VITESSES DE LA MANIVELLE
Supposons que la manivelle tourne dans le sens indiqué par la flèche [fig 102) , et considérons le mouvement du bras N qui marche en arrière. Nommant y l'angle ûON lequel sera compté de 0° à 180^, nous aurons pour le travail de F pendant que le bouton N parcourt l'arc aN,
SF = F.^/? = Fr (i— cosy).
Mais quand le premier bouton N était en ^ï , le deuxième K' était en i, donc le travail de F relatif au deuxième bouton aura pour valeur •
SF = F.O^ = Frsiflf.
Ajoutant ces égalités membre à membre, il vient
6 2F = Fr(i-|- siny — C08<p).
Quant au travail résistant, il a pour expression
THÉOniE DES MANIVELLES ET DES VOLANTS. ^85
Désignons maintenant par tùo la vitesse angulaire autour de Taxe O, et quand le bouton N est au point a'^ <ù étant la vitesse angulaire quand le bras de la manivelle est en un point quelconque N, ou aura , en vertu du principe des forces vives^
Fr(n-siny — cos<p) — -<pFr
= («» — »î ).f 2 mp^ ■+• ^ l!m' p'^-\- . . . j •
Résolvant cette équation par rapport à o) , on trouve
%Yr\ i+sino — cos© — -ç 1
Supposons maintenant que la manivelle occupe la position MOM' ; le travaux de la force motrice seront
SF = Fr(i— cos<p), 5F = Fr(2 — sin«p),
suivant que Ton considère le bouton M ou le bouton M'. Ajoutant ces relations membre à membre, on trouve
Ç 2F =Fr(3 — sinç — cosip).
Mais le travail résistant a pour valeur
5Q = ^(pFr;
donc
Yr [3— sinç-costp— | ?) = ^ («'— «î) (2/"/?'+ ^ ^ /«>"+... j
Résolvant cette équation par rapport à a> , on trouve
2Fr(3 — siny — cosy «pi
L'équation (19) convient au cas où la corde de la manivelle
coupe le diamètre hh' ; laformuhr (ao) au cas où elle couple diamètre aa' .
Si l'on veut avoii* la vitesse du bouton quand il décrit ta demi - circonférence a'b'a, il suffira de prendre pour Mo la vitesse au point a', en comptant l'angle ç ei-deasus à partir de On', et toujours dans le sens du mouvemeut.
Pour avoir la vitesse au point i, ou posera
et cliacuiic des formules ci-dessus donnera
Si l'on fait ç ^= n dans la formule (20), on trouve également
Au point h' on aurait de nièmn
Ainsi les quatre extrémités des deux diamètres qui sont parallèles et perpendiculaires à la bielle, sont les points de vitesse moyenne.
Recherchons maintenant si la vitesse de la manifelle est la même aux points de vitesse niaxima et minima.
Pour le point M [fîg- io3), nous avons
substituant celle valeur dans la formule {19), elle donne
Ilttp'-+- -rp Z' m' p'' -i- , . .
Au point M', nous aurons
et comme ici la corde do la manivelle coupc le diamètl'e aa',
il faudra substituer cette valeur de (f dans Téquation (20). Ce qui donne encore le même résultat, et ainsi de suite pour les autres points de vitesse minima. Ainsi la vitesse de la mani-' i*elle est la même en chacun des points de vitesse minima.
Considérons encore les points de vitesse maxima en commençant par le point m^. Ici nous avons
substituant cette valeur dans la formule (19) , on trouve
aFrfsiniVâ — ^1 j
1 mp^-h — 2' m'/)'» H- . . .
Relativement au point /n, on aura
substituant cette valeur dans l'équation (t2o), on retrouve la valeur ci-dessus, et ainsi de suite. Donc aussi la vitesse de la maniv^elle est la même en chacun des points de vitesse maxima. On voit par la discussion précédente que, pendant cbaque révolution, la maniv^elle passe quatre fois par chacune des vitesses moyenne^ minima et maxima.
