X.', x\y\ a* les quantités analogues, dans la travée AB', à
celles que désignent les mêmes lettres non accentuées, pour
la travée AB ;
^ dr
9i, 0», 9s les valeurs respectives de H^ en B et A, et de
Cela posé, on aura Téquation connue d'où, par une première inlégratipn,
(*) Si tou9 leq supports avaient é^ <iârasés à un niTeau tel, que la poutpe, prise clans son état primitif et soustraite à toute tension moléculaire , pût les toucher tous sans se déformer aucunement, ets'ils jouissaient d'une fixité absolue, i) faudrait supposer/, =/j =«=/, 3= o. Mais certaines inégalités dans ces ordonnées peuvent naitre des tassements de la construction; quelquefois aussi le constructeur peut les avoir établies d'avancei avec intention. Nous essayerons plus Ipin d'apprécier, sur des exemples particuliers, les effets de cette disposition; mais le plus souvent nous admettrons la nullité des ordonnées r,, r^» r,.
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et, par une seconde,
ce qui, en intégrant par parties dans le second membre, peut s'écrire
«(/ — J« — OiX)=:x I Xdx — 1 \xdx,
Jq Jo
Faisant jr=a dans cette équation, nous trouvons
J/«a /ta /•a
I Xrfx — I Xxdx= I X(a— x)rfar.
Nous pouvons maintenant mettre au lieu de X sa valeur conforme à l'expression (4) du n** 1, savoir
X = X.+(X. — X,)f H-?(^), ce qui donne
«(r»--r*— s»«)=P[xi -h(X.—x,)2 H- ?(*)](« -^)ûf*
= L\,a^^(\, — \,)(~Çja^-hr<f(x){a — x)dx,
ou^ en réduisant et appliquant au dernier terme l'intégration par parties,
(m) e(j.-r,-e,a)=gX.a'+ix,a»4-^ f^'^^^f^— ^)'^f-
Une analyse semblable nous donnerait pour la travée AB' une équation toute pareille; il faudrait seulement remarquer que les x' ayant un sens opposé aux x, 9i doit se remplacer
par — 0», car les valeurs initiales de ^r- et de ^ pour x=o,
x' = o, sont égales et de signe contraire. Si l'on nomme en outre m{x') la fonction analogue de f (x) dans la travée AB',
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on aura
Éliminant alors da entre les deux dernières équations, nous trouverons
Cette relation exprime le théorème que nous avions en vue. Nous ne chercherons pas à le traduire en langage ordinaire, car à moins d'établir assez longuement un certain nombre de déflnitions préliminaires, nous ne saurions guère arriver qu'à un énoncé diffus et même difficile à comprendre sans avoir réquation'sous les yeux.
3. Remarque au sujet des encastrements. — L'usage est généralement consacré (au moins quand il s'agit des poutres longitudinales d'un pont à fermes rectilignes) d'assimiler les piks et culées à de simples points d'appui, et c'est ce que nous avons fait au n^ 2. Cela sans doute n'est pas tout à fait conforme à la réalité, mais il ne serait pas non plus exact de compter sur un encastrement complet, par le seul effet de la largeur donnée aux supports dans le sens parallèle à Taxe de la poutre; l'étude rigoureuse de la question présenterait donc une complication assez grande* Ajoutons encore que si, par des dispositions convenables, on voulait produire des encastrements effectifs, l'obstacle ainsi apporté à la libre dilatation des pouires, sous l'action de la chaleur, pourrait entraîner de graves inconvénients : aussi les constructeurs paraissent-ils y avoir tout à fait renoncé. Mais on peut se demander, à titre d'étude théorique, comment il conviendrait de modifier les calculs du n^a, si l'un quelconque des appuis ou plusieurs d'entre eux devenaient des encastrements.
Pour répondre à cette question, nous ferons observer que, dans le cas où le point A, par exemple» devient un encastre-
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lO CHAPITRE PEEMIEB*
ment, rinclinaison 6, prend une valeur connue et déterminée d'avance, car fappui doit être disposé de manière à empêcher toute rotation qui modifierait la position angulaire de la flbre moyenne en A. Dès lors sa réaction ne se réduit pas nécessairement à une force unique passant par ce point, et si Ton y transporte parallèlement toutes les forces partielles qui com* posent cette réaction, il faut tenir compte; en mêm^ temps d*un couple produit par le transport. Ce couple entre ou n'entre pas dans le moment fléchissant pour la section -en Â^ suivant qu'on se place d'un côté ou de l'autre de ce point; par conséquent le moment X présente là une discontinuité et passe brusquement d'une certaine valeur Xi, applicable du côté de la travée AB, à une autre valeur X', relative à la travée AB'. Donc, au lieu de l'équation finale (6) du n"" 3, on devra prendre les deux équations
e(ri— r»— 0.«) = gX.a»4-5X,fl»4-^ r ^^ {a — xydx,
qui nous avaient conduit à l'équation (6) dans l'hypothèse où Xs et X', désignaient un même moment. Ici Si est donne de sorte que la recherche des moments sur les points d'stppui comporte une inconnue et une équation de plus que tout à l'heure.
