POUR

o,25oo

o,aooo

o.ipaS

Nous avons eu soin de souligner, dans ce tableau, les nombres qui expriment des valeurs de A, ou de Bp cas auquel le maximum de G n*est pas le plus fort des trois. On voit que ce cas est pour ainsi dire exceptionnel, car il exige pour se produire que le plus grand des deux nombres P et 7 soit supérieur à une certaine limite , voisine de la limite extrême de ces nombres. Pour la déterminer rigoureusement, il faudrait reconstruire un tableau analogue au précédent, mais en procédant par différences beaucoup moindres quand on ferait varier p ou 7 entre 0,4 et o,5. L'interpolation donnera, sans autant de peine, des résultats suffisamment exacts, et voici comment : en faisant, par exemple, p = o'et 7 = 0,4, on a C, = 0,1 863, B, = 0,1 54o, A, = o, de sorte que le maximum de G surpasse de 0,1 863 — 0,1 54o = o,o323 le plus grand des deux autres; au contraire, pour p = o et 7 = o,5, A, reste nul, mais B, l'emporte sur G, de 0,1925 — 0,1740 = 0,01 85 : l'égalité se produira donc approximativement pour

32i3-hi85

Donc, si p est nul, il faudra, pour que le maximum de G ne soit pas le plus grand des trois, que 7 dépasse 0,464. Un calcul analogue répété avec d'autres valeurs de p donne :

pour p = o,i, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5,

7 = 0,458, 0,454, o,45o, 0,449, quelconque.

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POUTRES A PLUSIEURS TRAVÉES^ EN GÉHÉRAL. 6l

Ces nombres s'écartent tous bien peu de 0,45 : ainsi l'on peut dire que la condition nécessaire du fait en question, c'est que la plus grande des quantités p et 7 soit au-dessus de 0^45.

Les observations suivantes résultent encore des deux, derniers tableaux :

i** C, est une fonction décroissante de p et de 7, c'est-à-dire que plus l'un ou l'autre des deux appuis extrêmes de la travée se rapproche de l'encastrement, plus on a un petit maximum du moment de flexion dans leur intervalle.

l"" Le plus grand des trois maximums A^ B^ G, est une fonction décroissante de p et de 7, à la condition toutefois que le plus grand de ces deux derniers nombres ne dépasse pas la limite 0,45 qui rend G, inférieur à Al ou à B,. £n conséquence, la plus petite valeur du plus grand maximum parmi A,, B,, G, répond à p = 7 = o,45; cette plus petite valeur, déduite par interpolation du tableau de G, ou de celui qui donne ky et B„ sera environ o,i34o.

Au reste, on peut calculer plus exactement la limite inférieure assignée à la plus grande des trois quantités A,, B,, G„ maintenant qu'on sait qu'elle doit répondre à des valeurs égales de B et de 7. Sous cette condition il a

été démontré que G, répond à ^ = r = - ; donc

D'ailleurs, pour p = 7, on a

On reconnaît par tâtonnement que ces expressions de A^ et de G^ deviennent égales pour p = 0,4494 environ , et qu'elles prennent alors la valeur 0,1 337 • ^^ nombre est donc la limite inférieure demandée.

Le cas où la charge porte sur l'une des travées extrêmes n'a, dans la question actuelle, rien de particulier que la nécessité de supposer p=:o pour la première travée, 7 = pour la dernière. Il se trouve donc implicitement compris dans les tableaux numériques donnés ci-dessus. Seulement il n'est plus possible de faire descendre à 0,1 337 le minimum du plus grand des coefficients A^, B„ G,, puisqu'on n'est pas libre de prendre P et 7 tous deux égaux à 0,4494. Soit par exemple p = : pour rendre G^ égal au plus grand nombre A, ou B, , il faudra qu'on ait, comme on l'a vu tout à l'heure, 7= 0,464, et par suite G, = 0,1784 (nombre déduit par interpolation du tableau de G,). Ge serait la limite inférieure du plus grand des trois maximums A,, B,, G,.

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6a CHAPITRE PHEIÉIBR.

17. Bésumé dii § IL — U ne sera peul-étre pas motîle de jeter un coup d'oeil e* arrièi^ et- de fét»p\vàler lyriAt6nf«iltr les^ principaux résultats obtenus Amè le § II : de cette manière on en saisira mieux l'enchaînement et la portée.

