertical . En second lieu , quoique la force motrice qui agit suivant la bielle soit généralenjent variable, nous la regar^ derons coixime constante , ou plutôt nous la remplacerons par une force F qui, pour chaque révolution ou demi-révolution- de la manivelle, fasse le même travail que la force motrice vraie.
IIANlVEAiLBS SIMPLES k SIMPLE ET A DOUBLE EFFET.
Lorsquç la force motrice n'agit sur la manivelle que pendant une demi-révolution de celle-ci, la manivelle est dite à simple
abS DIX-HUITIEME LEÇOM.
effet. Elle est à double effet lorsqu'elle agit dans un s
daiit une demi-ré voluliou, et eu sens contraire pcndaul l'autre
dcmi-revolution.
MANUELLES SIMPLES A SIMPLE EFFET- CALCCL DE hk BfiSlRTARCB'
, Soient O {fig- 99) l'arbre que fait tourner la manivelle, et de la force moirice F cpii agit à l'aide de Ir 91). bielle sur le boulon m. Sup-
posons une roue ABA'B' montée sur l'arbre de la manivelle, tournant dans le sens delà flècbe, et transmeUani sou mouvement à une autre roue (y, qui fait tourner un * - auire arbre sur letjuel sont
montées les poulies de transmission. Celte roue C oppose au mouvement de la roue motrice une résistance que j'appellerai Q, et eomme le mouvement de la roue motrice doit élre périodiquement unlformç, il faudra que, pour chaque révolution , le travail de Q Soit égal au travail de F, Nommant '" le rayon du cercle que décrit le bouton de la manivelle, /'' ]« rayon de la roue ABA' B', on aura-, à cause que la manivelle est â simple effet ,
TBlVAlt ÉLËÙBIkTAinE DI
Supposons le bouton en m ; partageons la circonférencedia'i'
:n n parties égales infiniment petites, et soit mn ^ s l'une de
■l's [larlies; le travail de F, pendant que le boulon de lamani-
elic décrii l'arc mn, a pour valcui'
^F = V.i'ip.
UfTT
Mais les triangles recianglcs mnp, OmP sont semblables, ayant leurs côtés perpïndi cul aires chacun à chacun; donc
mp OP mp X
1 posant , pour abréger, OP = j:. De là on tire
la valeur de EF devient ensuite
On peut remarquer qu'en n et a', EF = 0, puisqu'en ces deux points X ■^o. Au point b, BF prendra sa valeur maxima , sa-
Recherchons maintenant sur (juelle circonférence il faudrait faire agir tangenliellemenl la force F, pourvue le irafait produit pendant une révolution, fût égal au travail effectif de la force motrice.
y étant le rayon inconnu, on aura
d'où l'on tire
Ce résultat fait voir que le tras moyen de la maniivUe à simple effet est égal à la moitié de la distance au point O
du centre de gravité de la den bouton de la manivelle.
irconférence décrite par le
TRAVAIL ËLIÏHEIITAIRB HOIEN.
n étant le nombre d'arcs s contenus dans la circonférence tiba'b', le travail moven de la force moirice aura pour va-
2yn DIX-HUITIÈME LEÇON.
leur
Mais
/î.f =r 2 Trr, d où « ss
donc
On peut juger maintenant combien est irrégulière Faction d'une manivelle à simple effet. Aux points a et a' le travail élémentaire est nul; au point b il est à son maximum , et cette valeur maxima s'écarte notablement du travail moyen. Pour mieux comparer les divers travaux , nous formerons le tableau
ci-après :
Travail minimum = o,
Fs Travail moyen ... = — 9
Travail maximum = Fj.
En rapportant ces divers travaux au travail moyen pris pour unité, on trouve
Travail minimum = o,
Travail moyen . . . = i ,
Travail maximum =r 3,f4i6.
POINTS DE VrTESSE MllIIllA ET MAXIMA.
Si l'on prend OP (fig- 99) égale au bras moyen de ta manivelle y et quau point P on élèue la perpendiculaire mm\ la plus petite vitesse du bouton de la maniyelle aura li^u au point m 5 la plus grande au point w'.
Soient /? la distance à Taxe de rotation de la manivelle d'une molécule quelconque m qui tourne autour de cet âxe; m! y p' des quantités analogues relatives à une autre molécule /w' tournant autour de Taxe C , et ainsi de suite : p» et u^^ \^' et u\ étant les vitesses absolues de ces molécules quand la manivelle est aux deux extrémités de Tare inGniment petit 5, on aura, en
vertu du principe des forces vives,
Fsx
Qy= -2m (.'-..;) H-
Mais — = — ^: donc
Y SX
sr 1 I
Le signe Z s'étend à toutes les molécules qui tournent aut< de l'axe de la manivelle, le signe Z' à toutes celles qui lourn autour de l'axe (V, et ainsi de suite pour les autres axes de rc tions. Soient maintenant co et(t)o les vitesses angulaires autc de l'axe O, co' et w', les quantités analogues relatives à l'axe i et ainsi de suite 5 on aura
çz=zpviy (^o=s/?««» p'=//w', v\z= p'(a\.. ..
