X.= Qa.îr. (t + r)..,.H^(. + g
ensuite nous ferons, suivant les notations du n" 9,
Googk
et il viendra, en supprimant le fadeur commun i/m^n-m+i»
Maintenant observons que p«i et y^.^ représentent ce que nous avons nommé plus haut le |3 et le y de la travée A«,.iÀ«; sous la condition de nous rappeler que les grandeurs a, p, y sont celles qui^ dans leurs séries respectives, appartiennent spécialement à la travée où agit la charge, nous pourrons donc supprimer les indices dont elles sont affectées et écrire simplement
(.5)- X.= Q«,ryi±i^^ii±i:l^:
telles sont les formules auxquelles nous nous arrêterons, et que nous emploierons principalement dans les discussions ultérieures du § IL Elles permettent, aussi bien que les formules (la) et (i3}, de calculer les moments sur les divers points d'appui, car les termes de chacune des deux séries
A.|, Xj, As,. . •, Am— I,
ayant entre eux des rapports connus, on les connaît tous dès qu'on connaît un terme de la première et un terme de la seconde. On a, par exemple,
X^3 = Xai—i = — pm sX«|.i,
Xm— 3 = Xji— j = pm— 3 X»-.i = p«i— 7p«sXj|— I,
et ainsi de suite ; on trouverait l'expression générale
(16) X,^= ifc p„^,(3«-,(3«-4. . .(3.-*X«., .
Googk
38 CBAVmM PBSMIER.
applicable à tous le^ appuis qui précèdent A«^i ; te signe est -4quand il y a un nombre pair de facteurs (3, — dans le cas contraire. Pour les appuis au delà de « on aurait pareillement la formule
(17) Xm+k = ± yn^-i y«-»-3 . . . y»-i,^*X».
L'analyse ci-dessus doit se modifier légèrement pour le cas où la charge porte sur Tune des travées extrêmes, soit par exemple la première. Alors Q ne figurera plus que dans la première équation (11), et toutes les suivantes étant privées de second membre, on pourra faire dans celle-là
en représentant par qut, rux les distances de la force Q aux appuis Ae, Al, on trouvera de cette manière
ou bien, si Ton a égard à la dernière équation (2) du n*> 9,
X«-, ^ — - Qa.gr(i 4- q).
Ce moment multiplié par
donnerait la valeur des autres inconnues
Xn— 3, Xn^3, Xn— o •-, Xj, X|.
Le moment X, en particulier serait
(18) X, = —^Q«,gr(r-H?) = 7«-.Oa,7r(i >+.(/);
c'est ce qu'on aurait obtenu de suite si Ton avait fait p=(îo=o, dans la formule (i5); la formule (i4) aurait d'ailleurs donné' X«s: o, ce qui a lieu en effet. Connaissant Xi, la formule (17 ) donnerait Xj, Xs, X^ • . - , en y supposant m = i .
Nous sommes maintenant en mesure de justifier ce qui a été avancé au n" 9, savoir, que si p„, est nul, l'appui A„^, joue, pour la travée A„, A„,,
Googk
PQITTRES Â PL1ISIKV1S TB^Y^ESt EN GÉNÉRAL. 3^
le rôle d^un simple appui d'extrémité, sauf une exception relative à la position de la charge. Il suffit de montrer que FégaBlé ^„^ ^r enirafne' généralement X^., = o, car c'est bien la propriété caractéristique d'un appui extrême, de fournir, par l'ensemble de ses réactions, un moment fléchissant toujours nul ; il faut en outre indiquer le cas exceptionnel où p„^ sera nul, sans que X^^^ le soit. Or supposons la charge dans la travée A^^A„, puis à droite de l'appui A„, puis à gauche de A^., : je dis qu'on aura dans ces trois cas X^., = o pour p,^, = o.
En effet, la formule (i4) contient le facteur p (ou P,^,), et par conséquent X„, s'annule avec p^.j quand la charge porte sur A^^^Â^ : c'est le premier des trois cas. Si }a charge se «trouve à droite de A^, la formule (i6) devient applicable à A„^, et p„^ figure alors parmi les facteurs P du second membre : donc, dans le second cas, le moment de flexion est nul, non-seulement en A^„ mais aussi sur tous les appuis k gauche de ce point. Quant au troisième cas , il n'y a pour ainsi dire pas besoin de nouveaux raisonnements : en effet, la condition nécessaire et suffisante pour annuler p^, , c'est que la travée A^,A„., soit infinie (n**9); alors tous les moments fléchissants s'annulent en A^., et sur la gauche, quand la charge est à droite : donc aussi, en permutant la droite avec la gauche (ce qui revient à changer seulement la position du spectateur relativement à la poutre), les moments de flexion s'annuleront en A^, et sur toute la partie droite comprenant A^^ quand on mettra la charge à gauche de A^^.