Étant donnée une poutre de n travées, dont là fibre moyenne est assujettie par conséquent à conserver n + 1 points fixes» sans que sa direction y soit forcément invariable» nous commençons par calculer ( n*" 9)^ indépendamment de toute hyfK)tbèse par lîeallère sur la eharge» deux séries de nombres

et nous en déduisons deux autres séries

(3é> Pir (3i> . . . , (3i»;-i> Pw-^tf

Les deux premières commencent par U| = </i = i ; elles se oomposent de termes alternativement positifs et négatifs respecii- Yement supérieurs, ou au moins égaux en valeur absolue à

I, 2, 4, 8,...,2«-^ 2«-; les deux autres commencent par o et se coftlposent de termes tous positifs et ne pouvant dépasser — On a indiqué la signification des limites o et - : si dans les séries des nombres û et

y on considère ^«-4 et y,.-^» comme appartenant spécialement à la m'^^ travée» chacun des deux appuis q^i la terminent constituera, pour cette travée prise isolément, un appui simple ou un encastoement cooùplet. Suivant qu'on de» nomibres'

j3«i ou y«-^ prendra la valeur o ou la valeur— Les séries des

Uy V suffiraient à la rigueur pour tous les calculs* concernant les moments de flexion de la poutre; mais les autres sont plus commodes, surtout pour les calculs algébriques.

Cela posé, faisons agir une charge dans la m''"' travée, en un point déterminé et connu • On pourra cukuler, par des formules très-simples, les moments de flexion :

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POUTRES A PLUSIEURS TRAVÊBS, EN GÉ19ÉRAL. 63

D'abord sur tous lés points d'appui ( n<' 10) ;

Puis au point d'application de la charge ( n^ 11 );

Et enfin en tout point de la pièce (n® 13).

Nous 9vons ensuite présenté diverses remarques et propo*siiions au sujet des signes que peut prendre le moment flé^ chissaaleo un point donné, quand la charge varie en position dans toute l'étendue de la pièce. Nous avons reconnu que :

i*> Le point étant pris dans la m"*"' travée, et la charge se déplaçant dans toutes celles qui sont à la suite, le signe du moment, pour le point dont il s'agit, change toutes les fois que la charge franchit un appui, et reste le même dans le cas contraire; la même chose arrive, bien entendu^ quand 1» charge parcourt les travées de rang inférieur à m.

%"* Quand la charge se meut dans la travée même oit est le point, le moment de flexion est toujours positif au-dessus des appuis qui la terminent, loueurs négatif au point d'application de la ciiarge; on obtiendra une région cesitrale, où il sera aussi toujours affecté du signe — , en retranchant sur la* longueur de la travée, à partir de chaque appui, les fractions

— i---r > —^ — de cette longueur; les points limites de la région

des moments négatifs sont ceux où vienn-ent concourir les droites représentatives des moments de la t^ravée» quand hr charge occupe une position quelconque au dehors.

Après avoir remarqué qu'une charge placée dans une certaine travée produit, en tous les points de la pièce, des moments dont les trois plus forts, en valexrr absolue, ont lieu au point d'application même de cette charge et aux extrémités de la travée chargée, nous avons encore cherché la position du point d'application qui rend maxinmm ehaeuni de ces trois moments. Pour une série de valeurs numériques attribuées à (3 et y, nous avons indiqué cette position, qui ne coïncide pas en général avec le milieu da la. travée,, sans toutefois s'en

écarter jamais plus que de 75 de la longueur de ceWe-ci: nous

avons en outre calculé les. valeurs num^ériqiies des raaxima.

Enfin nous avons supposé qu'on était libre de chap&ger arbitrairement la disposition de tous les appuis de la poutre, sam^

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64 CHAPITRE PftBIftIER.

ceux de la travée chargée, de manière à faire varier (3 et y enlre

leurs limites o et-» et nous nous sommes demandé quelles

seraient les variations correspondantes des trois maxima. On voit alors le maximum du moment sur un appui augmenter à mesure que cet appui se rapproche davantage de l'encastrement {ou, pour parler un langage plus précis, à mesure que

son nombre (3 ou y s'approche de - h et à mesure aussi que

l'autre appui s'éloigne de la même condition ; le maximum relatif au point d'application diminue de son côté, quand les deux appuis tendent vers l'encastrement. Ce dernier maximum est généralement le plus fort des trois; toutefois le contraire a lieu quand le plus grand des nombres (3 et y excède une limite, à la rigueur variable "avec l'autre, mais toujours peu différente de o,45. Le plus fort des trois moments maxima diminue de plus en plus quand les deux nombres p et y tendent vers cette limite, égale à o,4494 po"f P = y; le plus fort des trois moments atteint alors une valeur, minimum maximorum, au-dessous de laquelle il sera absolument impossible de le faire descendre, de quelque manière qu'on dispose les appuis des deux côtés de la travée chargée, en conservant toujours sa longueur. Si l'on représente par i le plus grand moment quand les deux appuis de la travée sont des appuis simples ((î et y étant nuls), il deviendra

0,7700 quand on substituera un encastrement à l'un d'entre eux (p=o, y=t-j,

0,5924 quand on les remplacera par deux encastrements

0,5348 quand pour avoir le minimum maximorum on fera j3 = y ===0,4494.

