Hy

Troisième tniifée. — Abscisses des points

D ar'= — (1,01593 — v/o,526o342) = ii«, 63, .

Quatrième travée. — Abscisses des points

Cinquième travée. — Abscisse du point F {Jîg. 8) : :r'=- «(3 = 25.0,235442 = 5'",89.

Maintenant, au lieu de chercher les équations des diverses lignes droites et paraboles tracées dans les^g-. 6 et 8, équations qui serviraient ensuite à trouver celles- des contours enveloppes, nous allons calculer directement certains nombres qui doivent entrer dans ces dernières équations, comme on le verra tout à l'heure. Ces nombres sont :

Googk

i^ Les moments de flexion qui se produisent sur tous les appuis, quand on surcharge :

Les travées de rang impair,

Les travées de rang pair,

La poutre entière;

2° Les moments de flexion qui se produisent sur chaque appui Am et ses deux voisins, quand on surcharge les deux travées adjacentes à A„, et les autres travées de deux en deux.

Tous les moments dont il s'agit ici rentrent évidemment dans Texpression générale X^ *"; Téqualion (7) permet donc de les calculer par de simples additions, puisqu'on a déjà tous • les moments XL Si, par exemple, on veut Xi** et XJ* , on . écrira

XJ»*==Xi-+-X;4-X* = o,oi48oo + 3, 543819 — 0,359460 = 3,199159,

XJ-* = X3 4- XJ = -^ 0,299262 -f- 1,93 1722 =j,63236o,

nombres qu'on devrait toujours, bien entendu, multiplier par ïoop'. On en déduirait

X;^*^ * = 3,199159 4-1, 63236o= 4, 83i5i9, XJ* •*= 1 ,63236o — o ,359460 = 1 ,272900.

Par des moyens tout à fait analogues, on forme le tableau cidessous, que nous transcrivons sans donner d'autres exemples; les moments y sont exprimés par leurs rapports à 100 p\

x;-^*=:— 0,212771, Xî^ = 1,628654, x;-^-^**=i,4i5883,

X;-^* = 2,573o5o, XJ^* = o,297o65,

X; ** = 4,ii5843, X5* =0,386847, Xi'**-** = 4,502690, X;^^ = 0,336889, Xr^ *=:5,i8o566, X;^* = 3,371080,

X;' » • = 3,199159, XÎ-*= i,63236o, X;-^ »^ * = 4,83i5i9, X?^* = 2,884997» X;-* = 5,490341, XÎ-^*= 1,272900,

x;^/=o,4726o2, Xî* = 2,416181, x;='-^^*= 2,888783, x;-** = 1,333239, xî**= 3,887694,

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IIO CBàFITHB VURHIBIl.

Il m re^Q pour «in^i dire p}ii6 q^'à écrii^, s^p^ nguv^au calcul, les équations des diverses ligms eiwposwt {es coupb^ enveloppes des moments, ou, P6 qui revient au méfne» les valeurs, dans chaque travée, des foqetions ^é^ignées m général par les lettres F, /, ^ (n<** 36 et 27). Il sufQrïl ppur cela fl>ppliquer {a formuld déjfi bien souvent citée

en mettant à chaque fois au lieu dç a la longueur de la travée dont on s'occupe; au lieu de p le poids par mètre courant (qui sera, suivant les circonstances, p pour la charge permanente, p' pour la surcharge, o pour le cas où la travée serait supposée vide); au lieu de X«.^i et X. les moments sur les appuis de la travée, répoodapt» soit à la charge peemanente, soit à une certaine combi^aispp ]^\en définie de surcharge, et connus au moyen du tableau précédent. C'est ce que nous allons faire.

La troisième colonne du tableau coi^tient les moments sur les appuis, sous l'action d'une surcharge uniforme couvrai)| 1^ longueur entière de la poutre, ou plutôt leurs rapports au facteur loop'. S*\\ s'agit de la charge permanente, il faudra évidemment multiplier les ra^mes rapports par loop, ou simplement par le nombre loo, quand on voudra calculer F (or) et non X. Ayant égard, en outre, à ce que les moments sont toujours nuls aux extrémités Ao et A* de la poutre, on trouvera, par la formule qu'on vient de rappeler :

Première travée.

o,oi F (4ir) = 1 ,4i5883 -. o,oo5ar (4o — x)

= f — 0,1646007 -f-o,oo5;r^ Deuxième travée.

o>oiF(^) =i,4i5883 -H (4,502690— i,4i5883) ~-

— o,oo5^(5o — ^) = i,4i588— 0,18826^-4-0,005^».

