r/-7(i4-7) = Y:j:^^a(i-+-7)--i-hwi(i
= ÎTq^3[7-^(i~7 + 7M + (i-7)Y/[^^ Multipliant ces deux égalités membre à membre, on obtient pour le maxi-
et partant, pour le maximum correspondant A, du coefficient A,
Il est clair que B aurait un maximum analogue B, qu'on obtiendrait en permutant ^ avec 7, et dont il est inutile d'écrire la valeur.
On peut maintenant former une table à doubla entrée faisant connaître A,< en fonction des arguments ^ et7 : cette table, la voici, quand on attribue aux deux arguments les valeurs o, 0,1, o,a, 0,3, 0,4, OfS,
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POUTHES a PLTTSIlBtJllS TRAVÉES, EN GÉNÉRAL. 55
Tableau des valeurs de A^.
VALEURS DU MAKIXUM A, POUR p =^
VALEUR
corres-
pondante
de y.
0,OOÔO
o,ii55
o,oa34
Le. même tableau sert au calcul de B, : il faut seulement, comme on l'a dit, permuter p avec, 7, et g avec r. Exemple ; pour p = o,a, 7 = 0,4, la valeur maximaute de r serait 0,8924, et Ton aurait B, = 0,1876.
Ce tableau montre que : i*' pour produire le maximum du moment sur un des deux appuis de la travée qui porte une charge concentrée^ il faut placer celle-ci ^ non au milieu de l'intervalle des appuis, mais à une distance moindre à partir de l'appui dont on s'occupe; cette distance varie
entre o,4!fc26 et ^ de la travée, suivant que l'autre appui se rapphoche
plus ou moins d'un appui simple ou d'un encastrement, par l'influence de la solidarité des travées (*); a" /^ maximum A, crott avec p et décroît quand 7 augmente, c^est-à-dire que le maximum du moment sut l'un des appuis qui terminent la travée chargée crùtt de plus eri plus à mesure que cet appui se rapproche de l'encastrement et que l'autre ^en éloigne davantage.
(*) Tous les supports A,, A,, A,,..., A„,, A„,.., sont toujours censé» constituer une série d'appuis simples, c'est-à-dire que chacun d'eux rend fixe un seul point de la fibre moyenne. Mais il peut se fkire que la tratée Â^j A„^,, par exemple, diminue, indéfiniment de longueur, et alors le point A^, se change en un véritable encastrement, puisque Télémént A^.^A^^j dé la fibre moyenne conserve une position invariable; dans ce cas le nombre /3 de la travée suivante A^j A^, ainsi que le nombre y de la travée précédente A^3 A„j,
deviennent égaux à la limite ~» comme on l'a déjà vu (n^ 9). De même le
nombre y de la travée A,„, A,„ prendrait la valeur - si les appuis A,^,, A,„^j
se rapprochaient au point de se confondre. Au contraire, si la poutre finissait en A„, , ou si la travée A„^^^A.„, était précédée d'une autre infiniment longue.
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56 GHAPITBE PREMIER.
Ces conséquences pourraient se démontrer, au moyen de rekpression analytique de A,, plus rigoureusement sans doute que par le calcul numérique, mais aussi beaucoup plus longuement et péniblement.
Maxima du coefficient C. — Le coefficient C varie avec q proportionnellement à la fonction
calculons sa dérivée en considérant r comme fonction de q^ et égalons-la à zéro : nous trouvons ainsi pour condition du maximum
o = r — y — Pr^ (i -+. r) -4- P7(ar 4. 3r^) -^ 7 7* (i -H 7) — tr^yi -4- 37^) -h kqr^l^r-^ q\
soit, après quelques réductions faciles à voir,
/. — ^-|apr(i — ar*) — 277(1— a^') -f- ^^qr[r — q) = o.
Cette équation détermine la valeur maximante de 7 ; eprès le remplacement de r par I — 7, elle est du troisième degré en 7, de sorte qu'il faudrait se jeter dans des calculs inextricables pour en avoir les racines sous forme algébrique, et en conclure Texpréssion du maximum cherché. Nous nous contenterons donc de signaler des cas où son degré s'abaisse , d'indiquer dans tous les cas deux limites qui comprennent les racines, et enfin de donner un tableau des racines correspondantes à diverses valeurs numériques de p et 7.
i** Si l'on suppose P = 7, l'équation devient
/•— 7H-afS(r— ar' — 7-I- ^q^) -h 4^^qr{r ^ q) = o, ou bien
(r— 7){i H-aP(i — 27^— a7r— ir^)-hip^qr] = o.