Si Ton retranche Téquation (21) de Féquation (aa), et qu'ensuite on fasse disparaître le dénominateur, on trouve
(23) («'«—«*) [2m/>»-4- ^ 2' /;i>"-f-... ) =4 Fr f siniVa — ^ 1 U
ce qui est la valeur de l'accroissement de la force vive du systme matériel, pendant que celui-ci passe de sa plus petite à sa plus grande vitesse.
Les quantités telles que ^mp^ qui entrent dans les formules des manivelles sont appelées moments dHnertic. De sorte que le moment d*inertie d'un corps est la somme des masses de ses molécules y multipliées rcspectis^ement par les carrés de
288 DlX-nulTlÈME I.EÇOM.
leurs dislances à un axe donné, La détermination des moments d'inertie c.-,l généralement un problème de calcul intégral.
POmS DES VOLANTS.
70. Lfn -volant est une roue massive d'un grand diamètre, montée le plus souvent sur l'arbre de la manivelle, et destinée à régulariser l 'action de celle-ci. Nous supposons que le régulateur ordinaire de la force motrice assure à la machine un mouvement périodiquement uniforme, et il s'agît de renfermer entre des limites données les variations extrêmes de la vitesse de la manivelle. Pour cela , reprenons l'équation des forces vives
T„ — T, = ism {«•--:).
Nous décomposerons toujours le second membre en autant de sommes qu'il y a d'axes de rotations, chaque somme devant s'étendre aux molécules de toutes les pièces qui tournent autour de cet axe, et nous aurons
T„— T, ^ - ïm(<'"
"Dh
p étant encore la distance à l'axe O [fig- io4) d'une molécule
quelconque ni, /j' et / quantités analogues relatives à l'axe O', el ainsi de suite; nous aurons, en nommant w, w', etc., les vitesses angulaires autour de chaque axe,
Substituant ces valeurs da devient
s l'équation des forces
THÉOKIE DES MANIVELLES ET DES VOLAKTS. 289
Posons
on aura, à cause qu'au point 6' la vitesse absolue est la même pour les deux roues ,
par suite\ Téquation des forces vives devient
(i) T« — Tr=-(«' — wî)2/»/?'+- -, («» — w;)2'/w>" + ....
Nous prendrons pour ct), w^ les vitesses maxima et minimade la manivelle. De l'équation ci-dessus on tire
d'où l'on conclut que la différence des ^vitesses maxima et minima sera d'autant plus petite, que ces vitesses seront plus grandes et que la machine sera plus lourde.
Maintenant nous examinerons les deux cast)ù le volant sera monté sur l'axe O de la manivelle ou sur un axe latéral C.
pREBiiER CAS. Si l'on résout l'équation (i) par rapport à 2/71/7', on trouve
Soient îî la vitesse de régime, et n un coefficient de régularité; on posera
d'où
et la formule précédente deviendra
Soit K le nombre de tours que la manivelle fait en une minute,
n.6o = 27rN, d'o iuiu.', la formulr {a} devient 45o-i.(T.-T,)
lmp' =
Or on verra plus loin (n" 72, formule 23) que le moment d'inertie d'un anneau cylindrique, dont le rayon moyen esiR, et dont la jaiilc a pour largeur e (Jans le sens du rayon) , est donné par la formule
dans laquelle P est le poids de la jante ; donc
en nommant A* la somme des moments d'inertie du moyeu du volant ei de ses l»ras, ainsi que des autres pièces qui tournent autour de l'axe de la manivelle. Substituant cette valeur dans la formule (3) , elle devient
d'où l'on lire
Si l'on néglige le second terme de cetie formule, on aura pour P une valeur plus grande qne celle qnî est nécessaire pour régulariser l'action delà manivelle; par conséquent le but qu'on se propose sera atteint à fortiori. On peut donc prendre pour la formule générale des volants, quand ils sont l'arbre de la manivelle,
45o/ig(T.-T,)
THÉOEIE DES MÂMIYELLES ET DES VOLANTS. api
Deuxième cas. Si le volant est monté sur Taxe O^ le tenne le plus considérable du deuxième membre de l'équation (i) est le second terme. En résolvant cette équation par rapport à l^'m'p'*j et procédant comme dans le premier cas, on trouve
(6) p^45o/ig'(T.-T.)r:
r»H»^R>-f-ic»V'
Les formules (5) et (6) montrent que le poids du volant est en raison inverse du carré du nombre de tours que fait la manivelle en un temps donné j et aussi à très'peu près en rai^ son inverse du carré de son diamètre. Quand le volant est monté sur un axe latéral à celui de la manivelle , ce poids est encore proportionnel au carré du rapport des rayons des roues de transmission , le rarfon de la première roue étant pris pour terme de comparaison.
