Ainsi donc
Théorèsie. — Les deux séries
Ml, W2, «8, Uty.^.y Un,
se composent chacune de termes alternativement positifs ^t négatifs, le signe -h appartenant aux indices impairs; dans l'une ou l'autre les valeurs absolues croissent plus rapidement
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que la progr€S$ian géométrique
Les deux séries ueXi^ sufBraient à la rigueur pour la solution de tous les problèmes que nous avons en vue sur la poutre an travées; toutefois H sera bon d'en employer concurremment deux autres déduites des précédentes. Nous supposerons donc que l'on calcule encore les rapports
«m ' ' Un
€pii seront désignés par
P*, p.. Pz, Ps,..., (3^-.,..., (3,.., y», yi, y», ys,..., y.,-,,..., y«-,.
Chacun de ces nombres nouveaux sera plus particulièrement affecté, comme la suite le montrera, aux calculs it faire dans une certaine travée. Voici un tableau indiquant les travées avec leurs (3 et y corrélatifs :
AqAi, AiAs, A1A3,..., An iAoty ••» An^iAff, p., p., §„■.■, P»-,,..., Ph-„
y»— 1> yn—29 y»— if • •> y»— »> • • •» y©»
Cette corrélation est d'ailleurs ici purement conventionnelle, el il est parfaitement permis, sans justification aucune, d'appeler (3«-i (par exemple) le (3 de la m""^ travée.
Le théorème établi tout à l'heure, concernant la loi de croissance des séries u et v, montre que tous les (3 et y sont des
nombres positifs et ne pouvant varier que depuis o jusqu'à -•
Chacune de ces deux limites a d'ailleurs une signification remarquable qu'il est utile de signaler. Supposons d'abord que le p de la m'*»* travée (celle qui a pour longueur Um) devienne
égal « -; on aura donc
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POUTRES A PL^aiSmbS TRA^VÉiSS.) EH GÉNÉRAL. 2^
64, <}'apjrès l'équation < 3),
C9àt ^ -f- ^^ ne peut être wpposé nid. Or, Um-.i rc o i^gnifiereit
que les appuis Âm-, et «-i sont confondus en un seul, c'està-dire que la direction de la tangente à la fibre moyenne est maimenue mvariable en km-x, eu encore que ce point d'appui éc(uivaut à un encastrement. De même, on verrait que l'hypothèse y,,-.», =- entraînerait la nullité de 0»+,, c'est-à-dire la
transformation de l'appui A« en encastrement. Au contraire, pour que p«-i pût s'annuler, il faudrait avoir, en vertu de la même équation ( 3 ),
et, pour annuler ym^mj il faudrait rendre infinie la longueur £x«+i. La signification physique de ces travées infinies n'est peut-être pas aussi manifeste que celle des travées nulles, mais elle le deviendra quand on aura reconnu que si le p d'une travée Aok-iAm s'annule, le moment de flexion sur l'appui de gauche A„-., sera lui-même généralement nul (*), en sorte que, malgré la solidarité de la travée Am-iAm avec sa voisine Ar^sAm-.,, la première devra être considérée comme reposant en A«-.i sur un appui d'extrémité, ou encore, si l'on veut, comme sciée en ce point.
Ainsi donc, en résumé, les hypothèses extrêmes j3«i = - et
|3m.i = o répondent aux deux cas limites oà l'appui Am i fonctionnerait, à l'égard de la m*^^ travée, comme encastre^ ment complet ou comme simple appui d'extrémité. Les deux limites de yn^m ont, pour Vautre appui A» de la même travée, un sens tout à fait analogue.
Mais il est clair que quand une poutre repose sur une suite de points fixes, les rapports entre les longueurs de deux travées consécutives ne sont jamais ni nuls ni infinis; aussi ne
(^) Ce fait n'est fiCMimis qu'à un cas d'exception : nous y reviendrons plus loin.
