EN GÉNÉRAL
112. Soit a l'angle que la direction de la vinsse .Y de l'eau au moment où elle frappe Taube fait avec la direction de la vitesse i^ de la roue {Jig* '9^ )• Comme le liquide en sortant de la roue possède à très-peu près la vitesse de celle-ci , on aura
ifsr p;
48a VINCT-AEUVIEHB l.Ei;ON.
Cil mÈme temps la valeur de u sera
(1) H'=V'+.^' — aV^cosa.
Substituant cette valeur dans la formule (i) du nunjiTO p cèdent, on trouve
(2) T,=:P(H -/-) + ?. ■(Vcos^-.).
VITESSE BO MATLIMUU D EFFET. Si l'on résout cette équalioii pai' rapport k i', il vient
= iVco8=±y''^V'cos'»-h*(a-A)-|T,.
Mais on doit avoir
afin que V soit une quantité réelle, donc la valeur maxini T, sera
En mènie temps la valeur de vse réduit à
(3) <. = lVcos«.
Si dans la valeur maxiraa de T^ on remplace V par sa vale y^ 2 gh, on obtient simplement
(4) T.= PH-^P^(i + sin'a).
Nous avons supposé, dans ce qui prérède, que V était conn Si c'est i» qu'on se donne, on atira d'abord, en substituant valeur (i) dcu* dans la formule (1) du numéro ptécédeui,
T,= PJI~i -iV'+ar'— aVfcosa).
2 fi-
Posant ensuite
HOUES HYBIlAlJUQUEe QOliT I. AXE EST H011IZ<
et résolvant par rapport à V^ on trouve
V 2s I» cosa ± \^i»' cos'a -t- w — 2 »>':
TO~là on conclut que la moindre valeur de m sera
■ /w = 2 p' — p' cos* a = <»' (i 4- sin' a) ;
par suite , la valeur de V devient
V = *PCOsa.
Substituafil dans Texpression précédente du travail pour la valeur niaxima de T».,
Tr= PH — - - (^«(l^ SlVit) 2 g
On .voit par les formules (4) et (6) que !â valeuf d'autant plus crande que l'angle « sera plus petit iîon la plus favorable à donner à la lame d'eau répo au cas de a: = o. Il faudra donc faire arriver le liq Une direction normale à la palette; alors la rîtesse^ vaîl maximum, devîendroiH
Ti.=:PH P/i>
si la viiesse de l'eau est donnée; et
si c'est la vitesse v de la roue qui soit dotinéc.
Enfin la deuxième des foirmules (7) montre que T». tant plus grand que h sera moindre. Donc , pour la m teur H de chutes les roues en dessus sont plus fauor les autres.
486 VIMCT-NEtVlÈME LEÇOH.
point miliQu (l'un aiiget; d'ailleurs la face qui reçoit le cl <lu liquide cLant plane , la formule générale ( 2 ] corivieut au n cette espèce de roues.
Des expériences de M. Morin , failes en 1828, sur i grande roue à augets en fer, Je to mètres environ de diamèl établie à Guebviller(Haut-Rliin), et en i834 et i835 sur. roues de 3'", 423, 2'", 28, s"", 74 àe diamètre, ont montré < le terme P (H — h) devait être ftflijcté du coefficient o"",; de sorte que la formule qui douue T, devient, en suppos a ^ o,
Dans les roues à augcls qui prennent l'eau à la hauteur l'axe, le coefficient pratique se réduit à o^,6q.
La vitesse à la circouférence doit être environ de i mètre seconde. Pour une rouede 10 mètres de diamètre, elle pour être réduite à o™,6o.
NOTIONS Sl'R LES MOUVEMENTS RELATIFS.
113. On sait que la mouvement ivlatif d'un corps es. mouvement de ce corps tel qu'on l'ohserve étant placé sm i/ciix/'ème cor.ps regardé comme fixe.
La vitesse relative dn premier mobile est la vitesse i qu'on l'ohserve du second.
Si le premier mobile est en repos, l'observa leur lui al bueTin'moQ\erni?nt égal et contraire à ce]ui dont lui-rraêmc animé, ......
Il est évident que le moiweinent,. relatif de deux, cor/is sera pas changé si on- leur imprime un mouvement comm
On .prend ordioai'rement ce mouvement comnïun égal contraire à i:eLui de l'an des deUiC Ûiobiles , lequel se iro ainsi réduit au repos. J/autre mobile se meut ^lors autoui rcluî-ct , en v^tu de deux mouvements;. l'uu de cc& mon ihcDts est le sien' propre, l'autre est égal et contraire à-ccluî (nobile rçndu fixe. '. .
ROUES hydhàuliqucs dont l'àxe est HOniZO
DÉTBRMIlVATIOflI DE ÏA VITESSE ÏIELATIVE DE DEU
Soient A et A' (fig* 200) deux mobiles animés, de la vitesse AB'= V, le deuxième de la vitesse A'
Fig. 200. je veux trouver 1
./F lative du mobile
* « ►v ,'- /. port à A', jiii
-v 7 ^^I ^^' ^ deux mobiles un 1
A^^ /-^^ commun égal et
/ celui du mobile
/ sorte le point /
duiuau repos, tandis que le point A sera animé c simultanées AB = V, AC = -^ V. Composant cej nières vitesses par la règle du parallélogramme des ' vitesse résultante AD =W sera la vitesse relative A, c'est-à-dire la vitesse du point A telle que Tobst point A' un spectateur qui participerait au mouvei dernier point. Donc pour obtenir la vitesse de dei il faut composer la vitesse absolue de Fun d'eux vitesse égale et contredire à la vitesse absolue de l\
Réciproquement , si Pou compose la vitesse abso point A , ai^ec une vitesse AF égale et contraire à relative AD^ on aura la vitesse absolue AE du po même si l'on compose la vitesse relative AD du poii une vitesse AE égale en grandeur et en direction à absolue du point A' y on aura la vitesse absolue Al A, La figure ci^essus met en évidence ces deux derr positions.
