LIMITES
Avant de passer au chapitre deuxième, nous allons indiquer succinctement un procédé qu'on pourrait employer pour déterminer, dans une section quelconque :
Y° L'effort tranchant P dû à la charge permanente seule;
:2<» La limite positive P' des efforts tranchants dus à toutes les combinaisons possibles de surcharges;
3® La limite négative conjuguée P'';
4° La limite P'" des efforts 'tranchants produits par l'action simultanée de la charge permanente et de la surcharge^ ces efforts étant pris en valeur absolue.
On pourrait prouver d'abord, par la répétition de raisonnements calqués sur ceux du n** 24* :
. Que P' et P" répondent à des surcharges complémentaires;
Qu'on ^.par conséquent la relation
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1^4 CDAPITRC PREinBR.
Enân, que P'" s'obtiem en ajoutant à P celle des deax quantités P' et P^ qui a un signe identique à celui de P, c'est-àdire qu'on a
P'= P-H P' lorsque P est positif, P^= — (P 4- P'') lorsque P est négatif.
Tout se réduit donc encore à trouver P' et P"; voici comment on y parvient.
Considérons \9ifig. 6 (PL À, à la fin du volume) y où sont tracées les lignes représentatives des moments de flexion produits par la surcharge isolée de chacune des travées. Les droites portant les numéros
mH-2,
ont des inclinaisons négatives sur Taxe des abscisses A«, A«, dans toute l'étendue de la travée, pendant que le contraire a lieu pour les droites
L'inclinaison de la parabole m est négative entre A*, et le
milieu de DF, c'est-àrdire entre a: = o et a: = - (^'h-j;»^);
dans le surplus de la travée, l'inclinaison change de signe et devient positive après avoir passé par Ééro. Si Ton se rappelle cette propriété connue, savoir que les diverses inclinaisons dont il s'agit donnent, en valeur absolue, les efforts tranchants produits par les surcharges correspondantes (*), on en conclura sans peine que :
(*) C'est ce que démontre la relaUxm
trouvée au ii<* 7 : SQ n'est pas autre chose en effet que l'effort tranchant compté positivement de haut en bas , pendant que le premier «leitabré ett la dérivée du moment fléchissant prise en signe contraire. Cette nécessité de changer le signe ne subsisterait p9s m l'on changeait la convention du sens positif, soit pour les moments, soit pour les efforts tranchants.
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tOVTRBS ▲ PLOSIEVAS TRAVÉES, EIT OÊVénAL. IsS
Depuis ^ = o jusqu'à x=z- [x* 4- ^■*), la limite F répond
à U surcharge d^sirevées m — i, m — 3, m~5,. . .; m; m+a, '»<^^4» m + 6^«. •; ou» en d'autres termes^ P' est produit par la combinaison de surcharge qui donne la limite X' des mo* ments 0éebiâ9aat9 positifs aux envirpns de Tappui A«-^;
Depuis a? = - (a:' + x^^ ) jusqu'à ;r = a= A«, A«, c'est la
limite P^ qui est au contraire produite par la combinaison à laquelle serait due la limite X' aux, environs de l'appui A«,. Ainsi donc, la travée étant divisée en deux régions par le
point qui a l'abscisse -(^'H-^'^), on aurait, avec les notalions du n« 26 :
Poura:<i(^+^-) V'=, — p'^f^,
Pour a;>-(^'-+-^>^)...... P"= — p'î^^;
.2 ax
et, attendu que P' et P" répondent, en un même point,, à des surcharges complémentaires, on aurait aussi
Pour a:<^(^'-h^-)....-. W=z — p'^-^^, Pour^>i(^'4-^-) r = — p''^^^.
Cela fait connaître P' et P'^ dans toute la travée, puisque les fonctions /„ /&, 4^,, ^% ont été précédemment déterminées.
S'il s'agissait de la travée de rive A« A„ /, et ^\ seraient remplacées respectivement par ^J^3 et /a.
Nous allons maintenant cesser de nous occuper des poutres dont les travées présentent des ouvertures quelconques, pour adopter une hypothèse qui renferme à peu près toutes les poutres construites : nous voulons parler du cas où toutes les travées ont des longueurs égales, sauf les deux extrêmes, qui
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ia6 CHAPITRE* PREMIER. — POUTRES A PLUSIEURS TRAVÉES, ETC.
sont égales entre elles, mais différentes des autres. Bans ce cas particulier, la méthode que nous venons de suivre est susceptible de recevoir avec avantage quelques modifications, princî-^ paiement pour arriver plus vite aux moments définis à l'ali-^ néa (c) du résumé précédent; le problème, avec la restriction dom il s'agit, présente d'ailleurs des circonstances intéres-*santés et remarquables. Ce sera l'objet du chapitre suivant.
POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. la^
DÉS POUTRES STMlbRlQUES, AYANT LEURS TRAVÉES INTERMÉDIAIRES EGALES.
§ I;— Prélimiiiaires*
30. Définition de la poutre. — Nous allons analyser maintenant en détail le cas particulier d'une poutre ayant pour plan de symétrie le plan vertical mené à égale distance des appuis extrêmes; de plus, nous supposerons une même ouverture c à toutes les travées intermédiaires, laquelle dimension pourra différer de l'ouverture b des travées de rive. La lettre à désignera constamment le rapport -r de ces deux longueurs.
Tous les appuis seront, sauf mention contraire, censés donner une ûxité parfaite aux points correspondants de la fibre moyenne non déformée, ce qui permettra d'appliquer réquation (lo) du n° 6 à la recherche des moments sur ces appuis, et aussi le théorème sur la composition des effets des forces (n*» 5).
Pour l'indication du rang des travées et des appuis, nous continuerons à suivre les conventions du n** 9; ainsi les appuis seront
♦ Ao, A|, Aj, A3, ••., A.m—19 Am>»«»> A»,
en nombre /1-+-1; il y aura de cette manière n travées, et Am-iA« sera la m'*^.
Le nombre n sera, dans les formules générales, supposé plus grand que 2. On exclut ainsi la poutre à deux travées égales, dont la théorie est facile à faire directement (et nous la traiterons du reste dans un article spécial), tandis que la plupart des formules de ce chapitre ne pourraient lui être appliquées. Ce serait uneexceplion à mentionner à chaque instant; on le fait ici une fois pour toutes.
128 CBAPIT&E DEVXlàME.
La méthode que nous nous proposons d'appliquer à la recherche des courbes enveloppes des moments sera plus directe et plus rapide que celle dont un exemple a été donné au n^ 29 : au lieu de superposer les effets, partiels des surcharges sur chaque travée isolée, suivant les principes établis aux n^' 26 et 27, nous rechercherons de prime abord les résultats de cette superposition, ce qui dispensera d'une série de sommations, toujours pénibles quand il y a un nombre notable de travées; nous ne conserverons donc guère du chapitre premier que les résultats et théorèmes généraux, dont la méthode de superposition nous a fourni des démonstrations fort simples, qu'il serait pour le moins inutile de recommencer. En conséquence les séries numériques étudiées au n* 9 seront d'un emploi beaucoup moins fréquent et moins étendu; toutefois elles se représenteront encore et il est bon de voir ce qu'elles deviennent. Cela aura en outre l'avantage de nous amener naturellement à d'autres séries dont l'usage facilitera beaucoup nos recherches.
31. Des sériée m, v, (5, y. — Il est visible, par raison de symétrie, que les séries ainsi désignées au n<» 9 sont deux à deux identiques ; les nombres ne se distinguent pas des nombres u, et la même chose a lieu pour les (3 et y.
Les nombres u sont déterminés par un groupe d'équations qui, en ayant égard aux suivantes :
a, =an=b, ûj = a, = «4 = . . . = a» = . . . = a«-, =^ a«-i = 6à, prennent la forme ci-après :
a tt, ( I -+- ô ) -f- u^d = o,
Ouand on aurait pris Ut = i, on en conclurait sans peine les
valeurs' numériques successives de u^f u^, Ut,..., que l'on pourrait calculer de proche en proche; il n'y a guère, pour parvenir à ce but, de procédé pratique plus simple et plus expéditif ; mais le suivant a l'avantage de donner une expression algébrique de l'un quelconque de ces ilombres u en fonction de son indice, jusqu'à f<«^i inclusivement, ce qui sera utile pour certaines transformations qu'on rencontrera plus loin.
D'après la notation ordinaire usitée dans le calcul des différences finies, posons
U„^2 = M«,+,-+- AMm+, = I/«,-H 2AMm-H A*Wm;
l'équation générale du groupe ci-dessus ( les deux équations extrêmes étant misés à part) devient alors
soit, en réduisant,
(t) 6a«-h6Aii«4-A»ii* = o,
équation linéaire du second ordre, aux différences finies, où n'entre que l'inconnue m«. Pour l'intégrer, on cherchera d'abord des solutions particulières telles que
a désignant une certaine base. En différentiant deux fois cette valeur on a
A M« = «**■• — ar=ar((x — i),
A'M*=A.AM« = a*(a — 1)%
et ces expressions portées, ainsi que or, dans l'équation (i)
donneront
âr[6 + 6(a — i)-f-(a — i)'J = o,
ou bien
On tire de là deux racines distinctes, toutes deux négatives, savoir :
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t3o CHAPIÏftB DEUXIEME.