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POVTRE8 à PLUftlSirafi TftAVÉM, EN GÉIIÉRAL. III

Troisième travée, 0,0 1 F (^) = 4,502690-1- (4,83 1 519 — 4^502690) g-

— OyOo5â7(8o — ^) = 4,50269 — 0,39589 j?-|-o,oo5^*. Quatrième travée^ o,oiF(ar) = 4,83i5i9-4- (2,888783 — 4,831519)^

— o,oo5:r(64 — a:) = 4,83 162 — o,35o36a7-Ho,oo5a7'. Cinquième travée.

0,01 F (a:) = 2,888783 — 2,888783 .^ — o,oo5 a: (5o — :r) = 2,88878 — 0,36778^7 -+■ 0,005^?*.

Connaissant la fonction F, on n'a plus à déterminer que deux fonctions /ou ^ dans chaque travée de rive (n"* 27), et trois dans chaque travée intermédiaire (n^ 26 ) ; les autres s'en déduisent immédiatement. Voici le calcul de ces fonctions :

Dans la première travée, de ar =: o à a: = :r"^= 35", 28, on sait que la limite négative X^ répond à la surcharge des travées n~ I, 3 et 5 (nous dirons simplement : surcharge i.3.5); il faut donc appliquer la même formule, en prenant X|-** 4an8 la première colonne d]a tableau, et Ton trouve :

7 =3:0,01 ij^8(x) = — 0,212771 7 o,oo5j7(4o — x)

= — o ,2o532 j? -h o ,oo5ar».

De 0? x= :»*^Œ 35^, 28 à a?Œ a =c 4o"> il f«ot prendre la surcharge 1 .2.4 ( première colonne du tableau), pour ayoif la limite positive X' ; donc

Y2JP = 0,01/4^) = 2,573o5o 7^ — o,oo5a7(4o — or)

=-T- p , 1 3565 a? ^- o ,oo5a;^

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lia CHAPITBE PREMIBB..

De là on déduil :

Depuis x=:o jusqu'à x = x'^r=: 35", ^8,

o,oi/,(^)=o,oi[F(^) — i^,(x)]

= — o,i646oj:-f-o',oo5a;'-j-o,ao532ar — o,oo5jr* = 0,04072a?;

Depuis ^ = a:'^ = 35", 28 jusqu'à x = a = 4o",

o,on]^5(^) = o,oi [T{x)—f,{x)]

= — o,i646oar-Ho,oo5^*-j-o, 13567X — OjOoSj:* = — o,o2893x.

Dans la seconde travée, entre a; = o et x = j;'= 6",43, c'est encore la surcharge 1.2.4 qui donne X'; on a donc

loop'

=2, 573o5o-4-(o, 33688g — 2,573o5o)^ o,oo5^(5o — x)

Un peu plus loin, entre ar = ar" = io"»,87 et a? = j:'"=4i",27, la limite X'' sera produite par la surcharge 2.4 (deuxième colonne du tableau); et par suite,

ÏOO^

= i,628654 + (o,386847— 1,628654)^- o,oo5ar(5o— a:)

= 1 ,62865 —• o , 27484a? -h o , oo5a:^

Dans le voisinage de l'appui A,, vers la fin de la même travée, entre a: = a?'^=45",32 et a7=a = 5o"», on obtiendra X' en prenant la surcharge 2» 3. 5 (deuxième colonne du tableau); nous posons en conséquence

--,=o,oi/5(ar)

o,297o65h-(5,i8o566 — 0,297065)^ — o,oo5a:(5o — x)

= 0,29706 — o,i5233a7-f-o,oo5a;^

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VOUTRSS À P;.V$IBI}||ft TftAVÉB«, EN GÉNÉRAL. I 1 !^

Retranchant ces trais premiers résultats de «yOiFf^), neui» aurons respectivement dans les mêmes intervalles :

Depuis xz=o Jusqu'à ^ =s= ^' = 6*", 4^»

o,oi i};^(^) = — 1,15717 4-o,ip646j?;

Depuis a:=a?"== 10^,87 jusqu'à a: = x'" = 4i",27, q,oi/;(^)s3s-— <>,2i377-4-o,o8658x;

Depuis x = 07'^ = 45"'> 3î? jusqu'à ^ se? a =s 5o"», 0,01 «];6(a:)== 1^11881 — 0,03598;^.

