III
5o , CBAPIT&B PftBMlEn.
soudrait l'équaiioa (21) par rapport à 9, après y avoir mis an lieu de r^ S, Ç, leurs valeurs en fonction de 9. On saurait ainsi où Ton ck)it pla* cer Q pour que Tintersection de la droite EF avec Taxe des abscisses ait lieu en un point donné C. Maintenant , puisque ce point d'intersection s'éloigne de A^', en même temps que Q, il est clair qu*en éloignant Q on rendrait positif le montent de flexion au point C et qu'on aurait l'effet inverse en mettant Q plus près de A^,. On constate d'ailleurs aisément que réquaftioB à résoudre est du second degré : sa résolution numérique serait donc toujours fort simple, mais en la traitant algébriquement bou& n*avons trouvé aucun résultat remarquable. Nous n'entrerons donc pas, dans plus de détails à ce sujet.
i5. Cas particulier d'une traitée extrême. — A partir du n® 11 inclusivement, nous avons toujours raisonné dans l'hypothèse où Tindice m serait quelconque : voyons maintenant comment les. résultats se modifieraient pour s'adapter au cas de /n = 1, l'appui A«, se confondant avec l'extrémité A..
On sait déjà (n® 10) que, la charge étant mise sur la pre-
mière travée, il faut faire S=s=o, y = > dans les formules
qui donnent X..., et Xm, soit X« et Xi; on a ainsi
X.= o, X»=)/Qaqr(i-+-ç), et, en répétant les calculs du n° 11, il vient
X'=:çX, — Qaqr,
1=0, Ç.= y(i-hç),
Ainsi done Xi esl toujours nul ( et il le serait même en plaçant la charge en un point quelconque hors de la première travée); X, est positif; au contraire \' et X' sont négatifs, car on a
et par conséquent
Qn, retrou^ve donc ce q;Ui a été démontré au n^ tây sftuf qjue X«, devient toujours nul au lieu d'être positif. Maintenant, si l'on construit la figure analogue à la Jig, 4» H
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POUTRES A PLUSIBUR8 TRAVÉES, EN GÉffÉRAL. 5l
faudra ;supprimer toute la portion à gauche de Am^t, et faire Am-iE=o; les points E et C se confondront arec Xm^u et la droite ECF partira de ce dernier point : rien ne sera d'ailleurs changé:
Quand on fera varier la position de la charge hors de la travée AoAi, ce qui a été dit (n® 13) sur les changements de signe du moment en un point déterminé pris dans cette travée s'applique toujours; seulement, les droites représentatives, au lieu de former deux faisceaux concourants, n'en forment plus qu'un seul, attendu qu'elles doivent toutes passer en Ao. L'un des deux faisceaux qui existaient primitivement a
ce point pour sommet, puisque —-^-jss'ainnule avec ^$ l'autre
n'existe plus, parce qu'il répondait à une charge variable dans des travées supprimées, savofr : celles dont l'indice n'est pas supérieur km — i.
Il ne nous reste plus qu''à chercher les limrtes dfe la région où les moments de la travée A.A, sont forcément négatifs, quand la charge va de Ao à A|. Nous avons dit tout à l'heure que le point C (fig*^) coïncide avec Ai», ou A«; les moments sont donc négatifs depuis ce point jusqu'à D, et tout se réduit à chercher le maximum de distance encre ce dernier point et km OU A,. Or, un calcul de triangles semblables, tout patreil àcelui par lequel nous avons démontré la formule (21), donnerait pour le rapport / de tia distance A^D à la longuetir totale de la travée
i+i^fç.-?)
expression composée avec r, Ç, et $ comme le second membre de (21) l'est avec 9, ^ et Çi. Il faut d'ailleurs faire $ = 0, d'où résulte
Lorsq^u'on fait varier f de o à i, - varie donc de i H — à co ; le
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5a CIIAVITRE PREMlklt.
minimum de - est donc
et par conséquent le maximum ii de / a pour valeur
C'est ce qu'on avait déjà trouvé dans le cas général. Les deux limites de la région centrale des moments négatifs dans la travée A, A, ne sont donc modifiées que du côté de l'extrémité A« de la poutre ; de l'autre côté, la limite se calcule comme dans le cas d'une travée de rang quelconque, tandis que du ' côte de Ào la région centrale s'allonge jusqu'à l'appui.
En résumé, on voit qu'on peut appliquer aux travées extrêmes tout ce qui a été fait et dit pour les autres; seulement il faut tenir compte de ce qu'on a
P=ï=o pour A«A,, )/=o pour A^-iAft,
et de ce que la charge ne peut varier en position que d'un seul côté de la travée.
16. Des plus grands moments de flexion que puisse produire une charge concentrée, — Une charge Q étant placée dans la travée A^^jA^ et concentrée au point B {fig. 4)) produit aux divers points de la pièce des 'moments représentés par la ligne polygonale . . . USPEFGILN. . .; il est visible, par la figure même, que ces moments pris en valeur absolue passent par une série de maxima répondant aux points d'appui et au point B. Ces maxima sont les ordonnées
et enfin fiP. D'ailleurs A^.jE surpasse toutes les ordonnées à gauche de A^„ et A^G celles qui sont à droite- de A„ (n** 13) : le maximum absolu est donc Tune des trois lignes A^, E, A^G, BF. Si l'on désigne par A, B, C leurs rapports respectifs au produit Q/ï„ ou Q^r, on aura d'abord
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(nMO) :
et ensuite (n°11) :
OU bien, en remplaçant Ç et Ç, par leurs valeurs et réduisant) eu égard à la relation gr h- r = i ,
Nous nous proposons d'examiner ici comment varient ces trois coefficients A, B, C, proportionnels aux plus grands moments produits par la charge Q, dans une position donnée, et surtout de signaler les maxima qu'ils peuvent atteindre :
i"* Quand une poutre est définie complètement, ce qui entraine des valeurs fixes pour p et 7, mais qu'on fait varier la position de la charge dans sa travée, c est-à-dire les nombres g et r, entre leurs limites respectives o et I, I et o;
2? Quand la disposition des appuis à droite et à gauche de la travée chargée est censée indéterminée, ce qui permet de faire varier aussi p
et 7 entre les limites extrêmes o et - dont la signification a été indiquée
(n«9etl0).
Maxima des coefficients A et B. — Quand q et r varient seuls, A varie proportionnellement à
qr(i-tr)-{i + q)(jry OU bien à
Désignons cette expression par ^ et prenons sa dérivée relativement à g ; nous aurons
dy La dérivée —■ devient, pour y = o, égale à 2 — 7, valeur positive ; pour
7=1, elle prend la valeur négative 27 — 1; la fonction d'abord croissante avec q finit par devenir décroissante. Dans l'intervalle elle passe
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54 CHAPimE PMKlUfta.
par un maximum répondant à équation du second degré qui donnç
nous n'écrivons pas le signe + du radical qui rendrait la valeur de q supérieure à i, comme il est facile de s*en assurer. Pour substituer cette expression dans j, on formera les facteurs