Attendu qu'on a
son nombre /3 s'annulerait, et l'appui A^, jouerait le rôle d'un appui simple de la travée A,„, A^, relativement aux charges placées sur cette travée (n^ 10). Une remarque entièrement analogue peut être faite au sujet de A„, et du nombre y de la même travée.
Enfin, la disposition des travées contiguës peut faire passer ^ et ;^ par toutes les valeurs intermédiaires. Quand nous disons que A,„| , par exemple, se rapproche d'un appui simple ou d'un encastrement, il faut entendre que /3 se
rapproche de o ou de~t et avoir présentes à l'esprit les observations ci-dessus.
Ce n'est là, en effet, qu'une manière de parler, qui ne suppose pas qu'on ait change la nature de la liaisop entre la poutre et chacun de ses appuis.
POUTUBS a plusieurs TRlVéBS, EN GÉNÉRAL. 5 7
il en résulte
y* -h 2yr -!-/•'= I, et par conséquent
^(q^ + qr + r^) = 2(1 — ^z*); donc aussi
(r - çr) [i-f- ap ( - iH- a^r) + 4P'^r] = G.
Or la quantité entre crochets peut s'écrire
(,aP)4-4Pç,r(H-p),
ce qui montre qu'elle ne s'annule par aucune valeur positive de q et r, puisque i^a^ est toujours positif. Donc l'équation du maximum donne
qz= r= ->
seule solution admissible dans le cas particulier de ^ = 7. . Les valeurs ^ =-7 r = -? introduites en même temps que P = 7 dans l'expression générale de G, donnent pour sa valeur correspondante
8(1 -hp) 2^ Si l'une des quantités ^ ou 7 prend la valeur limite - 9 quelle que soit l'autre d'ailleurs, l'équation s'abaisse au second degré. En faisant, par exemple, p = -? elle prend la forme
r — q ^ r --^ ar^ — '^yq(i — a^' — r^ -f- qr) = o, ou bien
ar(i ~ r') — q[i -f-a7(i — a^' — r^ -{- qr)'] = o.
On peut alors supprimer le facteur y ou 1 — r, et l'on a
ar(i-i-r) — 1 — 27(1 — a^' — r' -\-qr) = o,
soit, en mettant .1 — q sm lieu de r et ordonnant,
a^M» 4- 47) - 6^(ï 4- 7) + 3 = o; d*où l'on tire
^^ous excluons le signe + du radical, parce qu'il donnerait 7 > 1 1 comme on peut le voir facilement.
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De même, si 7 était égal à -) on trouverait par une permutation de lettres
, 3(i + p)-v/3(i-2p+3[^-) et par suite
3° Si p et 7 sont quelconques , la valeur cherchée de q se trouvera toujours comprise entre les limites
\Jl-\ , 3 - v/3
^ et — ,
qui répondent respectivement àp = o,7 = -î etàp=-î 7 = 0. Substituons en effet ces nombres dans Téquation, nous obtiendrons les résultats :
pour<7 = ^^ "' »••■ (2~/3)(i-27)-h2p/3(2 — v/slMi-^-VÎTpour^ = ?-^:^ (2 - v/3) (i- aP) - a7 v/3 (2 - v/3)'(i4- p).
Comme le premier est toujours positif et le second toujours négatif, la racine de l'équation est bien entre ces valeurs de q.
4° Si Ton permute ensemble p et 7 d'une part, <7 et r de l'autre, l'équation ne change pas. Donc, quand on aura la racine q pour un système de valeurs
I — q sera la racine correspondante à
Ces diverses remarques nous ont permis de construire sans grande peine la table ci -après où se trouvent trente-six solutions particulières de notre équation, pour autant de systèmes de valeurs de p et 7 : sur ces trente-six solutions, il y en a six immédiatement connues; sur les trente autres il suffit, en vertu de la remarque précédente (4°), d'en chercher quinze ; enfin^ sur ces quinze^ on en obtient cinq par des équations du second degré, de sorte qu'il en reate seulement dix ayant exigé des tâtonnements numériques.
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PODTRES A PLITSIBUKS TRATÉES, EN GÉNÉRAL.
Tableau det valeun de q pour lesqueUet G devient
VALEUR MA3UMANTE DE q POUR ^ =
VALEURS dey.
o,5ouo
o,5ooo
o,4ia8
o,5ooo
o,5ooo
(Connaissant ^, on a par cela même r en prenant i — 9 : on peut alors substituer ces valeurs dans l'expression connue de C, dont on obtient ainsi les maxima C.. Voici les résultats de ce calcul.
Tableau det maxîma du ooeffioient G .