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a8 CHA1>ITftE PEEXIER.
peut-on pas renconirer des nombres (3 el 7 devenant rigoureu-^ sèment égaux à Tune de leurs limites. En d'autres termes, par l'effet de la continuité de la poutre» les deux appuis qui terminent une travée constituent toujours pour elle quelque chose d'intermédiaire entre le simple point fixe et l'encastrement, sans être absolument l'un ou l'autre.
Au reste, quand on assigne des limites aux rapports entre les longueurs de deux travées consécutives; au lieu de les laisser variables de o à 00 , on peut par cela même trouver d'autres limites des nombres p et 7, plus
étroites que o et -9 pourvu cependant qu'on laisse de tàté les valeurs
initiales p, et 7, , nulles dans tous les cas. Nous allons le montrer en
mettant un rapport tel que =- sous forme de fraction continue. Re-
prenons pour cela les équations du groupe (i) en les écrivant comme cidessous :
en posant, pour abréger récriture,
ces équations deviennent
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La première donne -] en portant sa valeur dans la seconde, on trouve
expression qui substituée dans la troisième donne à son tour
Le même procédé de substitutions successives toujours continué conduit, à la formule générale
(6) Jk.= a(.+J,).
^<-^'-'^-ï(ItC)=:
la ihiction continue s'arrête quand on arrive au dénominateur 2(1 + ^, ). Maintenant, je dis que si Ton remplace tous les rapports d par un
u nombre plus grand , on augmentera ^ • La proposition est en effet
évidente pour h d'après l'équation (4); d'un autre côté, on peut voir
d'après l'équation ( 5 ) que si elle est reconnue vraie pour 2!=i elle le
sera aussi pour- -^ — ^ - car ce dermer rapport ne contient, comme portion variable, que ^^i (a + ^2!=î j, quantité dont les deux facteurs auront augmenté. Cela suflSt pour justifier notre proposition; et en conséquence, / étant une limite supérieure des rapports d, on aura
Il faudrait avpirsoin (bien entendu) d'arrêter la suite des fractions intégrantes dès que leur nombre atteindrait celui qui existe dans la fraction
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3o CBAPITIC ntBMttR.
continue (6 y. De la dernière équation nous pouvoM déduire, pour ot> i ,
en observant une règle pareille pour le nombre des fractions intégrantes
—. 7; • Si l'on avait mis, au lieu de /, une limite inférieure /' des
nombres ^, on aurait tro\ivé de môme
d'où résulte également
Mi-hO-
La forme des fractions continues (7) et (8) suffit pour montrer bien facitement' querletiis réduites^ vonteadiotàiiUflnt; ainsi* lâ^jitietAière 'réduite de (7) est 2(i-h/); lasecondeest i(i-|-/) — ; la troisième diffère de la seconde en ce que le dénominateur du terme négatif doiti être dimiitué^ cie ({lil d pmt' ^sm d^ilgblehte^* sa valëtlf
absolue, et partant de rendre plus faible le résultat final. Le même raisonnement se répéterait pour les réduites suivantes. Dono on a^ pour totite valeur de m,
2^ > la limité dé la fraction (8) prolongée à l'infini,
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POUTRES À PLU&iEVEfl TRàVéBSy. £M GÈHfÈtikL, 3f
OU encore, en nonujaa&t z' cette limite et supposant m'> i,
La limite z' et la limite analogue z de la fraction (7) se déterminent aisément par un procédé très-connu : on a
z d'où Ton tire> par la résolution d'une équation du second degré,
(10) /:=^r-hr + v'î + ^'4-/''.
Le signe — du radical est rejeté, afin de ren^lirs la condition néû^spure
La discussion qui précède nous montre, em résumé, que si tous les rapports -2!=i sont compris entre deux limites letl', dont là première surpasse la seconde^ tous les nombres p auront une linfite inférieure - at une limite supémeure ' > > ' ■ ■ — ^ sauf Peûacèpthn
Po = o.
Quant aux nombres 7, les mêmes résultats peuvent leur être appliqués : seulement, comme Tordre des travées est renversé et qu'on doit considérer — 2i- au lieu de -2î=i? la limite / devra se remplacer par 77 et /'
pari.