Ënfîn» les fonctions f et ^ portant les indices î;^ et 4 sont identiques à des fonctions déjà connues; on a, en effet (n*» 26) :

Depuis ^ = :r' = 6'",43 jusqu'à a: = x^^= 10", 87,

0,01/2(0:) = o,Q;ï4'&(^)==i»iï88i»—o,o359S^, 0,01 iJ^aW = 0,01/(0:);=;;: 0,29706—^0, i5a33ii;-|-o,oo5 a:';

Depuis X = :r'"ç=3 4^"*» *7 jusqu'à jp r= jp»^ 5= 45**, 32,

o,oi/4(a?)=o,oi 4'r(4c)=5 — 1,16717 -+-o,io646x, 0,01 4*4 (^) = o ,01/ (^) = 2 ,57305 — o , 29472X -4- o ,oo5jp%

ce qui complète la détermination de toutes les fonctions F, /, ^ pour la seconde travée.

Il serait afans ^ute inutile de répéter les mêmes détails pour les travées suivantes : nous nous bornerons donc à indiquer les résultats.

Troisième travée.

Depuis rr = Jusqu'à X'=^ 3c^^:=. i i^'jGS,

o,oi/(^);=c: 5, 18067 -^0,40869^7 -+• d,oo5^', o,Qi i|^,(;r)sç=T^o,67788-Ho,o328oar5

Depuis ^ = ^'=n",63 jusqu'à 4? = ^'=19'', 63^

o,oi/»(4c) = i,i3iÇi — o,o;î338;r, 0,01 4^,(j7)=: 3, 37Ï08 — 0,37351 j: 4-0, oo5:^'; III. 8

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Il4 C0A>1T&B PEEMIER*

Depuis X = ;r^= i9™,63 jusqu'à a: == :r*= 6i*, 72,

OfOi/i(ar)=o,38685-ho, 01557a:,

0,01 ij^,(j:) = 4,1 1584 — o,4ii46^ + o,oo5jr';

Depuis X = 0;*'= 61", 72 jusqu'à x = x^''=^ 69"*,65,

o f o I '4^4 (^) = 5, 1 8057 — o,42869:r -h o , oo5a?* ;

Depuis X = x'''= 69"*,65 jusqu'à x=ia= 80",

o,oiy»(ar) = 3,37 108 — 0,37351 a: -ho,oo5J?^• o,onJ'»(^)=I»I3I6I — o,o2238â;«

Quatrième travée.

Depuis jc = o jusqu'à x = x'= 6",92,

0,01/1(0:) = 5,49034 — 0,384950: + o,oo5o:% 0,0 ivpi (or) = — 0,65882 H- 0,034590: ;

Depuis o: = o/ = 6", 92 jusqu'à 07 = or" =12"*, 57,

0,01/(0:) = 3,55862 — 0,071220:, o,oiij^,(o:)= 1,27290 — 0,279140: -h o,oo5o:*j

Depuis o: = o:''= 12", 57 jusqu'à or = 0:'*' = 49"*, 97»

0,01/3(0:) = 3, 19916 — 0,04261 or,

0,01 i^i(x)= 1,63236 — o,3o775o:-ho,oo5o:^;

Depuis x=x"'= 49">97 jusqu'à x = 0:»»= 55", 83,

0,01 ^1^4(0:) = 5,49034 — 0,3849507 + o,oo5o7';

Depuis X = 0:»^= 55", 83 jusqu'à x = a=: 64",

0,01/(0:) = 1 ,27290 — 0,279140: -H o,oo5o:% o,oi4»j(o:) = 3,55862 — 0,0712207.

^OUTRES À PLtlSIBUAS TRATÉEë, EN GéNÉRÀL. llS

Cîtiquième travée.

Depuis J7= o j usqu*à ^ == a:' = 5", 89,

o,oi/,{x)= 3,88769 — 0,32775a: H- to,oo5x% 0,01 ^^.(i?) =i=— 0,99891 + 0,01997^;

Depuis X = ^'=3 5™, 89 jusqu'à j; = a = 5o'",

o,oi/3(^) = i,4ï6i8 — o,o4833a:, 0,01 ij;3(j7) = 0,47260 — 0,25945a: H- o,oo5x*.

