UX)::^Y{X)-^,{X
\ ^,{x)=^{x)-f,{xy
Toutes ces fonctions sont encore, d'ailleurs, linéaires ou
paraboliques, ces derrières ayant - x^ pour terme du second
degré; mais il y a cette différence avec le cas général, qu'elles doivent toutes s'annuler pour ^ = o.
2®. Observations au sujet des théorèmes précédents. — L'en-
loi CHAPITHE PREMIER.
semble deà propriétés établies dahs le présent paragraphe» et surtout aux rt** 26 et 27, nous paraît Traitkient digne d'être remarqué. G*est un fait assez étonnant à priori, quand on n'en connaît pas encore la démonstration, que, quels que soient le nombre des travées d'une poutre et l'espacement relatif de ses appuis, le polygone mixtiligne représentatif des limites X', X^ soit toujours composé d'une manière identique, d'une part dans les travées extrêmes, d'autre part dans toutes les travées intermédiaires. Les paraboles et lignes droites s'y succèdent toujours dans un même ordre, en même nombre, dans des intervalles parfaitement définis, et sont toujours produites par des surcharges embrassant des travées qui portent les mêmes numéros (i*ordre.
Nous n'avons pas l'intention de présenter ces propriétés comme une découverte entièrement nouvelle: quelques ingénieurs, guidés par les résultats d'applications numériques par* ticulières, ont pu en soupçonner quelques-unes; M. Piarron de Mondésir, ingénieur des Ponts et Chaussées, attaché à la Compagnie des chemins de fer russes, en a énoncé une partie et en a donné une démonstration toute différente de la nôtre, dans son savant et utile ouvrage sur le Calcul des ponts métaU tiques à poutres droites et continues {*). Mais M. de Mondésir n'a pas signalé le rôle important des quatre points D, B, C, F, ni indiqué bien nettement les surcharges qui fournissent les moments limites dans deux des intervalles terminés par ces points; de plus, tout en énonçant des théorèmes exacts, il a eu le tort d'en tirer des conséquences parfois contestables au point de vue de l'entière généralité. Par exemple il dit, page 26, que le maximum du moment de flexion sur un appui quelconque répond k la surcharge des deux travées contiguës à cet appui, et des autres travées de deux en deux. Or nous avons vu (n"* 26) que cette hypothèse donne bien le maximum positif, lequel, suivant le langage de l'Algèbre, est toujours pluà grand que le maximum négatif; ici nous sommes donc d'accord avec M. de Mondésir, moyennant l'interprétation con> venable des mots. Mais nous cessons de l'être quand il dit un
(*) Par», 1860.
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POUTRES ▲ PLUnVDAS TftA:VÉBS, EN GÉNÉRAL. lo3
peu plus lohiy page 29, que ivmdnie cotnbiniisoil de surcharge donne, aux environs de Tappui dont iV s'agH^ lei» momeàts auxquels il faut avoir égard dans les calculs de stabilité, c'esstà-dire ceux qui sont les plus girands en valeur absolue. Il peut arriver, en effet, que le maximuni négatif remporte, abstiac* tion faite du signe, sur le maximum positif; et si Ton tient i en avoir un exemple, nous citerons l'appui central d'mi pool à quatre travées symétriques, dans lequel les travées du milieu auraient une longueur an phis égale aux 0,6 de celle des travées de rive. Sans doute c'est là une hypothèse qui ne se réalisera pas souvent; mais nous sommes en droit de l'opposer à un théorème donné sans restriction. La même objection, il peu près, pourrait être répétée pour la proposition énoncée par M. de Mondésir au sujet de la surcharge qui produit les plus grands moments vers le milieu d'une travée.