Exemple particulier. — Supposons tous lôs nombnes'uu âi> ^3f • • égaux entre eux; les équations du groupe (i) dépannent
Mj + 4«3-+-W4==0,
3a CHAPITRE PREMIEK.
On en tire successivement, après avoir pris m,=i, M, = — 4"t = — 4>
et, en continuant de même, on forme le tableau suivant que Ton doit arrêter dès qu'on arrive à «« :
«i, Wa, W3, M4, «6, «6, W7,
Ugy 1^9, K|09 Wii, K|2,«.. .
Le rapport entre la valeur absolue d'un terme et celle de son précédent dépasse bien toujours la limite 2, car le calcul direct donne pour valeurs successives de ce rapport
soit approximativement, à o,ooooo5 près,
Par l'emploi de la formule (6), on reconnaît dans les fractions ci-dessus les réduites de la fraction continue périodique
Les nombres p,, ^„ Pa,. . . auraient en conséquence l'expression inverse
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d'où Ton tirerait des réduites inverses de celles qui Ggurent ci-dessus; ces réduites sont en fractions décimales
p., p., Pa, (3o Ps, P.,...>
o,25, 0,26667, 0,26786, 0,26789, 0,26795, 0,26795,..». 11 faut, dans le cas actuel, faire /= /' = i; on a donc ^ = z'=2-f-V^ = 3,732D5...,
limite vers laquelle tendent les rapports "^ pour m = x .
De leur côté, les nombres p convergent vers la limite
ce dernier nombre est leur limite supérieure — ,* et leur limite inférieure — ; — --7-. prend la valeur -r- On voit donc qu'ils
varient dans un intervalle très- resserré.
La série des v ne diffère pas de celle des m, pour raison de symétrie; celle des y coïncide pareillement avec celle des p.
Les nombres p et y ayant tous des valeurs comprises entre
j et o,26& (sauf p» et y«), on voit que les appuis intermédiaires
d'une poutre à travées égales se trouvent, sous ce point de vue, à peu près à égale distance du rôle d'appuis simples et du rôle d'encastrements complets, pour chaque travée considérée seule. Ce sont (si Ton peut s'exprimer ainsi) des demiencastrements»
10. Recherche des moments fléchissants sur les points d'appui y dans le cas oà la poutre supporte une charge concentrée unique, — Nous commençons par étudier ce cas d'une charge unique, un peu abstrait peut-être, car une poutre supporte toujours en réalité des poids répartis d'une manière continue, ne fût-ce que son poids propre; mais, suivant la remarque générale rappelée au n® 5, concernant la superposition des effets, étudier l'effet total d'un ensemble de charges
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34 GHAPITKB PBBMtER.
revient toujours à étudier l'effet spécial de chaque charge partielle, puisque la réunioB de tous ces effels spéciaux donne l'effet définitif, du moins quand on écarte l'hypothèse d'abaissements inégaux pour les points de la poutre situés au-dessus des divers appuis.
Soit donc une poutre reposant sur une série de (nH- 1) appuis simples, sans encastrement, Ao, At, As, A3, ... , A».!, A.,» A«4.„..., A»-,, An {fig^ 3), que nous supposerons, suivant
Fig. 3.
