DE LA RÉSISTAI G& DES MATÉRIAU

pour une Jtroisième , .

et ainsi de suite 5 les quÉtntilé^ i , ^ , 2'', . . . , étai négatives, suivant qu^elIes sont comptée^ a u-des • sous de* Thorizontale menée par le point a dan section ce. Ajoutant ces égalités membre à me lantla somme a zéro, on trouve

-(flrz4- a'z'-h«"z"4-...) =0.

Soit n l'aire de la section, et z^ la distance de gravité à Taxe de rotation a^ on aura, par les 1 moments ,

az, = ûz rh a!z' -H fl"z" -4-. . . ,

par suite l'égalité ci-dessus devient (2) -az, = o,

d'où

Donc lorsquun corps prismatique fixement en< , bout est soumis à Faction (Tune ou de plusieu restent sensiblement peipendiçulaires à sa surj ; des fibres invariables passer a par le centre de gn ' cune des sections normales du solide.

Si la composante de P perpendiculaire au plan ce n'était pas négligeable, on aurait, en nomm^ 1 que la force fait avec le plan ,

- az, = p sin «, r

d'où l'on tire

(3) z;=:~sinç.

Cette équation fera connaître la position de \

534 TRENTE-QUATRIÈME LEÇOK.

fibres invariables par rapport au centre de gravité de la section ii.

Recherchons maintenant la condition qui doit être remplie pour que la force P fasse équilibre ans i^ctions moléculaires normales à ce. Comme la force P et les forces ^, q^ etc. , tendent à produire une rotation autour de l'horizontale qui se projette en»a , il faut, pour l'équilibre , que la somme des moments de ces forces projetées sur un plan perpendiculaire kXaxe a de rotation soit nulle ; par conséquent, si Ton nomme p le bras de levier, ai de la. force P, on aura

Vp ==q'z ■+- ^V -h ^'V-h . . . ,

Maisf en vertu de ce qui précède,

fjz = a?,

Ajoutant toutes ces égalités membre à membre , il vient

Or a-z* 4- a'-s" -+- a"^"' -h. . . n'est autre chose que le moment d'inertie de l'aire de la section ce pris par rapport à l'horizontale menée par son centre de gravité; donc si l'on désigne par i ce moment d'inertie, on aura

cequi est l'éqûàtiôn d'équilibre qu'il fallait obtenir, ■Nous n'avons pas- tenu compte, dans ce qui précède, des

r<iactions j^gissânt dans/le plan.de la section, attendu que les

moments de toutes ces forces sont nuls.

L' équation (4) peut encore s'exprimer d'une autre manière

DE LÀ RÉBISTAlfCC DBS MATÉKIAUX.

qui en rendra les applicapons pratiques plus cela, remarquons que rëquation (i) donne

1 T mn

Substituant cette valeur dé -dans la relation

trouve

Mais ,E — est l'effort S par mètre carré capabl

l'allongement — • de la fibre située à là distance

de gravité de la section que l'on considère 5 au m : valeur, Téquation d'équilibre devient

et plus généralement

Si

si la barré est sollicitée par plusieurs forces P. Si que S se rapporte à la fibre la plus éloignée du c : vite de la section , on aura , dans le cas d'une fon

eu posant zssi ti^

Pour la section d'encastrement, cette relation de 1

(6) Pc=-.

Si le solide proposé est tel , qu'on ait.

- = constante,

pour une même valeur de P, S sera d'autant plus sera lui-même plus grand. De là il suit que la seci trement est la section dangereuse.

536 TRENTE-QVATElklIE LBÇOH.

APPLICATIONS

Paoilème. — Connaissant le poids iTun volant de machine à vapeur, déterminer le rayon de chaque tourillon.

Pour résoudre les questions de ce genre, on commence par déterminer la charge que chaque tourillon devra supporter -, puis on double la charge trouvée, à cause que les roues de cette sorte'sont exposées à des Aiouvements brusques. Soit donc P la charge attribuée à Tun des tourillons \ le coussinet exerçant sur celui-ci une réaction égale et contraire, c^est cette réaction qui tend à produire la rupture. Mais dans le cas d'un cylindre dont le rayon est r

au moyen de ces valeurs l'équation ( 5 ) devient

de laquelle on tire

V ws

( * ) En effet , imaginons que par le centre du cercle on ait mené deux diamètres perpendiculaires; x et j étant les coordonnées d'un élément quelconque a de la surface , et ^[sa distance au centre, on a

Multipliant les deux membres par a, il vient

aq* = flx* -h oj* ; par conséquent aussi

d'où

Mais

lafi''z^-.w* (paBe3o/|);

donc, onfîn ,

I 3^ -tltl*.

DE Lt hésistamcs des mitébiaux. 537

Supposaut, par exemple,

on trouve

eu OD I.B 50UDI aUPPOBTS UtWI Vn CHUtSE VNirOUrtMBn KÉPAltlI-

Soit CF la charge du solide par mètre courant^ la charge relative à la longueur p aura pour valeur

et comme celle-ci a pour point d'application le milieu de p, son moment sera

par suite l'équation d'équilibre deviendra

FLEXIO» D'UN FKISHE ENCASTHÉ PAB UN BOCT.

132. Soient AB la ligne des fibres invariables encastrée en  {fig. 209), et AB' ce qu'elle devient sous l'effort de la force Pig ^ P; il est clair que AB'cst

l'enveloppe de AB. Par conséquent, si BB' est le ctemin décrit par le point B, et qu'on mène les tangentes «fi', mb, etc., on aura

AB = AB', nli' = nW, mb= mE',. .. .

Considérons deux langciucs infiniment voisines mb,ttb', et posons

538 TBEHTB-QUATRIKME LEÇON.

La flexion

qui répond au poiui quelconi^ue m , se composera de la sonr des (lésions (élémentaires B'e, ic, b'd,. . ., comprises dcpui point B' j usiju' au point quelconque g situé sur le prolongen de mu. Nommons comme précédemmeot r le rayon de co bure du point m, posons Piicore mn = s, et proposons-ii de déterminer l'une quelconque .bc de ces flesioiiâ éUti laires, wétanl l'angle t:ompris entre les denx normales inf

Remarquons aussi que l'arc bb' peut èlre. regai'dé comme prit avec l'un des rayons mb ou ni'; alors on aura, en obi

vaut que l'angle bnl>'^= to.

Remplaçant m par sa valeur ci-dessus, ou trouve

Comparons mainlenanlles triangles semblables bb'c, it, La comparaison des côtés homologues donne

^'^^, d'où tb'^^^bc.

Egalant Ifs deux valeurs de bb', il vient

Mais dans la praliffue on n'admet que des flexions très-peti De là il résulte que la quantité mB' ne diflftre pas sensil ment de sa projection nui \ alors si l'on pose

on anra