Au moyen de ces valeurs, l'équation ci-dessus devient
Posons enfin 0'B' = ri5 alors, si l'on observe que la vites absolue du point B' est la même dans la roue ABA' 6' que da la roue O', on pourra poser
r (ùQ = r, (ù
et l'équation des forces vives prendra la forme
Désignons par dtùQ la dîflerence des vitesses w et Wo', si Fo néglige la puissance du second ordre par rapport à âfù^^ o trouve
et par suite l'équation précédente devient
Y SX sr' I r'* \ .-, Q — = wp^wo ( 2/w/?»-+- -j- 2' ;;/'/>'* -H . . . 1 ;
a^a iax«HiiiTiEiiE leçon s
d'où Von tire , eu supprimant les indices o qui sont maintenant
inutiles,
¥sx ^sr'
Remarquons maintenant qu'au point a , le travail élémentaire de la force motrice F est nul 5 par conséquent en ce point dw <^o. A mesure que le bouton de la manivelle s^avance vers 6,
le terme '■ augmente, mais ôoa reste négatif tant que
donc la vitesse continue à décroître, et cette vitesse atteindra sa valeur minima au moment où Ton aura
F SX Qjr' r r
Remplaçant Q par sa valeur (1), on trouve
Prenons OP = -» et tirons la perpendiculaire mm'. Quand le
bouton de la manivelle sera en m, celle-ci aura atteint sa inoinc|re vitesse. A partir de ce moment, le travail moteur surpassant le travail résistant, dtà deviendra positif et la vitesse croîtra*^ de plus cet accroissement de vitesse continuera jusqu'à ce qu'on ait de nouveau
F,v.r Osr' ., , r
= •^= 9 d où .r = —
r r TT
de là il suit que la manivelle aura atteint sa plus grande vitesse au point m'. A partir de cç moment dtù redeviendra négatif, et la vitesse décroîtra jusqu'au point m où elle atteindra de nouveau se valeur minima, et ainsi de suite.
HÉOBIE nES M)
remplaçant Q par sa valeur (i), on trouve
(4) GQ=a^.
TT BBA8 MOYEN DE LA MARITELLE.
Recherchons maintenant sur quelle circonférence il faudrait faire agir tangentiellement laforceY^ pour que le travail produit pendant une révolution entière fût égal au travail effectif de la force motrice, y étant le rayon inconnu , on aura
d'où l'on tire
(5) y^lr.
Ce qui fait voir que le bras moyen d'une manivelle simple à double effet est égal à la distance au point O, du centre de gravité de la demi-circonférence décrite par le bouton de la manivelle,
TRAVAIL ÉtÉMENTAlEE MOYEN.
n étant le nombre d'arcs s contenus dans la circonférence aba'b\ le travail moyen de la force motrice aura pour valeur
n Mais
ns := znr, d ou n = ;
donc
L'actiou d'une manivelle à double eiïet est moins irrégulière que celle de la manivelle à simple effet; car on a
Travail minimum =o,
aF j Travail moyen. , . = >
Travail maximum = Fs ;
THÉOniE DES MANIVELLES ET DBS VOLANTS. 2^5
et, en prenant le travail moyen pour unité,
Travail miniinum = o , Travail moyen... = i,
Travail maximuiii =3 -w = i.Sti.
Ce tableau fait voir que la différence entre le travail maximum et le travail moyen est moitié moins grande que pOiir la manivelle k simple effet.
POINTS DES VrTESSES MAXIM A ET MINIMAL
Si l'on prend OP (fig. 100) égale au bras moyen de ta mani* î^elle, et que Von construise le rectangle mnm!n\ les sommets m et n' seront les points de vitesse minima, les sommets m\ n les points de vitesse maxima. En effet, si Ton adopte la même notation qu'au numéro précédent, on trouve d'abord
— -Qt
Or au point a le travail élémentaire de F est nul ; donc
F.vx A mesure que le bouton m s'élève vers b , le terme — ^ augmente , mais d(ù reste négatif tant que
Y SX Qsi^
par conséquent, la vitesse continue à décroître, et elle atteindra sa valeur minima au m^ent où Ton aura
Fsa: qs/
Remplaçant Q par sa valeur (i), on trouve
jc = - r.
^y6 DIX-HUITIEME LEÇON.
Par consé(]uent, la manivelle prendra sa moindre vitesse au point m, Â partir de ce moment â(ù deviendra positif, et la vitesse croîtra jusqu^à ce qu^on ait de nouveau
Vsx Qsr' -, ^ 2
— — • = 9 « ou X = — r,
Ainsi le point m' sera un point de vitesse maxima. Après, la vitesse décroîtra jusqu'en w', qui sera un nouveau point de vitesse minima, et ainsi de suite.
