M II
On serait arrivé au même résultat par la formule (6) du n° 2, en employant les valeurs
<p(^)= px{a — se), m{a/) = p'x'{a^ — x'),
données au n** 1. On doit, pour appliquer cette formule, chercher les intégrales
soit en effectuant la dérivation de 9 et de cr,
p I Ça — iix){a — xydxy
— i/>' / (a'—^x'){a'—x'Ydx\ L'intégration par parties donne immédiatement
I (a — iix){a — xfdx-^z — -(a — ix) [a — xf — -5 Ua — xfdx = — '^(a—'^x)[a—xY+-Aa — xY,
I {a — ^x)[a — a7)'rf^ = ^ a*— g a* = ^a^,
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et aussi
(a' -. 207' ) (a' — x^ ydx' = ^ a!^' ;
donc on a
La substitution de ces intégrales dans la formule (6) fournit bien une équation identique avec la formule (9).
Si dans cette dernière équation nous faisons ^,=^,=^3=0, c*est-à-^ire si, conformément à Tusage ordinaire, nous supposons parfaitement fixes tous les points de la fibre moyenne primitive qui sont placés au-dessus des appuis, nous aurons
(jo) X,a-4-2Xa(ûf-ha').-hX3a' — jpa^ — yp'a'^=o.
C'est réquation connue, entre les moments de flexion sur trois points d'appui consécutifs, donnée par M. Clapeyron, et avant lui par M. Bertot; nous la retrouvons ici comme cas particulier d'un théorème beaucoup plus générai, puisqu'il ne repose sur aucune hypothèse particulière quant à la distribution des charges, ni quant à l'inégalité de niveau des appuis.
7. Recherche des réactions des appuis. — Dans la théorie des poutres à plusieurs travées solidaires, telle que nous la présentons ici, on arrive à déterminer les moments fléchissants sans avoir besoin de connaître les réactions des appuis, comme on le verra dans les paragraphes suivants. Mais il peut être bon néanmoins de déterminer ces réactions, ne fût-ce que pour vérifier la stabilité des appuis eux-mêmes, et l'on y parviendra sans peine, pour un appui quelconque tel que A (fig. 2 ), quand on aura les valeurs numériques des trois moments désignés ci-dessus par X„ Xa, Xj,
Reprenons en effet la poutre dont AB, AB' sont deux travées consécutives de rang quelconque. La portion située à gauche du point M, jusqu'à Fextrémité de la poutre, est soumise à une série de forces verticales, parmi lesquelles nous comprenons les réactions des appuis : si Q désigne l'une de ces forces,
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l8 CHAPIT&E PRE1CIS&.
affectée du signe + ou du signe -— suivant qu'elle seva descendante ou ascendante, ql TabScisse de son point d'application relativement à la verticale ky, x l'abscisse de M» on aura pour valeur du moment de flexion en ce point une somm.e telle que
et il en résultera^ en faisant varier x^
Donc la valeur particulière de — -^ pour a:=o, soit — ( --t- ] »
est égale à la somme algébrique de toutes les forces verticales comprises entre l'appui A et l'extrémité de gauche, le sens positif étant de haut en bas. De même, si X' désigne le moment de flexion en tout' point de AB% la valeur particuUère
— (.-T-7 ) représentera la somme algébrique des forces verticales entre l'appui A et l'extrémité de dnolte. Donc la réaction de T de cet appui, comptée positivement de bas enhaut^ sera^ d'î^près l'équilibre de toutes les forces du système en projection verticale,
/rfX\ /rf'X'X
Or on a (n° 1)
et par suite
^X Xi — Xî . ^/ / ^ X
tx a
d\' Xb— X
dx' a'
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POUTRES A PLOSimR9 fKAVÉM, EN GÉNÉRAL. I9
donc ailssi'
^ ^ ' a \a af ) a*
On sait (n* 1) que <^(x) e\m{3B^) représentent les valeurs que prendraient les moments X et X' si la poutre était effectivement sciée au-dessu&des aj^pûis &» A,>F : après cette opé* ration, les moments Xi, Xs, X, s'annuleraient, et la réaction de Tappui A déviendrait
;=— 9'(o)-©'(o); la quantité
exprime comment cette réaction fictive se modifie par suite de la solidarité qui existe entra les travées; par exemple, dans un pont chargé uniformément sur la longueur de chaque travée, elle fait connaître l'excès positif ou négatif de la réaction réelle d'un appui sur la demi-somme des poids des travées adjacentes.