On se rappelle que les fonctions / et 4* multipliées par p ' donnent X' et X''; de même X est égal à pll{,x) : ainsi, les moments limites X', X"^ sont, ainsi que X^ maintenant connus dans toute rétendue de la pièce. ^

Mais en pratique ce n'est pas précisément de ces quantité» X, X', X" qu'on a besoin; c'est des sommes X 4- X', X 4- X'% ou seulement de la plus grande des deux, en valeur absolue, dans le cas particulier d'une section symétrique. S'il fallait avoir les deux sommes, elles seraient maintenant bien aisées à calculer : nous supposerons donc qu'on veuille immédiatement choisir la plus grande, pour une section quelconque.

Afin d'atteindre ôe but, on a dit au n"* 24* qu'il fallait ajouter la valeur absolue de X avec celle des deux quantités X' et X" qui a le même signe que X. Le signe de X' est toujours -h, * celui de X" toujours — , comme il est aisé de s'en assurer, et comme on le sait d'avance (n** 24) : il faut donc chercher le signe de X ou de F (a:), ce qui exige qu'on détermine les points où F(a7) s'annule. Cela ne présente pas de difficulté, puisque F(a:) est partout exprimée par un trinôme algébrique et rationnel du second degré : on trouve, en posant, pour chaque travée, l'équation

qu'elle est satisfaite par deux valeurs ^„ x,, de x^ dont voici le tableau :

Première travée .,..•.. a>, = o, ^2= 32", 92 ;

Deuxième travée. . . . . Xx-=^ 10'", 39, ^2= 27", 27;

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Il6 CSAPiTHB PABUVR.

Troisième travée a7,= i3",77, ar,= 65*",4ïî

Quatrième travée ^1=18", 87, a:î=5i",2ô;

Cinquième travée ;r,=: 1 1",56, x^=z 5o".

En examinant les cinq expressions de F(^)y on yoit qu'elles représentent toutes une parabole de même paramètre, ayant sa concavité tournée vers les ordonnées positives : donc F(a:) est négative dans Tintervalle (ou plutôt dans les cinq intervalles) compris entre x-=.Xx et 0; = ^,; elle est positive par-, tout ailleurs. Ainsi donc, dans chaque travée, il faudra prendre :

X 4- X' depuis ^ = o jusqu'à ^ = a:,, et depuis ^ = :r, jusqu'à 4r=:«;

X H- X'', ou mieux — X — X'' (pour écrire la valeur absolue), entre a: = jr, et a; = /Fj.

Il est bien entendu d'ailleurs que dans l'un quelconque de ees intervalles, on aura égard au changement de forme de la fonction/ou ^y qui, multipliée par p\ donne X' ou X".

Nommons X" la plus grande valeur absolue qu'il s'agit de déterminer. En opérant <5omme il vient d'être dit, on trouvera :

Première travée.

Depuis ^ = :r, = o jusqu'à x =: ^,= 32% 92,

Depuis X = ar,= 32"^, 92 jusqu'à x = ;r'^= 35", 28, X"' = (— i6,46op-h4,o92p');r+- j>ir*;

Depuis x = ;r'^= 35", 28 jusqu'à ^ r^ a = ^k:^^

Deuxième travée.

Depuis ^=±0 jusqu'à ^ = a;'=r6*,43, X"' = i4i ,588p 4- 257,3o5y

— (i8,826j[> -f- 29,472/?')^ + ^ (je? -hp' )a:%-

POUTEES ▲ PLUSIBITAS TAAVéBS, EN GÉNÉRAL. 11^

Depuis X = afdtsi 6", 43 jusqu'à ^p =ac ip, = lo", Sg, X*«'==i4i,588p4-ni>88ip'

Depuis X = a?ia= io",39 jusqu'à j; = a?''^: io»,87, X'^rir— i4i,588/>--29,7o6p'

-H( ii8,826/> 4- i5,233p;)ir — - (/> -h/>' )a;^ ;

Depuis X x= rr''=io",87 jusqu'à a; =t Jt«ï= a7",a7, X'" = - i4i,588p -- i62,865p'

Depuis ^c=4:,== 27", 27 jusqu'à xz=i ar'"=4i%3t7> X*' = i4i,588/>-^2«,277^'

Depuis X = jf'^= 4ï"#27 jusqu'à ^ c= j?"= 45", 32,

— (18, 826/^^—10, 646/?')ic H- -pj?*;

Depuis X = «'*= 45", 32 jusqu'à .a: = a = 5o",

— (18,826/?+ iB,zlip')x-^^(p'\'p')xK

Ttomème travé^^ Depuis j: = jusqu'à d? î= ii:'=a= n"*,63, %

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Jl8 CHAPITRE PREMIER.