Nous pensons donc avoir apporté à cette théorie un perfectionnement notable, en la complétant et la mettant sous une forme rigoureuse, d'une généralité absolue. Cela ne nous empêche pas de reconnaître le mérite des propositions que nous venons de critiquer; car, si elles ne sont pas toujours vraies, du moins elles le sont ordinairement et avec les circonstances habituelles de la pratique, ce qui est déjà beaucoup. Peut-être même leur vérité constatée dans un certain nombre d'exemples a-t-elle été la cause d'une induction téméraire où leur auteur se sera laissé entraîner, car on est naturellement porté à se mçntrer trop facile sur la démonstration d'un résultat qu'on a maintes fois reconnu exact,
29. Exemple numérique de la détermination des courbes enveloppesi — La théorie développée dans le présent § lY est assez délicate et mérite d'être éclaircie par un exemple; cela aura d'ailleurs l'avantage de montrer quel est, à notre avis, l'ordre le plus convenable du calcul.
Soit donnée une poutre à cinq travées, dont les ouvertures sont prises tout à fait au hasard, savoir :
Première travée A»A„ allant de l'appui extrême A, à l'appui Ai, d'une longueur d, = 40*** ;
Deuxième travée A, A„ d'une longueur «» = So"" ;
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I04 CHAPITItE PREMIER.
Troisième travée A, A3, d'une longueur ^r8 = 8o"; Quatrième travée A3 A4, d'une longueur «4 = 64°^; Cinquième travée A4 A5, d'une longueur a» == So"*. Les poids, par mètre courant, de charge permanente et dé surcharge, désignés respectivement par p et p', resteront indéterminés et seront conservés comme facteurs littéraux dans les résultats.
Il faut, avant de procéder au calcul des moments fléchissants limites dans une section quelconque, s'occuper d'abord des séries numériques étudiées au n9 Ô. On pose à cet effet lés groupes d'équations (i) et (a), en mettant pour ai, ai, as, a*, a& les valeurs ci-dessus, et l'on a
2 w, (4o -h 5o) -f- Mj . 5o = o, «, . 5o 4- 2 «2 {5o + 80) 4- «3 • 80 = o, ^ W2.80-1- 2^3(80 4-64) -f- «4 -64 = 0, «3 . 64 4- 2 W4 (64 4- 5o ) 4- M& . 5o == G ; 2 ('i (5o 4- 64) 4- ^1.64 = o, (/, .644- 2 Va (64 4- 80) 4- <'8.8o = o, , ^ i'3.8o4-2(^3(8o4-5o)-H<^4.5o = o, (^3.5oH-2(/4(5o4-4o)"^ (^5.40== o.
Quand on fait w,= 1^, = i, on tire facilement des. équations (5) : Mi=i, «2= — 3,6, M3=i 1,075, «4== — 4^*^375, ^5=192,563; des équations (6) :
(/,==!, (/3= — 3,5625, ^^3=1 2,025, Vi= — 56,83, (^5=240,70355. Par suite, on peut former les séries
po=o, yo = o, ■
(3. = — ^ = 0,277778, y, = — ^'=0,280702, Pi = ■* = o,325o56, ya = ^ = 0,296258,
<'4 «4 oZ?// ^*
en bornant l'approximalion à la sixième décimale.
POUTKES À PLUSIEURS TRAVÉBS, EN GÉNÉRAL. Io5
Cela fait, nous rechercherons les moments de flexion qui se produisent aux <[uatre points d'appui intermédiaires» par la surcharge successive des cinq travées, chacune d'elles étant surchargée seule; ces moments une fois connus, nous pourrions en conclure ceux qui ont lieu en une section quelconque* sous les mêmes surcharges, et la question serait ainsi amenée au point que suppose l'explication générale par laquelle commence le n^26. Afin de désigner commodément l'appui auquel se rapporte un moment et la surcharge correspondante, nous emploierons la notation X* , c'est-à-dire la lettre X avec deux indices; celui du bas fera connaître le rang de l'appui, et celui du haut (qu'on se gardera de confondre avec un exposant) fera connaître la travée surchargée^ Ainsi donc X» voudra dire : moment sur l'appui km quand on surcharge la k*^^ travée Ai^iAi. Pour désigner le mpment au même point» sous les surcharges réunies des travées portant les n«« A*, A^, A*",..., nous écrirons
A-rn ,
et le théorème sur la superposition des effets des forces (n*» 5) nous apprend qu'on a l'égalité
(7) x**'*'-=xî.+xi:;-4-xr-+-....
