DU CENTRE DE GRAVITÉ
GEHTHE DE GEATITÉ D^Ull ARC DE CEECLE.
20. Considérons un système de corps liés entre eux d'une manière quelconque, dont les poids seront P, P', P'', etc.j et dont les centres de gravité supposés connus , auront pour coordonnées, le premier (a:, y^ z)^ le deuxième [x'^y, s'), etc. La résultante de tous ces poids sera
Soient maintenant (xi, j^i, z^) les coordonnées du cekltre de gravité du système ; comme les forces P, P', P'', etc., peuvent être supposées appliquées respectivement aux centres de gravité des corps, on aura, parles propriétés des moments [voir la leçon V),
Ia:,2P = 2Pjr, jr,2P==2Py, z, 2P=2P3,
et ces trois équations détermineront Xi, /i, Zj.
Maintenant soient m, m', m"^ m"'^ etc., les masses des dif* férents corps, on aura
V=zm8y l^' = m's, P'' = /«"§:,..., et les équations ci-dessus deviendront
x,2iîî = 2/w^,
z,lm'^= Imz.
66 SIXIEME LEÇOM.
* CENTRE DE CHAVITË H'UM C0HP> COLIDE'
Soit m ]a masse totale du solide, dm celle d'une molécule, x^j', z ses coordonnées, on aura, pour résoudre le problème proposé, les trois équations
\ mz, —fzdm, le signe intégral devant s'étendre à la niasse entière du corps.
' CBHTU t>% «RjlVITt D'DN VOLUME.
Pour un volume, on aura pareillement
(4) vj, = /jrf..
( Vz, =/«/«.
En eflet , nommons o le poids de l'unité de volume , et ^ le poids de l'élément dilTérentiel >^c, on aura, en nommant l' le poids total ,
P = Vct, p =n*,
et ensuite par les propriétés des momcuis,
/ Vx. = J,,x,
jpz,=fpz.
Remplaçant V el p par leurs valeurs ci-dessus, et supprimant \c facteur commun CF, on obtient les équations (4)-
' CERTIB DB CUVITA d'dnb BCRFACE.
Si l'on nomme w cette surface, el da l'élément dijTéreutîcl, ou auia, pour déterminer le centre de gravité,
DU CENTRE DE GRAVITÉ ET DE LA FORCE CENTRIFUGE. Ôj
Fig. 3o.
* CEHTREDE GRAVITÉ DUNE AIRE PLARE COMPRISE BHTRB DEUX 0RD0II1IÉB8.
Si l'on considère un élémeat compris entre deux ordonnées
infiniment voisines y et J-hdvy distantes de la quantité dx^ on pourra regarder ab (fig. 3o) comme un filet rectiligne , lequel aura évidemment pour centre de gravité son milieu, et l'on aura, en adoptant les mêmes notations que ci-dessus,
ay,=-fy'dx.
Ces intégrales devront être prises depuis x =a Ol* jusqu^à X = OP'.
* CENTRE IIB ORAVITÉ D'UN ARC DR COCRBR.
Soient 5 la longueur de Tare de courbe ^ ds un élément infi* niment petit ayant pour coordonnées x, y, z, on aura par les mêmes raisons que précédemment ,
sXx = f .tds , [ »ZiZ= J^ zds.
De sorte que la détermination du centre de gravité est généralement une question de calcul intégral.
* CENTRE DE GRAVITÉ D'UN ARC DE GERCLfe.
Pour donner un exemple delà détermination d'un centre de gravité, nous appliquerons les formules précédentes à lare de cercle. Comme ici la courbe donnée est plane, et que d'ailleurs le centre de gravité est sur le rayon qui partage l'arc en deux parties égales, nous aurons simplement, en prenant ce rayon pour axe des x ,
SXx == f xds,
BemplaçaDt ds par sa valeur cls ^ ^4)'' "*" ''-'^'' '' vient
Cela posé, ou lire de l'équaiioii du cercle,
dr X
ydy + xdx^= o, d'où -7- = j
dx X
ei ea substituant ,
remplaçant y par sa valeur eu fonction Je x, ou trouve
(8) s., = .kÇ^^^ = Kc,
en nominaut c la corde de l'arc.
Si l'on a
* = 5tR, c=i 2R,
la valeur de x, devient
APPLIC&TIOKS DU PRINCIPE DES MOMENTS.
21 . Dans ce numéro nous allons donner trois applications importantes du principe des moments:
La première sera relative au travail de la pesanteur j
La deusiéme, à la pression d'un liquide sur une surface plane inclinée;
La troisième, au calcul de la force centrifuge.