Ao
l'usage ordinaire, capables d'assurer la fixité des points correspondants sur ta fibre moyenne primitive; un poids unique Q agit en B, dans la travée A«-.iA«. 11 faut, pour l'équilibre de la poutre» que la somme des moments de toutes les forces etté- Heures soit nulle relativement aux points A« et A», de sorte qu'en ces points le moment de flexion est égal à zéro; mais, sur tous les autres appuis, le moment de flexion prend des valeurs qui ne sont pas nulles et qu'il s'agit de déterminer. A cet effet, nommons :
Xi, Xs, X3, . . . , X«-.i les moments demandés, chacun se rap* portant à l'appui qui a même indice;
a„ a», fls» • • . , ««-i, a» les ouvertures des n travées A^Ai, Al As, AsAs, . . ., Aiï— îAji— i, An— iAr;
9 et r les rapports des distances Am^tB, BA« à la longueur totale de la travée A».! Am, rapports dont la somme égale l'unité»
Appliquons l'équation (7) ou l'équation (8) du n" 4 successivement à tous les groupes de deux travées consécutives, en tenant compte de ce qu'on a, par hypothèse,
et, par définition,
nous trouverons alors les » — 1 relations ci-après entre les
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POUTRES A PLUSIEURS TRAYÉE8, EM GÉJNÉRAL. 35
I inconnues de la question :
aX, (a, -h flî) 4- X^a2 = Of X, «a + a X, («2 4- «3 ) -f- X, a, = o , XiO. -f- 2X9 («3 -h ^4 ) -h X^fli = o,
X^-^aû—î -h 2X«-s(flfl^s + a«i-i ) -h X«»,a«i = o, ( 1 1 ) { X,,a„,, H- 2 X,-., (a«^, + a- ) + X«fl« = Q a^ gr{ i -H r),
X;„,û« -h 2X«(«„ -f- aH,4-i) -+- X«+, ûf„4., = Qû,igr(i -4- g), XmCim+t -4- 2X*H-i{aflH-i -h ««4-») -1- X«+îa«+, = 0,
X^^jûj,-, -h 2X,-., (a,»-, 4- ««) = o.
En considérant à part les m — 2 premières de ces relations, on voit qu'elles forment un groupe tout semblable au groupe ( i ) du n* 9; la (m — i)'*"* rentrerait dans la même loi, si Ton faisait abstraction du second membre. Ainsi donc, Ut, u^, u»,. . . , u^i. Un représentant la série de nombres u calculés comme on l'a dit plus haut (n° 9), on pourra poser
X|=MiXt, Xj= 1/3X49 Xs= «iXty • -y X«.|=flM.|Xt.
Pareillement on pourrait partir de la dernière équation (i i), et en remontant jusqu'à la (m + 1)'^ inclusivement» on trouverait un groupe de même forme que le groupe (2) du n? 9, qui permettrait d'exprimer, avec autant de facilité, les moments Xm» X«H^, X«^S9* • *, X».,, X«^ par leurs rapports avec ce dernier, c'est-à-dire qu'on aurait, en employant la série déjà con^ nue des nombres c,
X#— I = ^iXit—i, Xn— 3= f'iXn.i, X||.^= i'iXii-.i,. • . y X«=t',«,X»-.i.
Cela posé, dans les deux équations contenant Q on remplacera tous les moments par leurs valeurs en Xi ou Xn-i, et il viendra
X,[M«3a«^iH-2M«,(a«-i+a«)] H- v„^X„.,a« = Q<gr(i-hr), ««-,Xia«H-X„-., [2('„-«(ai„4- am+,)-|-('»^-., a«+,] = Qa^gr( 1+5),
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36 GHAPITKE PABIIIER*
OU bien, eu égard aux relations qui déterminent a« et v».^^t dans les groupes ( i ) et ( a ) du n<* 9,
— a«X, -H c— «X^, = Q««gr{ i -h r), w»,-,X, — i'.-.^.X.^, = Qa^grit -h 7);
on en tire sans peine
(i3) X,, = Qfl«gri ^ ^
Quand on aurait ainsi trouvé X. et X».!» il sufQrait de les multiplier respectivement par les deux séries
pour avoir les moments sur tous les points d'appui
A», Aj, A49..*9 Aai— I,
AjB, Aim.i, Aiii4.3,*.>> A»— t,
autres que A, et A„,.
Les formules (12) et (i3) sont peu commodes à écrire et même à lire» à cause des nombreux indices qui les surchargent. Afin d'en avoir d^autres qui puissent les remplacer, sans présenter les mêmes inconvénients, nous les multiplierons d'abord par u^i et c»-», ce qui donnera Xj,-i et X», savoir :
X Qa^gru. ^.,__«^,„,^. »