8. Relation entre les inclinaisons de la fibre moyenne audessus de trois points d'appui consécutifs, supposé^ de nii^au: — Cette relation, quoique simple et assez remepquable> ne nous paraît pas avoir un bien grand intérêt pratique; c'est pour cela- que nous laissons de côté le cas où les appuis ne sont pas tous disposés de manière à rendre nulles les ordonnées des points qui leur correspondent sur }a fibre moyenne.
Reprenons Inéquation
trouvée au n" % et mettons à la place de X salvateur (n" 1 )
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aO CHÀPITBB PRBMIBA*
il viendra, en effectuant l'intégration autant que possible,
et si Ton fait a: = a.
Or on a trouvé aussi, au n^* 9, la relation
e(rt— r«— M= J [x,-H(X. — X.)^-h9(^)l(« — ^)rf^
= gX.a'-+-^X,rt»-|- / ^{x)(a — x)dx,
qui, par la supposition de Xt égal à /a, devient
— eÔ,= g(Xt-l-aX,)a-l- j / <p(x)(a — :r) ctr;-
on peut donc éliminer Xi, et l'on trouve
(il) e(9,-{-20a) = X,fl H — I cp(j:)(3x — ^a)dx.
En opérant de même sur Tautre travée qui aboutit en A {fig. îi), on trouverait
— £(9.4-^0,) = - -Xjo' -h -^ / m(x'){Zx'^7^af)dx';
rélimination'de Xs entre les deox dernières équations donne alors
Telle est la relation que nous voulions démontrer.
Quand on y suppose « = a' et <f(x)^=xs{x'), ce qui arriverait si deux travées adjacentes et égales étaient chargées symétriquement par rapport à leur point commun, elle devient
formule très-sîmple, déjà démontrée par M. Clapeyron, pour le cas des charges uniformément réparties.
Si maintenant on reprend Téquation (i i) applicable à la seule travée ÂB, quelle que soit sa position parmi les autres, on peut considérer le cas où le point  serait une extrémité de la poutre. Alors, puisqu'il faut, pour l'équilibre de celle-ci, égaler à zéro la somme des moments de toutes les forces par rapport à A, on en conclut que le moment de flexion est nul en ce point, et par suite, faisant X3 = o, on aura
De là résulte un fait assez remarquable : quand on connaît les charges dans une travée de rive, et par conséquent la fonction (p{x) dans cette travée, cela suffit pour déterminer la somme algébrique 0, -h ix 0a, formée par le double de l'inclinaison au point extrême et par l'inclinaison sur l'appui suivant.
Les relations (12) et(i4) permettent d'avoir toutes les inclinaisons 6 sur les appuis d'une poutre, quel qu'en soit le nombre, quand toutes les charges sont connues, et que les appuis, tous simples points fixes sans encastrement, sont sur la fibre moyenne primitive. Soit donnée en effet une poutre à n travées, ayant par conséquent (w 4-1) appuis; on appliquera d'abord la relation ( 1 2) à tous les groupes de deux travées consécutives, en . nombre n — i, puis la relation (i4 ) aux deux travées extrêmes, et l'on aura ainsi n 4- 1 équations entre un pareil nombre d'inconnues. Prenons comme exemple numérique une poutre à trois travées égales, chargée uniformément sur toute sa longueur; nommons 0, et 0» les inclinaisons sur un appui de rive et sur l'appui suivant; les deux autres inclinaisons seront, en raison de la symétrie, — 0» et — 0„ de sorte que la question ne comportera que deux inconnues. Or l'équation (i3), appli-
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23 CHÀPfTR£ PAEMifiK.
ca^ble au cas a,ct|uel, Revient
réquation (14)9 en y faisant <p(x)ç= — r- px{a — x), donnera
d'où résulte
il nous semble superflu de jdjé!7elof4)er ^avantage ces coosidérations, dont les applications seraient Crès-restreinies dans la pralique. Nous ailons passer à la •recherche» beaucoup plus importante, des moments fléchissants produits, 30ic par ^ne charge concentrée unique, soit par une charge uniformément répartie. Cette recherche est fondée, conime on va le vpir, sur le théorème principal démontré plus haut (n*' 2), dont la formule (6) est l'expression algébrique générale.
§ U. r- DétBnoinatiQX^ d^js moments fléchissants prodiûts par npe charge concentrée nniqjae, lorsque tous les points de la fibre moyenne primitive situés au-dessus des appuis ont une fixité absolue.