Les moments Xλ se calculeront par les formules (i ), (2) et (3) du n*» 18, combinées avec les formules (16) et (17) du n*» 10; on rencontrera ainsi les calculs suivants :
I** La surcharge est sur la première travée AoAi. —^ On fera
et si l'on prend loop' pour unité des moments, on aur^, par la formule (3) du n° 18,
puis la formule (17 ) du n* 10 donnera
Xi^-yaX; =-0,049968,
^J = ysyaX; =— yaXi= 0,014800,
X;=-y3y,y.X;=-y.Xl = -o,oo4i54/
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ta6 cmÊ^vrtm pi
!#> £l> gufûhùl^^ éH smr la seoQndè ît^ée k^k%. — On doit S0pi^6i^ ûmÉ les formiri^s ( i ) et ( si ) du ii« 18
ri»mlé pouf les moments restant toujours ioo/>\ on trouve alors
De ce démiOT moment On déduit^ par la formule (17) du
Xî = — yaX;=— 0,299862,
Xî = y,y4Xî = — y,X; = o,o84o3i.
3^ La surcharge est sur la troisième tracée As As« -^ On em*
ploiera le» mêmes formules (i) et (2), en y faisant
a = 8o", (3 = Pa=o,325o56, y = y,= 0,296258, ce qui donnera (sauf le facteur 100 p')
Par suite, les formules (16) et (17 ) du n<> 10 conduisent à
Xî=-.p.XJ=- 1,^24710, Xî==— y, X;=— 0,994757.
4* La surcharge est sur la quatrième travée A, A4. — On a ici a=r64'^, (ï=Pi=o,244a79, 7 = y, = 0,280702; donc, par les mêmes formules, nous trouverons „. ,o,244279(f — 0,280702) -
Xî= 10,24 ^ ^^; ^—^ — i = 1,981722,
XJ = ,o,.4 ^^^^^2^^/^=^^#^^ = 2,33.,5o, 1—0,244379*0,280702 /
Xî = p,(3,Xî=-(S,Xî = o,i74422.
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POUTKES A PI/VSIBt7t^6 ttikXÈASi EN GÉNÉRAL. I07
S"* La surcharge est sur ta cinquième travée^ — On a
Le nombre (34 est eelui qui remplace y dans la formule (3) du n** 18, quand on regarde la dernière travée comme la preniière ; donc
La formule (i6) du n*» tO donne ensuite
X; = -(33X; = -o,35946o, X5=(33p,X; = — (3,XJ=: 0,1 16845,
. Xî = — (3s(3,(3.X; = — p.X*= — 0,032457.
Nous rappelons encore une fois que tous les moments dont on vient d'obtenir les valeurs numériques^ sont évalués en prenant loop' pour unité de moment. Ainsi, par exemple, le moment XJ serait en réalité 1 1,6845/>'.
Pour compléter les renseignements qu'on a supposés préalablement acquis en commençant le n"" 26, on n'a plus qu'à chercher, dans les trois travées intermédiaires, les points analogues à D, B, C, F(^g-. 6, PL Jf à la fin du volume)^ et dans les deux travées extrêmes les points analogues à F {fig.S). Dans chaque travée, nous compterons toujours les abscisses en parlant de celle des deux extrémités de cette travée où est l'appui numéroté par l'indice le moiniâ élevé. Nous trouverons alors, suivant les formules mentionnées aux n*** 26 et 27, et en faisant usage des valeurs de a, (3, y déjà employées ci-dessus pour le calcul des moments X* :
Première travée. — Abscisse du point F (fig. 8) :
x'''=a (i — ~yj = 40.0,88195 =:35«, 28;
Deuxième travée. — Abscisses des points (fig. 6)
P x'=: — {i ,o35ii — v^o, 6048788) = 6^43,
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I08 GgAPITIlB PREMIER.
C ^=a ^ = 5o- ^°-"'"Vy =4«".^7>
