PROPRIÉTÉS DU TRAVAIL ÉLÉMENTAIRE DES FORCES

16. Nous avons déjà dît que pour obienir le traitait c/émenfaire d^une force, il fallait projeter sur cette force le chemin infiniment petit décrit par son point d* application, et multi^ plier ensuite cette projection par la force donnée. Par conséquent, si Ton nomme P la force, e le chemin, a l'angle que sa direction fait avec celle de la force, le travail de P sera

6 P = P . f cos « = I X P cos a.

Donc le traitait d'une force s'obtiendra encore en projetant la force sur la direction du chemin parcouru, et multipliant ensuite cette projection par ce chemin.

Si le facteur Pcosa est positif, la projection de la force tombera sur la direction du chemin parcouru, et le travail sera un travail moteur.

Si, au contraire, Pcosa est négatif, la projection de la force tombera sur le prolongement du chemin décrit, et le travail sera un travail résistant.

Théorème. — Le travail élémentaire de la insultante de deux forces agissant datt s le même plan est égal à la somme des travaux élémentaires des composantes,

(Dans tout ce qui va suivre j nous regarderons les travaux

46 QtllTItlÉME l.E^:ON.

moteurs comme posttifs, les autres couimc uégatïfs, de sont* que par le mot somme, on devra entendre une somme algébrique.)

Soient P et Q (/'g- 22) les deux forces données, R leur He. 3j résulianie, déterminée par la règle

,Q c ,-* du paralIélos;ramrae des forces, Pro-

B^— ' --^ '■ jetant les forces sur la direction Ox

du ehetnin parcouru, on a évidemment, en observant que les triangles Olii, ACDsont égaux,

Oc = On -H 06.

Multipliant les deux membres de celte égalité par le cbemin t décrit par le point 0, 11 vient

Oc.t = OD.i -f- Oè.s.

Mai

Oc,

fR, Oa

donc

(0 fR = GP-i-eQ.

Supposons mainienant que la projection de Tune des forces Q ou P [^Çtg. aiï) tombe sur le prolongement Ox : si c'est la Fig. ii. projection de Q qui est dans ce cas,

". on aura

Of ^ Oa — ac

= Ofl — 06;

ultipliant pur i.

on a encore

Oc..=Oa

1 — Oi.!

zPR, Ofl

:ep, Ofc s

-PQ

donc Tégalîté ci-dessus devient également

GR=eP + eQ. c.«. F. D.

I^ démonstration serait la même si le travail de R était négatif. Par conséquent, l'équation (i) a Ueu dans tous les cas, conformément a réunnié.

On peut remarquer que Tégalité ci-dessus esl encore vraie lorsque £ esL une quantité (itue; mais cela exige que le chemin décrit par le point d'application de la force soit rectiligne.

On déduit sans peine du théorème précédent que le moment de la résultante de deux forces agissant dans un même plan est égal à la somme [algébrique) des moments des composantes, le centre des moments étant un point choisi arbitrairement dans le plan des deux forces, [Voir page 6.)

Corollaire. — Le trav^ail élémentaire de la résultante de tant de forces quon voudra agissant sur un même point est égal à la somme [algébrique) des trav^aux élémentaires des composantes.

Soient P, P', P'', P"', ... les forces données*, nommant R leur résultante ) je dis qu^on aura

ou, d'une manière plus abrégée,

rR=:2.GP.

En effet , soit S la résultante des deux premières forces P et P' , on aura

Soit S' la résultante de S et de P", on aura encore

(îs'=: e^s + ^p%

et ainsi de suite.

Soit enfin R la résultante de S'' et de P"', on obtient