Le cas d'exception annoncé plus haut esit cém oà la charge est sur la travée A^,A^2; cette travée ayant une longueur infinie relativement à ses voisines (*), celles-ci devraient être considérées comme nulles relativement à la première , pour laquelle A„j et A,^, deviendraient alors des encastrements. Par eonséquent, an n'^irait pas X^.! ^jo. La condition P^i = o n'est donc pas absolument suffisante pour réduire toujours A„, au rôle d'appui simple, à l'égard de la travée A„,., A^ : maïs elle le serait certainement si la charge ne sortait pas de cette travée, puisqu'il suffit qu'on charge toute autre travée que A„,A^j.
Quand on suppose, dans les formules (14) et (i5), ^ et y égaux à l'une
de leurs limites o et -y on retrouve toutes les formules applicables au
cas d'une travée unique, soit simplement appuyée , soit encastrée à ses doux extrémités , soit appuyée à l'une et encastrée à l'autre , et chargée d'un poids concentré , dans Tintervalle. Si par exemple on supposait un
(* ) Afin de ne pas entrer dans des détails trop minutieux sur des hypothèses non rigoureusement réalisables , on exclut ici le cas de plusieurs travées infî-
Googk
4a CHAPITRE PREMIER.
•ncafitrement aux deux extrémités, on ferait ^ = -y 7 = -9 et il viendrait
X,=|0«y/*[i + r-i(i+y)J = i0«7r(i + 2r-g), X„ = lOflryrri -+-^7 - i (1 + ?-)J = ^Qi7yr(i -hay - r), ou bien, attendu qu'on a y + r = i,
Ainsi Ton voit que la théorie des poutres à plusieurs travées comprend comme cas particulier celle des poutres à une seule travée.
Jusqu'à présent nous ne nous sommes occupé que des moments de flexion au-dessus des appuis; avant de les chercher pour un point quelconque, il faut encore en avoir la valeur au point B où la force Q est appliquée.
11. Moment fléchissant au point d'application même de la charge. — Le moment fléchissant au point B {Jig, 3) s'obtient facilement quand on a calculé Xm-.i et X«; il sufflt pour cela d'appliquer la formule (4) du n"* 1. Les x étant comptés à partir de k„,-.^ et a désignant la longueur Am-i A«, on aura, pour le point B,
a:=;qay c^{x)=-r-Qaq{i-^q]=~Çiaqr;
donc le montent X' dont il s'agit sera
(19) X' = X«-,H-^(X«— X«>-,)— Qa^r=rX„^,4-/jfXp.— Q/iqfr.
Si Ton pose
X„, = ^ Q aqr, X^ = ^, Q aqr, X' = $' Q aqr,
les rapports ^ et ^i auront pour valeurs, d'après les formules ( i4)
r-^P, i + r — (i-Ky)y
Googk
et la formule (19) donnera
12. Signes des moments X«„ X., X'. — Les nombres (â et y étant positifs et plus petits que -> les rapports ci-dessus désignés par \ et |, ont respectivement le signe de i-l-r — (i-i-î)y et de i + q — (i-H r) j3; or g et r n'atteignent pas l'unité, de façon que {i-\-q)y et (i + r)p sont aussi <Ci y ei à fortiori moindres que 1 4- r et 1 + 5. Donc $ et |i ne peuvent qu'être positifs; donc aussi :
Une charge isolée produit toujours des moments /léchissants positifs (*) sur les appuis extrêmes de la travée qui la supporte.
Ce théorème s'étend immédiatement au cas d'une charge composée d'un nombre quelconque de charges isolées, en vertu du principe de la superposition des effets rappelé au n* 5. Puisque chaque force élémentaire placée dans l'intervalle A«H-i A» donne lieu à un moment positif, soit en A«.i, soit en A«, l'ensemble de toutes ces forces produira, en l'un ou l'autre de ces points, un moment qui sera la somme de quantités positives, et partant lui-même positif.