POIDS DBS VOLAHTS ABLATIFS AUX TROIS ESPECES DE MANIVELLES.
71 . Nous avons d'abord dans le cas de la manivelle à simple effet {Jig^99)
T«=F.m/ii', Tr = ^¥r^;
et ensuite
OP = - = (o,3i83)^
TT
MP= y//"— ^ = (o,9479)r, ^, = 7i»a6'i8",
et
2 \{i = 2,49366; au moyen de ces valeurs T„ et T, deviennent
T.= Fr(i,8958),
d'où
T. — Tr=Fr(i,io2i).
202 nV-HUITlÈME LEÇON.
Subsliluant Jfiiis hi formule (5) du numéro précéileiil, onj trouve
Sdil C la force de la machine en chevaux , on aura F.2r.N=Cx45o'>;
Substituant cette valeur dans P, on obtient, après tous calculs faits, et pour un volant monté sur l'arbre de la manivelle,
Dans le cas d'un volant monté sur nn axe latéral , la formule 16) du n" 69 donne évidemment
Si Ton suppose, par exemple,
R = 3'", e=o"',î6, N=i6, N = 3o, C^4o, ^= ^ on trouve, parla formule (i),
P = 35831'''', et par la formule ( 2 } ,
Clierchons, de même, le poids du volant quand il doit régulariser une manivelle simple el à double effet. Nous avons dans ce cas (fig. loo)
Mais dans la manivelle à double effet,
OP = -r=r (o,6366) r, /wP = (o,77ïi)r, /w/w'=(i,54î
t|; = 5o«*27'28", ail; = i,76i3i;
par suite , les valeurs de T„ et de T,. deviennent
T„=:Fr(ï,5422), Tr=Fr(i,i2i3), d'où
T«.— T,=:Fr(o,4209).
Substituant cette valeur dans la formule (5 ) du numéro pi d^t, on trouve, après tous calculs faits, et pour un v< monté sur F arbre de la manivelle ,
Dans le cas d'un volant monté sur un axe latéral , la mule (6) du n® 69 donne évidemment
(4) P = 2ii770— — ^.
Si Ton suppose , comme plus haut ,
R = 3", tf = o™,26, N = i6, /i = 3o, C=:4o, - =
on trouve, par la formule (3) ,
P = 6842^», et par la formule (4)9
Cherchons de même le poids du volant quand il doit rc lariser une manivelle double et à double effet. En vertu de la formule ( 28 ) du n^ 68 ,
T„- T,= 2 Fr Um ;V^-.| I y,
au moyen de cette valeur, la formule (5) du numéro précéd donne
(^sinis/2-|/j
9005^^ smi V2 — ^/ jF/ ^
Mais daus ce cas
EffectuanL les calculs, on oblient enfin, pour le « volant monté sur l'arbce de la manivelle,
Dans le cas d'un volant monté s mule (6) du n" 69 donne évidemmi
; latéral , la for-
Si l'on prend encore R = S" e = o'^,i6, N =
la formule (5) donne
On trouve ensuite, par la formule (6)
de aorte que le volant ne pourrait comporter le diamètre cidessus.