9. Forn^ation et étud^ préliminaire de quelques séries numériques. — Soit dopppe une poutre de n travées, reposant par conséquent sur /i-f-.i appuis qu'on suppose numérotés en allant dp gauche à dnoite, et qu'on désâgnera par
Ac, Al, Aj, A3,. . ., Afli 2, Am—t, Ain,. . •, A^i, An 5 nous appellerons
Al, a», ^39 ^O • • • > am^j, Air, • • • » ^n-iy 0*9
les longueurs successives des travéeç, là première étant la distance A» Ai, la seconde Ai A», la troisième AsAs» ^^ généralement la /»'•'"• étant A«-.iAm.
Cela posé, nous considérerons en premier lieu deux séries,
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chacune de n nombres, délenninés par les équations
2Mi(a,-}-aa)-h«,aa = 0, Wî^a-f- 2«3 («a 4- «4 ) -+- ^4 «4 = 0,
«„,a«,-|- 2 ««-I (««,-,4- a«) H- ii«a«=o.
«'«-mam H- 2 f „«H., ( a„ -h am^i ) H- t'^-.i+îfl»-! = o, (^n-jûj-t- 2('„t («, + «,)-!- (^,«, = 0,
auxquelles on joint encore
a.= Vt= I.
Ces deux groupes d'équations (i) et (2) ont une forme générale facile à saisir; de plu3t ils ne diffèrent l'un de l'autre que par le changement de Tordre des travées, c'est-à-dire qu'on passe du premier au second en mettant a« au lieu de ai, a^-i au lieu de as,. . ., a^^m^ au lieu de a«. Il est donc visible à priori que les deux séries u et i' sont composées de la même manière et qu'elles doivent présenter les mêmes caractères généraux.
Le calcul pratique des deux séries ainsi définies ne donnerait lieu, dans chaque cas particulier, à aucune difficulté d'exécution. Faisant w,=M dans la première équation du groupe (i),' on en tirerait u^; portant ces valeurs de ?«, et Ut dans l'équation suivante, on aurait u^; et ainsi de suite, de proche en
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proche. Chaque équation du groupe (i) fournit généralement un nombre u, au moyen des deux qui le précèdent dans la série. Il en est tout à fait de même pour les nombres v. Mais ce n'est pas assez d'avoir constaté la marche simple et naturelle du calcul ; il faut pénétrer plus avant dans la question, et découvrir quelques-unes des propriétés intimes qui caractérisent ces deux séries.
Remarquons d'abord en passant qu'elles ont une liaison
entre elles. Nous pouvons, en effet, éliminer — entre la première équation du groupe (i) et la dernière du groupe (2), — entre l'équation suivante dans le premier groupe et l'équation précédente dans l'autre, etc.; on trouve ainsi
l/,-|-2Wa Ms4-2M,
Vi H- 2 i'a t'a -h 2(^,
Un-, 4- 2M„2 M„, 4- 2 M„,
soit en tout n relations par lesquelles on pourrait, assez simplement, passer des u aux c, ou inversement. Mais H ne semble pas que cette dépendance mutuelle puisse conduire à des conséquences bien utiles pour les applications; nous n'insisterons donc pas davantage sur ce point.
Voici maintenant la propriété la plus importante. La première équation (i) donne
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POUTRES A PLUSIEURS TRAVÉES, EN GÉNÉRAL. sS
d*,oii il résulte que le rapport est positif et supérieur à 2.
On a aussi, par l'équation suivante^
«2 \ azj Uitti a, \ -Ma/'
or, d'après ce qu'on vient de voir, le nombre négatif -^ n'atteint
pas -> de sorte que 2 -h îîi est positif; donc -' est positif et
supérieur à 2. Partant de là, nous pourrions répéter le même raisonnement et reconnaître que la même propriété existe
pour ' \ pour plus de généralité, montrons de suite que si
elle appartient à — =^S elle est, par cela même, encore vraie
quand on augmente les indices d'une unité. Dans ce but, prenons la (m -7- !)'*'«« équation (i) et mettons-la sous la forme
il n'y aura plus altors qu'à répéter mot pour mot ce qu'on a dit au sujet de ^- Nous sommes donc en droit d'affirmer que
est un nombre positif supérieur à 2, quel que soit l'in-
dice m à partir de m = 2, et quelles que soient aussi les ouvertures aty ary Osy Il en est de même, bien entendu, pour
