CI
11 s'agit de discuter cette expression.
A cet effet, imaginons que sur la ligne Am-iA«, prise pour axe des x {fig, 5 ), on porte en chaque point une ordonnée
égale à X, de manière à con* ^' ' struire la courbe représenta-
tive EDKFG. Cette courbe, d'après la forme de son équation, sera une parabole du second degré, tournant sa concavité du côté des X positifs. On sait déjà (n"" 19 ) que ses ordonnées extrêmes A«.t£ et AmG sont positives; mais une propriété très-Importante à établir, comme la suite le montrera, c'est que cette parabole a deux intersections, toujours réelles, avec Taxe des ^, entre A«, et A«; c'est, en second lieu, que ces Intersections D et F comprennent toujours entre elles les points B et C, sommets des faisceaux concourants qui représentent les moments de flexion pour le cas où la charge n'est pas dans A«,A;» (n*» 19). En d'autres termes, les points D et F ne deviennent jamais imaginaires, et de plus on a
Pour le démontrer, remplaçons dans X les moments X«-i et \m par leurs valeurs (i) et (2); il viendra
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POUTRES À PLVSIVUmS nUYiBft, EN GÉHÉRAL. ^i
OU bien
^X^x' r y-p Ix 'P(.-y)
/>a' a' L 2(1 — Py)Jrt"^2(t— py)
Ce«i posé, faisons dans l'équation ci-deasus x égal à l'abscisse du point B, c'est-àrdire
le résultat de la substitatlon sera
Vi + p; L 3(i-Py)J. + (3^a(.-Py)' ou bien, en réduisant.
Ce résultat est nécessairement négatif, puisque p est un nombre positif compris entre o et-; donc le moment X devient
négatif en B, et comune il était positif en Am^», il a dû s'attMiler dans rîntervalle^ en un point iel que D. La même démonstra<tioa établit» sans y rien ajouter, que X s'annule aussi pour un point F compris entre C et Ah,, car ce qui est vrai d'une manière générale pour le c6té gauche d'une travée doit l'être aussi pour le côté droit, que rien, au fond, ne distingue de l'autre : il aurait suffi de compter les x à partir de A», et de permuter p avec y pour avoir à refaire sur le point F exactement les mêmes calculs que sur le point D. Ces pointfS occupent donc bien la position que nous avons indiqué^*
Les mêmes propriétés se déduisent encore, par des raisonnements bien simples, des résultats généraux obtenus au § IL On sait, en effet (n*» 14), que l'un quelconque des poids élémentaires qui, par leur réunion, forment la charge totale pa^ donne lieu à des moments de flexion forcément négatlD^ dans une certaine portion centrsJe de la travée, précisément entre les points B et C. Donc, en superposant tous les effets partiels (n*» 5), on obtiendra toujours en B et C des moments négatifs, c'est-à-dire des ordonnées négatives pour la courbe
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y 2 CHAPITRE VKEMIBR.
ËDKFG; on en conclura, comme ci-dessus, qu'elle coupe Taxe des a: dans rintervalle Am-iB et dans Tintervalle AmC; elle ne saurait du reste le couper ailleurs, puisque cette courbe est une parabole du second degré.
Les dislances Am,D, A«F ou les abscisses des points D et F doivent satisfaire à Féquation X = o, qui donne
^'^> a' L 2(i-Py)J^i^2(i-Py)- '
de là on déduit
(•-Py)~VL 2('-Py)J »-Py
-I y~P -i-t/ ('-P)('-y) , '/ y-P y - 2(,-py)=^V . »-Py "^4V-Py/
Le signe -r- du radical répond au point D, le signe + au point F. '
Considérons maintenant les distances A^^iD et A«F comme fonctions des variables |3, y, et demandons-nous les états de grandeur par lesquels elles peuvent passer. La distance A«,D satisfait à Féquation (4)» ^t sa valeur dans la formule (5) répond, comme nous l'avons dit, au signe -^ du radical; imagi^ nons cette valeur mise à la place de a: dans l'équation (4) et dîfférentions celle-ci par rapport à y. Nous trouvons ainsi
2£rf£r y— (3 Ida: a: i— p» P(i— P)
a» rfy L' a(i-x-Py)Jarfy"^2a*(i— py)» î^(i|3y)»— °'
ou, en ordonnant,
or, le radical de la formule (5 ) étant désigné par R, on a ici
£f=,__yz:l__R.
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PO0TRBS À PLVSIBUmS TBATÉB5, EH GÉHÉBÂL. ^3
donc la dernière équation donne
dx I — 3 Vx, ^, «1
Il en résulte que Am-iD est une fonction décroissante de y,
car on sait que - est <[ — *--3, de sorte que la dérivée -y- est ^a^ï + P ^ ay
négative. Les valeurs extrêmes de Aj^^iD répondent donc aux
limitesy = o, y = -» et sont respectivement, d'après la formule (5):
pour y = o,
La première expression, proportionnelle à p, varie de o a 7?
lorsque (3 passe lui-même de o à -*, la seconde, ayant sa dérivée proportionnelle à
quantité forcément positive pour (3<-9 prend ses valeurs extrêmes quand on fait p = o et j3 = -» ce qui donne o et
Ainsi donc la longueur A«-|D ne dépasse pas
j de celle de la travée; il en est de même^ évidemment, pour
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74 GBA^VTRB PHVHIBH.
Le tableau ci-après donne une idée encore plus complète de la'manière dont varie A„-,I); il fera connaître aussi A«F en permutant lea apgumems p et y.
Tableau des ▼aleuri de la diitanoe A^,D {fi^. 5)^
