THÉORIE DE LA POULIE MOBILE
Faisons d'abord abstraction du frottement.
Nommant Q la cbarge eu y comprenant le poids de la
DU PLAN IUCLtMÉ ET DU TREUIL.
Il5
Ffg. 63.
chape (fig. 63), P la puissance, m le poids de la poulie, T la
tension de la corde atlachée en C, on aura, dans Tétat d'équilibre ,
P 4- T = Q -h cr.
Mais, puisqu'on n'a pas
égard au frottement,
donc
P = -(Q-Ho).
Ce qui fait voir que pour r équilibre de la poulie mo'bile y il faut que la puissance soit égale à la moitié de la résistance alors quon n*a pas égard au frottement.
Ayons égard maintenant à cette dernière force.
D'abord la résultante R des forces P, T^ car soulèvera la poulie de manière à amener le tourillon en un certain point M. Cela posé , N étant la pression normale du tourillon sur la chape et réciproquement , il naîtra de cette pression un double frottement Ny*qui sera dirigé, ainsi que la réaction N , comme on Ta marqué sur la figure par les lettres c et /? , c'est-à-dire par les premières lettres des mots chape et poulie. La poulie étant soumise aux cinq forces
P, T, BT, N, N/,
on aura , pour l'équilibre , en prenant le pgint O pour centre
de moments,
N sin 9 — N/cos y = o ,
N cos y -H N/sin tp = P -f-T — ci,
( Pr— Tr — N/,o = o.
Les forces qui sollicitent la chape sont Q, N, N/. En faisant la somme de ces forces décomposées parallèlement a Taxe des .T, on retrouve la première des équations ci-dessus; la somme dés composantes parallèles à l'axe desj^ donne
N cos y -f- N/sin y = Q.
Il6 HUITIÈME LEÇON.
Enfin la somme des moments relatifs au point O' se réduit à
ce qui fait voir que l'équilibre de la chape est impossible avec la position actuelle de la force Q. Il faut conclure de là que, sous l'influence du frottement Nf, la chape tournera autour du centre O', et cette rotation qui se fera dans le sens du mouvement de la poulie , continuera jusqu'à ce que la résultante Q de la charge et du poids de la chape prenne une position telle, qu'on ait, en posant 00'= A,
Les équations du mouvement uniforme de la poulie mobile seront donc , en résumé ,
/ N sin 7 — Wy cos y = o , POULIE. J N cos <f -r N/sin y = P -f- T — o ,
(3) ( ( Pr-Tr— N/p = o,
ÎN cos 9 -+- N/sin ® = Q ,
lesquelles serviront à déterminer les cinq inconnues f , N, P, T, q. On tire de la première ,
(4) tang(p = /.
Elevant au carré les deux premières, et les ajoutant ensuite , on
obtient
P-hT— tj
La comparaison de la seconde et de la quatrième équation
donne
P-fT — cT — Q,
d'où
Alors la valeur de N devient
DU PLAN IKCLIIfÉ ET DU TREUIL. 11^
Substituant dans la troisième des équations (3) 'les valeurs ci-dessus de T et de N on trouve
Substituant dans T celte valeur de P, on obtient (7) T = 1{Q + .)- ^^P
2 2.rsJ\-^f^
On tire enfin de la cinquième équation
à très-peu près.
Cette dernière valeur montre que Taxe de la chape déviera très-peu de la direction verticale.
Si , par exemple , on suppose
/=ro,l3, p=:0'",02, A = 0",0I,
on trouve
q = o^jOoSg.
On déduit aussi sans peine des équations précédentes
Cette valeur de P en fonction de la, tension T nous sera utile dans la suite.
Si l'on divise par Q les deux membres de l'équation (6), elle devient
laquelle montre qu'il y a économie de force motrice à soUlevier ^ a^ec la poulie mobile y de grandes charges. On voit aussi qu'i7 est ai^antageux d'employer de petits tourillons.
Pour donner une application numérique de la formule ( 2), supposons qu'aveoune poulie en fonte de 10 kilogrammes et d'un rayon de o'",2o , on veuille soulever un poids d^ '»oo Icîlr»
Il8 HUITIEMB LEÇON.
grammes. Le rayon du lourillon étant supposé de o'",o3, afin d'exagérer l'influence du frotlement , on aura
n = loS Q = 2O0S r = 0-,20, p = o-,o3, /= o, i3,
et par suite la formule citée donnera
Le frottement exige done une augmentation de force de 8 kilogrammes.
Ecrivons la formule (a) sous la forme
Elfecluant la division dans les coefficients de Q et de <9 , et négligeant les termes du quatrième ordre par rapport kf,p, on trouve
,Vn-/'-/p '-' r^,+/'-/p r
par suite la valeur de P devient
laquelle pourra être employée lorsque la charge ne sera pas trop considérable.
Avec les données de l'exemple précédent, la formule (lo) donne
TBÉOniG DU TRKUIL.
