SPIRALE D'ARCHIMÈDE
78. La spirale d'^rchimède est une courbe engendrée par le mouvement d'un point qui, parlant du centre d'une circonférence, parcourt un rayon d'un mouvement uniforme , tandis que celui-ci, également animé d'un mouvement uniforme, accomplit autour du centre une révolution entière.
Supposons, parcsemple, (ju'qu poîul matériel, partant du
centre O (fig. 124), décrive O A pendant que ce rayon OA
Fig, ,,^, accomplit autour du
, ^ point O une révolu-
,-'^\ 1 V ■- lion entière; le lieu
des diverses posi-
; du
■ide s
bile sera ' d'Archiniède. Pour tracer cette courbe, il suffira de partager la circonférence OA elle rayou OA en uu même nombiede parties égales, par exernple en 16. Foirant unedi vision du rayon te, on aura autant de
pou
oudra de la spirale. La distance d'un point qui
nque de la courbe au centre O est le rayon vecteur de ce point. On voit par ce tracé que cljaque rayon vecteur surpasse le prccédent d'une quantité constante. C'est cette propriété qu'on utilise en mécanique pour produire un mouvement unîl'ornic de va-et-vient, ainsi que nous le verrons plus loin.
Soient r le rayon vecteur d'un point quelconque de la courbe, et a l'angle que ce rayon vecteur fait avec OA, œ sera compté dans le sens de la Uèche de o" à aTt, ou plutôt de 0° à un nombre quelconque a»iir de circonférences, t' et m étant les vitesses constantes du point mobile et du rayon tournant.
MOUVEMENT D VNE FIGURE PLASE DANS SON PLAN
on aura , après un temps quelconque t ,
d'où
r:^= Pty <f = (Ot.
Posant OA = R , la loi de la génération de la courbe dû
donc aussi
d'où •
ta
La relation ci-dessus est réqttatioit de la courbe; le c
cient — en est le paramètre. Si du point O on décrit un»
conférence, en prenant pour rayon Oa = — ? les arcs ai
ad,.,.^ seront respectivement égaux aux rayons vecteurs 0 (3 , Oy , . . . 5 d'où il résulte que la différence de deux n vecteurs quelconques est égale à l'arc du cercle Oa i comprennent.
Soit m un point quelconque de la courbe^ lirons le r vecteur O/n, puis du point O menons On perpendiculaire rayon vecteur; la droite mn sera la normale demandée. ] le démontrer, supposons que mn soit normale à la courb je dis qu'oja aura On =0a\ Soit S un point infiniment v( du point m ; en décrivant du point O comme centre Tar cercle wK, le triangle mSK sera semblable au triangle O. d'abord ces deux triangles sont rectangles l'un en O , l'a enK; en second lieu, les angles wmS, OmK, élant é^ comme droits, si l'on retranche Tangle commun 0/nS, il i
nmO = SmR,
ISaa VINGTIEME i,EçoN.
Mais la comparaison des côtés homologues donnèi On 0m
duii aulrecôté, les secteurs 0/nK, OuC étant semblables, (loiineul
il'nprès ce qui a êlé dit plus haut ; partant
En menaut par le point m une perpendiculaire à la normale mn, on aura la tangente à la courbe.