Quand le point A est une extrémité et qu'on supprime une des deux travées AB ou AB', il est clair que l'on supprime une des quantités X, ou X'^, qui devient nulle, et l'équation qui la contient disparaît en même temps.
Si la travée AB était encastrée à ses deux extrémités sous des inclinaisons connues 9„ ds, et si, en même temps, on donnait les abaissements jTu T»» ^^ aurait alors quatre conditions pour déterminer les deux constantes introduites par l'in-
tégration de l'équation différentielle e -r^ = X, ainsi que les
moments X,, Xa. Le moment de flexion serait donc connu
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POUTRES A PLVSieVRS TRAVÉSS^ EN GÉNÉRAL. I I
pour un point quelconque de ÂB, puisqu'il dépend seolemani (n*» 1) des charges qui pèsent sur cette travée et des moments qui ont lieu aux extrémîtés; donc, enfln, la travée dont il s'agit pourrait être étudiée à part; sa flexion et sa résistaixce deviendraient indépendantes dit reste de la pièce.
Dans ce qui précède (n"2 et 3), nous avons supposé les charges Q absolument quelconques; nous allons anaintenaol faire des hypothèses particulières qui nous donneront des corollaires du théorème principal, utiles pour la suite de cet ouvrage.
4. application du 4héorème principal au cas où chaque travée supporte une charge concentrée unique. — Supposons sur AB (Jig.i) une seule charge Q, dont Tabscisse a, ou àish tance au point A serait exprimée par qa^ q étant le rapport de cette distance à la longueur AB = «; pareillement sur AB' une seule charge Q^ à la distance q'a' du même point A. En se servant des valeurs de la fonction 9 (a?) indiquées plus haut (n« 1), on trouve
entre ar = o et ^=;=<jfa V - = — Q(J — g)>
* . doix) ^
entre x=iqa et x = a y == Q?>
et par suite
J/^qa /•a
' [a — xYdx-^Qqi (a — x^dx
= — ^(ia?q{i — q)(i — q).
Cette intégration pourrait encore se faire par le procédé suivant, applir cable à d'autres cas particuliers et parfois préférable. L'emploi de l'inté-
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12 CHAMTRB PREMIER.
gration par parties donne
la quantité entre crocheta désignant la valeur particulière de la dérivée ~^^S pour J7 = o. On est ainsi ramené à la recherche de l'intégrale
/ Jla^ (<»-"^)'<^ • or, dans le cas actuel, ^ est constamment
nulle puisque ^ - est constante, sauf pour x = qa, point où ^ '
changeant brusquement de valeur, sa dérivée J\ ' devient infinie. On a pour ce point
donc la dernière intégrale se réduit à un seul élément et a pour valeur donc aussi *
Par un procédé tout semblable on trouverait
l'équation (6) du n®2 deviendra donc, par la substitution de ces intégrales,
1 Qa.g(,j)(,g)Q'a'>9'(l-9')(2-Ç').
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POUTRES ▲ PLUSIEURS TRAVÉES, EH GÉHÉRAL. l3
Si Ton voulait que la position des deux forcés Q, Q', au lieu d>être définie par leurs distances à l'appui intermédiaire» fût définie par la distance de chacune d'elles à Tappui le plus voisin vers la droite, en représentant par q^d la distance entre Q' et le point B', il faudrait, dans Téquation précédente, changer <( en i — q[ et écrire
( -Qa^î{i-î){^-î)-Q'a'Y(î-g'').
Si, au lieu de prendre les distances à droite, on les avait prises à gauche, le terme contenant Q' dans l'équation (7) n'aurait pas été modifié, et celui qui contient Q serait devenu
5. Cas de charges quelconques. — Avant de montrer comment la formule (7) ou son équivalente (8) comprennent tous les cas possibles, relativement à la distribution des charges dans chaque travée, nous devons rappeler un théorème démontré dans la première partie de ce Cours C")» et dont voici l'énoncé : Étant connus les effets produits par une série de forces agissant isolément, on en déduit l'effet total dû à la réunion de toutes ces forces, par une composition semblable à ceHes des vitesses d'un même point; et si ces effets sont un déplacement dans une direction donnée, ou un moment fléchissant parallèle à un plan fixe, la composition se changera en une somme algébrique.