Pepuis a: = a?'==ii"*,63 jusqu'à a:5=:r, = i3",77,

Depuis ^^?^a:,== 13", 77 jusqu'à :r=?:^''=i9",63,

X'''=— 450,269/?— 337,to8p^

Depuis x = x"= 19*, 63 jusqu'à a; = :r'"=6i?', 72, X'" = — 450,269/1 — 4i 1 ,584/?'

+(39,589/? + 4i,i46pO^—:^(/^-^/^>"

Depuis :r = A:'*=6î"», 72 jusqu'à a: = jf,=t65»,4i,

Depuis a; = 07,= 65", 41 jusqu'à or = J7*^= 69™,^5,

Depuis X = ^'^= 69'",65 jusqu'à x = a = 80", X"' = 45o,269/?-h 337,io8p'

Quatrième traitée.

• Depuis :c = o jusqu'à ^ = ^'=6*, 9^> X'^ = 483,i52/? -h 549,o34p'

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Depuis ir=^'= 6", 92 Jusqu'à ^r = ^*=i2",57, X'" = 483, i52p -h 355,862/1'

— (35,o36/?-i- 7,122^')^-!- -px^;

Depuis X = x^=^ 12", 57 jusqu'à x = ;r,= i8",87,

Depuis ^ = j:,=i8%87 jusqu'à ^ = 57*= 49", 97,

Depuis :c=:^'^=49'°,97 jusqu'à x = Xi^=Si"^,2o, \"' =— 483,1 52/> — 549,o34p'

Depuis a: = J7,= 5i ™, 20 jusqu'à x = x^^= 55", 83,

X'^ = 483,i5ap— 65,882p'

Depuis X = ^'^= 55°*,83 jusqu'à x=.a = 64"*,

Cinquième travée.

Depuis x==o jusqu'à :F = a;' = 5^,89,

Googk

l'20 CHA^PITHB PHKHIÊn.

Depuis ^=5=ar' = 5"*,8g Jusqu'à a?=±ji;i=2:;|i",56, X"' = 288,878/? 4- 24ï,6i8p'

Depuis a;b;a;,=;ii",56 jusqu'à x=:a = 5o«», X'''=— 288,878/?— 47,260;?'

Si tous ces calculs devaient réellement servir à une application pratiqua» il y auï*ail encore lieu de rechercher les valeurs extrêmes de chacune de ces fonctions X'^, pour les deux limites de J7 entre lesquelles elle représente le plus grand moment; dansTintervalle de ces limites^ il faudrait voir également si la fonction ne passe pas par un maximum. C'est une discussion qui ne saurait offrir la moindre difficulté, puisqu'il s'agit seulement de fonctions algébriques rationnelles et entières du second degré. Nous nous bornerons à chercher les maxima par lesquels passe X"'.

D'abord, efi faisant 47 = o dans la première*expression de X*', pour les deuxième, troisième, quatrième et cinquième tra-? vées, on a les valeurs de X*^ sur les appuis, savoir :

En A X'^=i4i,588/?+-257,3o5/?S

En A, X'"=45o,269p-+-5i8,a57/?',

En A3 X'"= 483, i52/? -h 549,034/?',

En A4 X'^= 288,878/? -h 388,769/?'.

Ce sont là quatre maxima; car, si Ton examine les diverses expressions de X'*' applicables aux environs des quatre appuis intermédiaires, on voit qu'elles représentent toutes des paraboles dont la concavité est tournée vers le haut et dont le sommet ne sort pas de là travée correspondante; cela prouve bien que la courbe commence par descendre, à partir du point situé sur chacun de ces appuis. Mais ces maxima ne sont pas les seuls; il y en a d'autres vers le milieu des travées, et nous allons les indiquer en admettant qu'on ait successivement

Googk

POUTRES JL VLVUBVKS THArtaS^^JH GÊnÉEAL. 121

Si p' est niily les mtxima répondent, dans les cinq travées, à :r = -fj;,-|-j;3), abscîsse dont la substitution donne les résultats que voici :

Première traitée

Deuxième traitée, . • Troisième travée, . .

Quatrième travée. . .

Cinquième travée. .