Maintenant je dis que Ç' et X' sont, au contraire, toujours négatifs. Ces deux quantités ont évidemment même signe, et pour établir que $' a le signe — , il suffit d'établir qu'on a
car alors r^ 4- çÇi, qui se trouve nécessairement compris entre Ê et Ç„ sera lui-même <!, et la formule (20) donnera $' négatif. Or l'inégalité \ < i revient à
(3(i-hr) — (i-+-(/)(3y<i — py,
ou, en réduisant, à
(3(i-^r)<i-hj(3y,
(*) Le sens considéré comme positif est ici (aussi bien que dans l.es autres parties de cet ouvrage) celui qu'on a défini au n» 1 : quand, pour avoir le moment fléchissant relatif à un point, on ealcule la somme des moments des forces comprises entre ce point et Tune des deux extrémités de la pièce, on prendra positivement le moment des forces verticales descendantes.
Googk
43 CHAPITRE PASMIBR.
inégalité évidente, car on a déjà remarqué que ^(i + r) n'atteint pas l'unité, tandis que le second membre la dépasse. La même démonstration s'appliquant à Çi, il en résulte donc que 4' et X' sont négatifs. Donc :
Une charge fsolée produit toujours un moment fléchissant négatif en son propre point d^application.
13. Représentation graphique des moments produits par une charge isolée. — Ldi fîg» 4 (^^- ^» ^ 'a ^^ du volume) est destinée à rendre sensible aux yeux les résultats déjà obtenus dans les numéros précédents, ainsi que la loi des moments de flexion en tout point d'une poutre soumisse à l'action d*une charge concentrée unique. Soit, comme ci-dessus, A„|A« la travée chargée, supportant la force Q placée en B; sur Thorizontale A«, A« prolongée, marquons les divers appuis, savoir :
A«i, A«-u A»^, A,»^,,.., àgaucbedelatravée eaque3tioo, Aj», A«t4>ij AflH-», A«i+3,«- » adroite*
En A«-i et Am élevons deux ordonnées positives Afl,-,,Ê, À«G, représentant les grandeurs de Xm-i et X«, et en B une ordonnée négative BF représentant X' (n° 12). SI Ton imagine que le moment relatif à un point quelconque soit pareillement représenté par une ordonnée, en dessus eu en dessous de la fibre moyenne (suivant le signe), Il y aura sur la première série d'appuis, à gauche de la travée chargée, des moments
respectivement proportionnels ( n*» 10) à la série
l/fli i, Um—7f Un^if <^Ap 4,...;
ils se déduiront donc tous du premier X«i ou Àm-iE, qu'on aura calculé par la formule (i5); (ie plus, ils seront alternativement positifs et négatifs, et leurs valeurs absolues décroîtront plus rapidement qu'une progression géométrique de
raison — La même chose existera sur la partie de la poutre
qui est située à droite de A«», les moments
/Wflii Aan-i». \«i-^7» Xfli-|,3, . . r,
Googk
POVTEES A PJLUSIBUA» THàVéSS^ EU GÉNÉRAL. 4^
étant proportionnels aux termes de la série
Malmenant, après avoir ainsi détemuné toutes les ordonnées relatives aux appuis ainsi qu'au point B, et les avoir reportées sur la figure, qu'on joigne deux à deux par des lignes droites leurs extrémités consécutives» on construira de cette manière le polygone «..USPEFGILN..*, dont les ordonnées représenteront le moment de flexion en chaque point de la poutre. C'est en effet une propriété bien connue que, dwcis une pièce droite soumise à des forces transversales discontinues, le moment de flexion est une fonction linéaire de l'abscisse, dont la forme reste constante dans Tintervalle de deux forces consécutives, en comptant, bien entendu, parmi ces forces les réactions des appuis. Cette propriété se retrouverait, au besoin, par la for» mule (4) du n*" i, car dans les travées vides la fonction 9 (x) s'annule, et dans la travée chargée <^{x) a deux formes difCé-* rentes, toutes deux linéaires» l'une applicable k la portion A«^iB, l'autre à la portion A»B«
La simple considération de la^. 4 donne lieu à quelques remarques qui ne sont point sans intérêt. Faisons d'abord observer que si la charge Q se déplace uniquement entre les appuis A,!-,, Am, les ordonnées sur les appuis situés, d'une part à gauche, d'autre part à droite, forment deux séries dans chacune desquelles la grandeur absolue des termes varie avec la position du point B, mais les signes ainsi que les rapports mutuels de ces termes restent constants. Toutes les ordonnées de la portion EPSU. . . et celles de la portion 6ILN. . . sont donc multipliées chacune par un rapport déterminé et positif; d'où il résulte immédiatement que les points . . .T, R, 0, H, K, M,. . , , demeurent immobiles, et aussi que le signe du moment de flexion en un point quelconque reste toujours le même pendant que la charge se déplace dans une même travée, hors de celle où ce point se trouve situé.