On voit par ces exemples combien les résultats sont dillërents, suivant le getire de manivelle, et aussi suivant que le
volant est monté sur l'arbre dé cellc-
u sur un arbre latéral.
DÉTERUIIÏATIONI DE L'ÉPAlSSfiUR DE LA JANTB DU VOLANT.
La largeur e de la Jante étant connue, ainsi que le rayon moyen et le poids, on peut f'acili'aient déterminer son épaisseur t (suivant l'axe). Pour cela, soient r et r' les rayons delà
THËOSIE DES HtAtTELLES BT DES VOLANTS. igS
surface intérieure et extérieure de la jante, D le poids d'un mètre cube de sa matière, et l'on aura P = 7rD(/'— r»)!.
Mais B étant le rayon moyen , «
d'où l'on tire
: nKe.
Par suite, la valeur de P devient
P = 2vDRet.i laquelle, éunt réfltJue par rapport à s, donne-
- 2 JT DR c
Si , par exemple , le volant est en fonte ,
Alorssi l'on prend comme précédemment, R = 3'",ff = o",26, . et qu'on adopte'pour P U valeur P = 684»*" relative à la manivelle simple et à double effet, ou trouve
BBIUHQUE GÂBliRALB.
Dans la itiéori«qui précède, nous avons supposé la résistance coDstante. Mais il u'*n est pas toujours ainsi,, comme par exemple dans les laminoirs. Dans ce cas, il faudra recourir aux formules générâtes (5) ou (6) du q° 09, après avoir, dans chaque cas particulier, déterminé ou estimé T,. — T, , qui répood aux variations extrêmes de la vitesse.
DIX-NEUVIÈME LEÇON
DES MOMENTS DINEKTIE.
72. LiS inomoi.ts d'meilie, comme Ies centres de graviié, sont particulièrement du ressort du calcul intégral. Cependant quelques-uns peuvent s'obtenir par des procédés élémentaires, ainsi qu'on le verra ci-après.
DÉFIMITION DES MOMENTS DINERTIE.
Concevons un système matériel quelconque, et une droite ou aje ajant une position et une direction arbitraires ; que de chaque molécule du système ou abaisse une perpendiculaire sur cette droite, qu'on multiplie la masse de chaque moléc.ile par
-ré lie sa distance à l'axe, qu'i
Q fasse la somme de
tous ces produits, cette somme sera le moment d'inenie du système relativement h taxe donne.
RELATION EIÏTIIB LE3 MOMENTS D INERTIE RELATIFS A DEUX AXES P\Il.U.LÈI-E3-
Quand on connaît le moment d'inertie d'un corps {généralement dun système matériel) relativement à un axe passant par le centre de gravité, on obtient le moment d'inertie du même corps, par rapport à nn antre axe parallèle au premier, en ajoutant au moment d'inertie donné, le produit de la masse dn co^-ps par le carré de la dislance des deux axes. Soient j^T-' et zz' (/g-ioS) doux axes parallèles, doDl l'uu j^' passe par le centre de gravité du corps; concevons un plan mené suivant les deux axes, puis d'une molécule ([uelcomiue m abaissons sur ce plat.
h porpendiculai.cmPi enfin, du poiutP uu-uons sur les deux
DES MOMENTS D IMEILTIE. 297
axes unQ perpendrculaîre commune. . En vertu du théorème des trois perpendiculaires, les lignes MA, MA' seront perpendiculaires sur les axes. Enfin posons, pour abrége^^
Cela posé, le triangle m A A! donne
/w A' = //f A -f- AA' — 2 m A . AA' . cos A.
Mais
♦ AP = /w A . cos A ;
donc
(1) 7' = /?2-h^' — 2Ax.