Ainsi, par exemple, la vitesse relative de deux chemina de fer est égale à la somme ou à la difTérenc vitesses absolues, suivapt qu'ils marchent eii sens i dans le même sens.
TQÉORI^ DIS hX RODE PONGELBT; FORMULES PRA1
114. Soient V la vitesse de Teau au mpment où elle Taubc, et i^ la vitesse de l'aube j lai vite^c relative d<
488 rimct'jitvy îkué hwçim.' ^.
rap(M>rt â Taube regardée criiutnc fixe sera
En vertu cle cette vitesse relative, le liquick; s'élèvera ciaas Faillie jus<iu'Â |ine haatear verticale h telle, qii*on aura
A <:c luornent la vitesse relative de Teau sera nulle; puis elle redescendra en vertu de son propre poids , et reprendra successivement les vitesses que la pesanteur lui a fait perdre. Enfin le liquide sortira de l'aube avec la même vitesse relative qu en y entrant ; mais cette vitesse sera dirigée en sens contraire f elle aura donc pour valeur
Com|iosant cette vitesse relative avec la vitesse absolue i^ de Taube, on aura la vitesse absolue W de Teau sortant de Taube, savoir
(a) W=i'— (V— v) = af— V.
Si Ton substitue cette valeur de W dans l'équation (i) du n** m , on trouve
Mais dans la roue Poncelet l'eau arrive sans choc, puisque le liquide entre dans les aubes taogentiellemeiit, du moins à ti espeu près; donc
et par suite
(3) T,=:PH--?(2i'^V^
Développant le carré, et remplaçant ensuite \ ' par sa valeur^ Y* = 2gH, on trouve
Si l'on compare cette valeur avec celle de T^ donnée par la
liÔUES HYDRAIILIQVBS DO^NT L AXE EST BORIZQ
forinuJe (9) du n^ ItS, ou voit que, toates chose roue Poncelet utilise deux fois plus de trà%»ad qi palettes planes çt en dessous.
La fonnule (3) fait Voir que si Ton règle la ih manière à faire prendre à la circonférepee extéi roue une vitesse
(5) . = iv,
Tr acquerra sa valeur maxima , savoir
(6) • Tr=PH.
D'où il suit que la roue Poncelet utilise toute la fi que de la chute y lorsquon fait prendre à la cir extérieure du récepteur une vitesse égale à la n vitesse de Veau sortant de la vanne.
Ce résultat remarquable tient à ce que pour 1^ =
sort de la roue sans vitesse, ainsi qu'on le voit mule (2).
Si dans Tëquation (1) on remplace \f par sa val vient
Mais donc
Par conséquent la hauteur de^ au,heSj mesurée sur l du centre de la roue^ doit 0tre qd moins égale au i hauteur de la chute.
Il résulte de Texpéricncç que la yitçss^e du maxin n'est pas précisément
mais moyennement
^(ja TREKTIÈMB LEÇON-
lame lit^uide font avec \t: plan de la palette ; eniiu j'appt^Ue la vitesse de Teau au moment où elle frappe la palette, et ^' vitesse que prend la roue lorsque le mouvemenl uitiformc ( établi. Si l'on décompose les vitesses V et c suivant les lipi ON, OP. on sera conduit aux résultais suivants :
Vitesse de l'eau suivant OP = V ces P-
Vitessc (le l'eau suivant ON. .' = V sin fl.
Vitesse de la roue Biiivaoi OP ='— v cas a.
Vitesse de la rotie suivant ON = c sin «.
Si, par les règles donûées au commeiicemeai- du ii" 1 13, eherche les comixjsantes de la vitesse relative de l'eau, estîm< suivant OP, ON, on trouve :
Vitesse relative de l'eau suivant OP = Vcosp + "cosa.
Vitesse relative de l'eau suivant ON = Vsia ^ — i< sin a.
Mais il est évident que la vitesse relative de l'eau norm: à la palette est détruite par la résistance do celle-ci, on ai doue (.) . «=.Vsin?-.sin«.
Remarquons mainteuaiil que pour avoir la vitesse alisolue l'eau il faut composer sa vitesse relative V, [f!g. aoa) avec Ht. ïoa. vitesse absolue de la roue prise suivani
, direction, ce qui donne
/rj^ — '/~^ (2) w= = (i'-i- v; — 3v,i-cosa,
/.^., .^. mais- '■ ■■ --■■•—
(.■3) . V , = + V ras p + .■ cos ^. '
Substituant dans (a) cl fédulsairt', ùu'tl'OUVfe' -' '. "
(4) W' = V'f09'p"4-^'am'.«. " " "
D'un autre côté on tire de la formule (1)
W = V sin= fl + r' sin' i. — 2 V <■ sin p sin a ; par suite
u= +.(v'==V' — 2KsinK{Vsin p — psina).
ROUES HTDRAULIQDCS DÔMT l'aXE EST VE1
Substîluant celte valeur dans la valear ci-dess trouve
, T,= PH — --[V»— 2c^sina(VsinS — Psi
Maïs on a ^ à très-peu près, V* = 2 g' H, car ïa l cale de la palette est très-petite par rapport à F
quent
(6) T, = - p sin a ( V sin p — «^ sin-a).
D^ns cette formule, il faut prendre pour (^ centre de la palette, car on peut régarder l'actioi liquide comme étant concentrée en ce point. Aig parlant , c^est au centre de la palette que doit se raisonnement qui précède.