Il faudrait donc, afin de diminuer autant que possible le moment maximum produit par une charge isolée, placée où l'on veut dans une travée, non pas encastrer complètement cette

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POUTAES À PL178XB0RS TftAVÉES, EN GÉHÉRAL. 65

travée sur ses deux appuis» mais s'arranger pour avoir 'p =: y =o,4494> c'est-à-dire pour avoir ( s'il est permis de parler ainsi) neuf dixièmes d'encastrement.

S'il s'agit d'une travée extrême, on n'est plus libre de faire varier les deux noiîabres (3 et y, car l'un d'eux a une valeur fixe égale à zéro. La valeur la plus favorable de l'autre est alors 0,464 environ; et si l'on représente encore par t le moment maximum dans l'hypothèse {3=o, y=o^ ce maximum de- Yiendra

0,7700 quand l'appui non placé à un bout de la poutre sera un encastrement,

0,71 36 quand les travées à la suite de cet appui seront disposées de manière à donner la valeur o,464 à celui des nombres p, y qui n'est pas nul.

Nous passons maintenant à l'étude des moments qu'engendrerait une charge uniforme s'étendant sur la longueur complète d'une travée.

§ m. — Des moments de flexion produits par la charge vmfome d'ime seule travée.

18. Moments au-dessus des points d'appui. — Une seule travée de la poutre étudiée au § II supporte une charge uniformément répartie sur sa longueur entière, et toutes les autres sont supposées vides; il s'agit d'abord de déterminer les moments de flexion qui ont lieu dans les sections de la poutre faites au-dessus des points d'appui. On peut résoudre la question en se servant des formules du n" 10, combinées avec le théorème général sur la superposition des effets des forces. Soit Am^iAmi^g- 3, p. 34) la travée chargée, pa^ ou simplement pa la charge totale, calculée à raison de p kilogrammes par mètre courant sur toute la longueur a» ou a de cette travée : on décomposera le poids pa en une infinité de poids élémen-* taires, dont l'un sera placé aux distances qa, ra des points Am-i, An,9 et aura une inlensiié padq; pour les avoir tous, il suffira de faire varier le rapport 5 de o à i. Au poids élémentaire . padq répondent, en A»,-.! et A«, les moments de flexion rfX««,

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66 CHAvirmE phemiea.

BtdXmf donnés paries formules (i4) et (i5), où Ton remplacert Q p9irpadq, en conservant d'ailleurs le $ens des autres notations; on a donc

L'intégrale de ces équations, prise entre q=o et q = if donnera les moments X41.1 et Xm produits par l'ensemble des poids élémentaires, c'est-à-dire par le poids total pa : donc

la question est par conséquent ramenée à la recbercbe des deux intégrales définies qui entrent dans les expressions cidessus, fiemarquons en premier lieu qu'elles sont égales, car la relation

q-hrz=zi

entraîne, comme conséquence immédiate,

rfr=: — dq,

et par suite, si Ton prend r pour variable au lieu de 9,

{i'^r)qrdq = — j {i-^r)qrdr= l {i^r}qrdr;

or, la dernière intégrale ne diffère de I (ï + q)qrdq que par"

le changement de 9 en r et inversement, et partant elle lui est égale, puisque 9 et r sont liés par une relation symétrique et varient dans les mêmes limites. D'un autre c6té, on a

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POUTRES A PLCSIEU&S TRAVÉES, EN GÉNÉRAL. Ôj

donc enfin nous pouvons écrire les formules

Les mêmes formules se démontrent peut-être plus simplement encore en les cherchant directement, sans employer le principe de la superposition des effets. En effet, si nous continuons toujours à supposer parfaitement fixes les points de la fibre moyenne primitive qui se trouvent au-dessus des appuis, et que nous appliquions en conséquence Féquation (lo) du n*» 6 à tous les groupes de deux travées consécutives, nous retrouverons identiquement les équations (ii) du n*» 10, à part cette différence que la (w — i)""' et la m'''^ auront pour second

membre jpaji,, au milieu de Q««?r(n-r) etQa^qr{i + q).

Pour résoudre un parfeîl système d'équations, il n'y aurait donc qu'à effectuer, dans les formules 4u n"* 10, le remplacement

de Qa«gr(i + r) et Qa„qr{i-\-q) par jpa!^, ce qui, entre

autres résultats, reproduirait les formules (i) et (2J cl^dessus, où a signifie d'aiUeujrs la méiae chose que a».