On peuPremarcfUer que si le point P tombait à gauche de j^', l'angle A serait obtus et la quantité x deviendrait négative^ par conséquent l'égalité (i) a une généralité complète^ si Ton a égard au signe de x, -Multipliant les deux membres de cçtte égalité par m, il vient
pour une autre molécule, on aurait pareillement
m' q"^ = m'p^^ + w' ^' — 2 hm' x\
et ainsi de suite. Ajoutant toutes ces égalités membre à membre, il vient
— 2/: (/wx -f- /w'^ + . . .).
Mais mx -1- m'a:'-|-. - . est la somme des moments des points matériels, du corps par rapport à un plan mené suivant yy\ perpendiculaire au plan des deux axes 5 par conséquent cette somme est nulle, puisque le plan yy' passe par le centre de gravi té 5 donc on a simplement
mq'-^m'q"''^, . .z=z mp" -^ m' //^ -{- , . .4-MA',
en posant, pour abréger,
K-HEUVII
ME LEÇOH.
Ml ^"'
.. ot mp' -4-"iV'
.. soutles
mo-
^■1 meDts
ncJlie pa
r ra
pport au
X axes zz',
rr'
nommant
Ael
Hl A, ces de
ux moments
on obli
cnt cniin
{2) A = Aj + M*'. c. Q. F. o.
Réciproquement, celle égalité fera connaître le momifut d'inertie par rapport à un axe passant pat' le centre de gravité, quaml on connaîtra le moment d'inertie par rapport à un axe qui lui sera parallèle; pour cela, il suiUra de retrancherait' du moment d'inertie donné.
MOMENT D'INERTIE DU» FILET MATÉRIEL RECTILIfiNE.
Soit AB (Jtg. 106) un Glcl malériel homogène doni; on veut trouver le moment d'inertie par rapport à un ase mené par le Fig. loG. point A perpendiculaire à AB; pour cela,
^ je partage AB eu parties infiniment petites p<f, qr, rs,..., lesquelles auront pour masses t^-pç, p-î'", (*.''«,■ • ■ i (^ étaOl la masse sous Tuiiilé de longueur. Multipliant ces masses élémeulaires :
La première par Ap , Lu deuxième p il r A9 ,
A^fi..pi].Ap + ji.qr.Ac/ -H fi.rjr.Ar -(-.-.. Maintenant j'élève aupointB la perpendiculaire BC = AB; il
pm^z: Ap, qa = Aq, rf ^^Ar,, . . , et le moment d'inertie deviendra
A=: fi.pq.inp + jx.qr.uq -i- ft.r.(.(r -f- . . . .
J'écris p en fadeur commun, puis je multiplie et je divise par Tt (rapporl de la cirijonicrence au diamètre), ce qui
DES MOMENTS d' INERTIE.
donne
A = — \pq . TT . mp -+- qr, n.uq + rj . tr . ^r -f- • • • / •
TT
Mais pq.Tt.mp, qr.iï.uq, etc., sont les volumes des cj dres engendrés par les rectangles infiniment petits m/ uxgr^ tyrs,...^ tournant autour de Taxe AB -, donc leur soi sera égale au volume du cône engendré par le triangle rec gle ABC. Posant AB c=: BC = /-, on aura donc
•rr O
Réduisant , et nommant M la masse de AB, il vient enfin (3) A = iM/^
Si l'on veut avoir le moment d'inertie relativement centre de gravité du filet , il suffira de diminuer le résultat
dessus de la quantité M ( - j = ^ IVIZ% et W
on aura
(4) •A.rs— M/».
Dans la suite M désignera toujours la masse totale, et A^ I moment d'inertie par rapport à un axe mené par le coiitre I gravité; A sera le moment d'inertie par rapport à un axe rallèle au premier.
Si l'on remplace M par / dans les formules (3) et (4) 9 I moment d'inertie correspondant deviendra le moment d'in 1 lie de la ligne. On peut aussi supposer que M représcînte I surface d'un parallélogramme infiniment petit.