Si la charge vient à passer de la travée A«.i A^ dans la suivante A„A„4.„ l'ordonnée en A« reste encore positive, car elle devient l'analogue de ce qu'était d'abord Am-i£; mais le rapport des ordonnées aux extrémités de la travée A«-i A*, main-
Googk
44 CBAPITftB PEBXIBA.
tenant vide, étant -^^j c'est-à-dire négatif, l'ordonnée eu A««,
a dû devenir négative ; d'ailleurs, les mêmes rapports se sont conservés entre les ordonnées sur les appuis à gauche de A^^t, et les points O, R, T, . • . n'ont pas changé : donc le signe du moment de flexion en un point quelconque change à chaque fois que là charge, en se déplaçant toujours du même côté de la travée qui contient ce point y vient à franchir un appuis et par conséquent il se conserve ou se modifie suivant que le nombre des appuis traversés est pair ou impair.
On vient de reconnaître que les intersections O, R, T, . . . du polygone représentatif avec l'axe des abscisses restaient les mêmes quand la charge parcourt toute la partie de poutre prise à droite de Am-i* Ainsi, dans une travée donnée, le point analogue à est unique, tant que la charge varie en position, en dehors et d'un même côté de cette travée, de sorte que toutes les droites représentatives, telles que EP, forment un faisceau concourant dont le sommet se trouve sur la fibre moyenne. Mais il est bon de remarquer que ce sommet change dans la même travée, et qu'on obtient un autre faisceau ,de droites représentatives, quand la charge se déplace de l'autre côté de cette travée et toujours en dehors. £n effet, B étant pris à droite de Am-,, nous avions
tandis qu'en le prenant à gauche nous aurons
Afl,-2P ^/i-w+i
rapport encore constant, mais différent du premier, qui assignera au point de rencontre de PE avec l'axe une situation différente.
Si l'on voulait calculer la distance Am-sO, il faudrait poser la proportion
A„«aO : A«-»0 :: A«-,P : A«-,E :: w«-, : — «««i.
Googk
POUTRES A PLUSIEUBS TRAVÉES, EN GÉRÉRAL. 4^
d!oii, componendo.
et par suite
A«-aO = A*aA«^.-
Le rapport ^^ n'est autre chose, pour la travée Am^» A/»,,
que celui qu'on a désigné en général par p (n" 10) ; la fraction ^^ est donc —7-3» et comme (3 ne dépasse pas -y
elle ne dépasse pas ^- Le point se trouve, comme on voit,
dans le premier tiers de la travée, à gauche si la charge se meut à droite. Quand on la fait mouvoir à gauche, il est bien évident qu'il faut substituer y à p, et le sommet du second faisceau se trouve alors dans le premier tiers vers la droite. On remarquera enfin, vu la décroissance rapide des ordonnées, des deux côtés de Am-i A™, qu'une charge Q peut produire des moments de flexioQ plus ou moins sensibles dans sa tra* vée et dans les deux travées adjacentes; au delà les moments deviennent relativement petits et tendent à s'effacer de plus en plus, à mesure qu'on s'éloigne davantage de la charge.
14. Observation sur le signe du moment fléchissant aux divers points de la travée qui porte la charge. — Nous avons étudié ci-dessus (n® 13) les changements de signe qu'éprouve le moment de flexion en un point quelconque, pour toqte position de la charge Q en dehors de la travée qui le contient; il s'agit d'examiner maintenant le cas où la charge et le point seraient tous deux dans une .même travée A«iA« (Jig*^)*
On sait déjà (n*» 12) que les ordonnées A»,-iE et A^G sont nécessairement positives, tandis que BF représente un moment toujours négatif; ainsi, la charge étant en B, on aura des moments positifs en des points suffisamment voisins des appuis, dans les portions Aa,,C, A«D, et des moments négatifs dans le restant de la travée, entre C et D. Mais ce qui est
Googk
46 CBAPITHE PREMIEH.
intéressant à connaître, c'est qu'il y a pour chacune des longueurs A«.|C et AmD une limite supérieure; que la somme des deux limites n'atteint pas la longueur totale Âm~iA«; que, par conséquent^ les moments de flexion resteront forcément négatifs dans une certaine région centrale où ne pourront entrer les points C et D, quelque position qu'on fasse prendre à la charge, dans l'intervalle des appuis A».i, Am* C'est ce que nous allons établir.
Pour déterminer C, on a la proportion