Les m — 2 premières équations (ii) du n" 10 subsistant sans modification dans le cas actuel, ainsi que les n — m — i dernières, il en résulte que les moments

^i> A-i, X.3, • • • 9 A-nt— 3» A||i-i,

doivent encore former deux séries, dans chacune desquelles les termes ont conservé les mêmes rapports deux à deux, exprimés par les nombres

Ui, Ui, U%y . . . , Um~^if Un^t

pour la première, et par

68 CpAPlTRE PREMIER.

pour Tautre. Ainsi donc, après avoir calculé Xm-i et \m, on obtiendrait les autres moments sur les points d'appui par l'emploi des nombres w et v (n®9), ou, ce qui revient au même, en faisant usage des formules (16) et (17 ) du n® 10.

Dans le cas particulier ou la charge porte sur Fune des tra* vées extrêmes, F un ou Taulre des procédés de démonstration dont nous venons de faire usage conduit très-facilement à reconnaître qu'on doit faire (3 ou y égal à zéro. Si par exemple la première travée est seule chargée, il faudra supposer (3 =0, et Ton aura, par les formules (i) et (2),

(3) \^='^pa]y.

On obtiendrait ensuite les moments sur les autres points d'appui, au moyen du même procédé que dans le cas général; seulement on n'aurait plus à considérer que ce qui se passe d'un seul côté de la travée chargée, l'autre étant supprimé.

«19. Du moment de flexion en un point quelconque, dans une travée non chargée» — Supposons qu'on veuille construire, pour les moments de flexion produits par le poids pam, une figure- représentative analogue à la^g*. 4 (n» 13). Après avoir marqué sur une horizontale la position des divers points d'appui . . . A«-aî A«-i, A«, A«+i,. . ., on élèvera en ces points des ordonnées proportionnelles aux moments correspondants. Les ordonnées Am-i£, AmG auront pu changer de grandeur, mais elles resteront encore positives, car les formules (i) et (2) con~ duisent toujours à des valeurs positives de X««, et de X«,

puisque (3 et y ne varient que de o à — D'un autre côté, les

rapports entre les diverses ordonnées

A«-iEi A«..jP> A«8S, . . .

n'auront pas changé (n^ 18), et il en sera de même pour les ordonnées

Amtr, Am+tl» Afli+jL,. ...

Enfm, quand on aura construit toutes ces ordonnées, on devra

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. POtlTAES À PLUSlBtJAS TRATÉBS, £N GÉKÉRÀL. 6g

encore joindre par des lignes droites leurs extrémités consécutives, pour avoir la ligne représentative des moments de flexion dans les travées non chargées. En effet, Téquation (4) du n" 1 le prouve, en y faisant 9(5?) =o; et d'ailleurs le fait est bien aisé à constater directement : il suffit de remarquer que s'il n'y a aucune force appliquée dans Finiervalle de deux sections, le moment fléchissant dans chacune d'elles se compose d'une série de moments partiels, qui varient tous uniformément lorsqu'on passe de l'une à l'autre.

On voit donc qu'il n'y aura rien de changé dans les portions EPSU. . ., GILN, . . de la ligne polygonale dont les ordonnées représentent les moments fléchissants, sauf toutefois la grandeur des ordonnées A„-,E et A^G; mais dans chacune de ces portions, toutes les ordonnées conservent leurs signes et leurs rapports entre elles. Nous en conclurons, par la répétition exacte des raisonnements faits au n® 13:

I*» Que si la charge parcourt successivement les diverses travées, en restant toujours, soit à droite, soit à gauche d'une travée fixe, le signe du moment de flexion, en un point déterminé de la travée fixe, change à chaque fois que la charge (couvrant toujours la longueur entière d'une travée unique) franchit un nouveau point d'appui;

2*> Que les diverses droites représentatives des moments de flexion dans la travée fixe, droites dont chacune se rapporte à une position déterminée de la charge, forment deux faisceaux concourants sur la fibre moyenne, dont les sommets occupent une situation identique avec celle qu'ils avaient dans le cas de la charge concentrée.

Ainsi, en nommant a la longueur d'une travée, p et y les deux nombres qui s'y rapportent, dans les séries (3 et y (n*» 9),

il y aura un sommet à la distance -q^ô de l'extrémité gauche

de la travée, et un autre à la distance— j^ de l'extrémité

droite.

Pour une travée extrême, les deux faisceaux se réduisent à un seul, dont le sommet coïncide avec l'extrémité de la poutre (n« 15).

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JO CmàWlTKB PBEMIEV.

30. Du moment de flexion en un point quelconque de la traitée chargée. — Soit toujours A«.i A^ cette travée : en nommant X la distance entre l'appui Am^i et une section quel* conque où le moment de flexion est X, et conservant les autres notations des numéros précédents, on aura (n"* 1 )

\ = X..t'h{\^—\^^)^ — ^px(a — x);