^(a?.H-a:,)=i6»,46, X'^iSS^ee/^;

Dans le second cas, où p* existe seul, X*' est exprimé, tantôt par des fonctions linéaires, tantôt par des fonctions paraboliques. Les dernières peuvent seules avoir des maxima dans l'intervalle des travées; quant aux valeurs extrêmes sur les appuis, 11 est inutile de les considérer, car elles seraient nécessairement inférieures à celles qu'on a déjà calculées. Parmi les maxima répondant à des sommets de paraboles, il y en a aussi un certain nombre à rejeter, parce que les sommets tombent hors des intervalles dans lesquels les paraboles correspondantes peuvent exprimer X"'; en sorte que finalement il ne reste que ceux dont voici le tableau :

Première trapée abscisse ao*,53, X*'= 210,782^9';

Deuxième travée^ ...» labscisse 27"»,48, X*'^ 2i4,793/>';

Troisième travée abscisse ^i^y i5, X*'= 434,913/1';

Quatrième travée ,.. . abscisse 3o«,79, X'*= 310,899/?';

Cinquième travée. . . . abscisse 25"*,95, X^= 289,337/?'.

Le cas mixte, seul possible en réalité, où p et p' ont tous deux une valeur différente de zéro, donne lieu i des moments que Ton peut obtenir en faisant la somme de ceux qui répon-* dent à /?'= o et à /? = o* On aura donc une limite supérieure de chaque tnaximuin relatif à ce cas, en additionnant ceux que nous venons de trouver ; cette limite différera d*ailleur$

Googk

peu de la valeur réelle, surtout si les abscisses auxquelles répondent les maxime homologues pour /?'= o et pour /? = o ne sont pas trop éloignées les unes des autres. Voici donc les nombres que nous prendrions pour maxima vers les milieux des cinq travées :

Première travée 1 35,466/? H- 210,782/?';

Deuxième travée 35,62 1/? -|- 214,793/?';

Troisième travée 333,377/? -1-434,91 3/?';

Quatrième travée ..... 1 30,609/? -h 3 î 0,899/?';

Cinquième travée 184,765/? + 289,337/?'.

Le plus fort de ces cinq maxima et des quatre ci-dessus donnés pour les appuis est celui qui a lieu sur l'appui As; c'est donc le maximum général, le seul auquel il faudrait avoir égard si la poutre devait être construite avec une section invariable d'une extrémité à l'autre.

En résumé, on voit que la marche suivie dans cet exemple pour arriver à connaître les moments désignés au n**24 par X, X', X", ainsi que la limite supérieure X"' en valeur absolue, consiste à effectuer les opérations suivantes :

[a) Calculer, comme il est dit au n® 9, les séries de nombres M, V, (3, y.

{b) En déduire les moments sur tous les points d'appui quand chaque travée successivement est chargée seule.

(c) Au moyen de ces moments, calculer, par de simples additions, ceux qui se produisent: 1° sur tous les appuis, quand on surcharge les travées de rang impair, celles de rang pair, toutes les travées; 2° sur un appui A«et ses deux voisins, quand on admet la surcharge des deux travées adjacentes audit appui A;„, et des autres travées, de deux en deux.

(rf) Calculer le moment de flexion dû à la charge permanente, ou la fonction F {x) dans toutes les travées»

{e) Dans chaque travée de rive, calculer l'expression de la limite positive X', ou de la fonction /, aux environs de la pile qui forme une des extrémités de cette travée ; calculer l'autre limite, ou la fonction 4^9, pour l'intervalle voisin de la culée; enfln, pour chacun de ces deux intervaHes, calculer la fonction

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POOTRES A PLUSIEURS TRAVÉSS, EN GÉZIÉKÀL. ia3

4» OU /qui reste à connaître, au moyen de la relation /H- 4/=F.

(/) Dans chaque travée intermédiaire, calculer les trois expressions / (a;), 4'3('^)>/i(-^) ^^ Ï8i fonction/; en déduire, par la même relation, +i(^),/3(^), 4'&(^)î enfin, écrire /a{a7)=^J^5(a7), f,{x)=^,{x), 4^,(^)=/(^), t]^,(x)=f,{x).

(g) Chercher les valeurs de x qui annulent F (^r), pour en conclure les intervalles dans lesquels cette fonction est positive, et ceux dans lesquels elle est négative. . (A) Dans les premiers de ces intervalles, prendre pour X"' la somme X-f-X'; dans les autres, la somme — X — X".

Tout cela constitue sans doute un ensemble assez étendu d'opérations pour arriver au but final, qui est ordinairement la détermination de X'". Toutefois, si Ton veut faire attention que dans la poutre qu'on vient d'étudier la fonction X'" change vingt-six fois de forme, on reconnaîtra, nous l'espérons, que nous avons obtenu toute la brièveté compatible avec la nature ardue et passablement compliquée de la question.