Cela posé, admettons, par exemple, qu'il y ait dans ht première travée ÂB [fig. 1) trois charges Q, R, S, et dans la seconde AB' deux charges Q', R'. On imaginerait que Tune des deux formules (7) ou (8] fût appliquée cinq fois, en ne conservant à chaque fois qu'une des cinq forces Q, R, S, Q', R'. Faisant alors la somme des cinq équations ainsi obtenues, et appliquant le théorème ci-dessus, on trouverait une équatibn finale ayant le même premier membre et les mêmes termes en X|, X,, X^; seulement cas trois noutions y désigneraient, ainsi que y^ y^,
{*) Chapitre deuxième, $ III, p. m et sulyantes.
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t4 CHA^IT&B VREMIEB.
yti les valeurs relatives à Taciion simultanée des cinq forces, et chacune de celies'-ci Ûgurerait dans le second membre avec un coefUcient tout à fait analogue à ceux de Q et Q' dans les formules (7) et (8). L'équation fipale serait donc» dans le cas où Ton aurait fait usage de la formule ( 7 ),
— Qa*g{t — g)(2 — 9) — R<2»r{i — r)(a — r)
— Sd's{i — s){i—s)
les notations qa^ ra, sa, q'a', r'a' désignant les distances respectives du poikit A aux cinq forces 0> ^f S, Q', R\
La démonstration précédente suppose que les ordonnées /-i, ja, js ont des valeurs variables avec les charges et composées ^e termes proportionnels à chacune d'elles, à moins cependant qu'on n'ait toujours yt rr:^t = ^s^ ce qui ferait disparaître ces quantités de l'équation, et les dispenserait de remplir «u^ -cune condition quant à leur loi de croissance* Or on conçoit (entre autres circonstances pouvant se réaliser) que les appuis aient été construits à des niveaux fixes, mais dont quelquesuns se trouveraient) dans l'état naturel de la poutre, à une petite distance au-dessus ou au-dessous de celle-ci : par exemple, on aurait /,=j^5 = o, et7t = une certaine valeur qui se produirait avec une partie des charges, sans pouvoir être dépassée quand on ajouterait un surcroît de charges nouvelles. En pareil cas, l'équation finalement trouvée n'en serait pas moins vraie, car il s'agit simplement de savoir ce que deviennent les intégrales
qui entrent dans te second membre de l'équation (6). Or les moments <p (x) et ©{^') sont des fonctions linéaires des forces, sans terme indépendant; donc on aura ces intégrales en faisant la somme de leurs valeurs partielles quand chaque force agit seule, et c'est bien ainsi que nous avons procédé. Mais ce qui est modifié par l'hypothèse que nous examinons
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POUTRES A PLOSIStlBB TRâVÀSS^ EN GÉNÉRAL. l5
maintenant, c'est le théorème sur la supeiposiUon des effets des forces; ce théorème n'est plus exact pour les abaissements de la poUire> ni pour les moments de ftexion qui se produisent en ses divers points. Cela constitue, pùur le principe général, une exception assez importante qu'il convenait de mentionner en passant. Du reste, on n'aura, pour ainsi dire, pas à s'en préoccuper en lisant cet ouvrage, car nous y admettrons à peu près invariablement l'égalité des ordonnées y sur tous les points d'appui«
Les mêmes formules (7) et (8) peuvent encore s'employer avec des charges à répartition continue, car une charge de cette nature peut toujours être considérée comme formée par la réunion d'une infinité de charges isolées infiniment petites. Toutes ces charges élémentaires donneraient lieu, dans le second membre de l'équation finale obtenue comme on vient de le dire, à une infinité de termes, dont la réunion formerait une intégrale déûnie; on les remplacerait donc par la valeur exacte ou approximative de cette intégrale. En voici un exemple particulier très-utile à considérer pour les applications ultérieures,
6. Cas de poids uniformément répartis sur ta longueur en^ tière des travées. — Nous plaçons sur les travées AB et AB' ijig. 2) des poids pa et p'a', uniformément répartis, à raison de p kilogrammes par mètre courant sur la première, et de p' kilogrammes, aussi par mètre courant, sur la seconde. Nous considérerons la charge pa Comme composée d'une infinité d'éléments, dont l'un, pa.dq, agit à la distance qa du point A, q étant une quantité qui vari« par degrés insensibles depuis o jusqu'à I. Dès lors, au lieu des termes en Q, R, S,. . ., de la dernière équation, nous aurons l'intégrale
— / />«^?(i— 9)(2— f)rf^f ou — /w» / q{i—qK^—q)dq; de même, les termes en Q^, R' seront remplacés]
-p'fl'H q{x — q)(,i — q)dq\ / \ ^r^
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l6 CHAPITRE PREKIER.
Or, on trouve par un calcul fort simple
donc la dernière équation du n*^ 5 deviendra