L'équatibn (i) admet donc comme solutions particulières a"* et a"^; d'où il suit que si Ton nomme A et B deux constantes arbitraires, elle aura pour intégrale générale
(2) M« = Aa''" + Ba'"".
Par cela seul qu'on adoptera pour les nombres u des expressions de cette forme, on aura satisfait à toutes les équations du groupe, moins la premièi*e et la dernière ; et même, comme nous disposons encore des indéterminées A et B, nous pourrons les choisir de manière qu'on ait
//, = i, 2M,(i -1-5)4- Ma5 = o;
il n'y aura plus alors que. la dernière équation qui ne sera pas vérifiée, c'est-à-dire que la formule (2) représentera tous les nombres Uy à l'exception de Un.
Lés deux conditions précédentes reviennent à
Aa'-f-Ba"=i, 2(i4-a)(Aa'-^Ba")-hô(Aa'»4-Ba''») = o;
la seconde peut encore s'écrire
Aa' (2 -^ 2* H- 5a') -^ Ba" (2 -h ad H- èa^) = o, ou, en remplaçante' et a" par leurs valeurs,
Aa'(2 — ôv^)-t-Ba"(2-f-5V^) = o.
On a donc deux équations du premier degré entre A a' et Ba"; on en déduit facilement
Aa'=-^(2-t-av'5),
expressions qui, portées dans l'équation (2), donnent enfin
(3) ■ M„=— î— [■(a-h5v/3)«'«-' — (2 — dv/3)a''H.
ad y 3
D'après l'analyse même qui conduit a celte formule, on n«
PQDTKBS SYXftTRlQUES, ETC. l3t
devra l'appliquer que jusqu'à m^^z^n — i; pour avoir «« on emploiera la relation
d'où résulte
Comme a'oi" est égal à i, nous écrirons a'"~'a" et oc"'*-'* a' au lieu de a'*-* et a"»-'; ordonnant alors le second membre par rapport à af'**^ et a*"^, nous trouverons
— 2Ô \/3 . «. = «'«-* (2 -+. ô v^) (2 4- ad -f- do")
«''«-« (2 ô v/3) (2 -4- a à -h <ïa' )
= (2 -h a v/SJ'a'*-»— (2 — 3 \/3)" «''•-% c'est-à-dire
Les formules (3) et (4) représentent toute la série des nombres u [et par conséquent aussi celle des ^ qui s'en déduit (n<* 9)], au moyen des puissantes successives des binômes a' et af : il est bon, pour cette raison, d'entrer dans quelques détails sur la formation de ces puissances.
32. Puissances des nombres a', ex!' ; séries M e^ N. — On a par la formule du binôme, en nommant h un nombre entier positif quelconque,
On sait que la série eotre crochets se termine d'elle-même après A* 4- 1 termes, et que tous les coefficients tels que
A-(/f — i)(A' — a)...(Ar — i + i) ! , 2 . 3 . . . i
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l3a CHAPITRE DEOXikXB.
sont des nombres entiers; si donc on appelle Mk et Ni^ ûeux nombres entiers dont Tlndice k Qxe la valeur, on aura
(5) a'*=MA-hN*v^.
La valeur de a"* s^ obtiendrait en mettant — \/3 au lieu de ^ dans réquation fournie par la formule du binôme; donc
(6) a^*=M*— Ni^.
Les nombres Ma et Ni, dont la connaissance entraîne immédiatement celle de a'* et a"*, pourraient s'exprimer en identi- . fiant Mi+ Na ^ avec le développement, ci-dessus indiqué, de a'*; les parties rationnelles et irrationnelles devant être égales séparément, on aurait
On tire de là, par la substitution de Ari=o, A* = i, *- = !», A' = 3,...:
M.= I, No=o,
Mais ces formules deviennent bientôt d*un emploi pénible lorsque k prend une valeur notable : pour prolonger ces deux séries, il sera beaucoup plus simple de remarquer que la combinaison des équations (5) et (6) par addition et soustrac-
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PODTILBS SYMÉTRIQUES, ETC. l33
tion membre à membre donne
Nit=--i=:(a'*— a"'
donc Ml et Vk rentrent dans la forme générale ('2) des expressions qui vérifient Téquation
6 Uk-h 6 Am*4- A*m*= g,
ou, ce qui revient au même,
Mi-h 4 "*+t -H w*4.i = o ;
et par suite on aura
Ces deux relations permettent d'avoir très-faeilement Mk+i au moyen de Mk et Mt+tt et d'avoir aussi Hik+t quand on a ^k et 'Sk+t; partant des valeurs déjà calculées, nous en déduirons donc les suivantes, et nous formerons le tableau ci-dessoùs :
