A'= 9, 10, II

M* = — 70226, 262087 , — 978 122, 365o4p I , . . . . Na = — 40^5» i5i3i6, — 564719, 2107560,....

La série des N est identique, sauf le signe, à celle des u pour 3 = 1. C'est ce qu'on pourrait démontrer à priori : Isl formule ( 3 ) donne en effet, pour d = i ,

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l34 CHAPITRE miUXIBlCE.

Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des valeurs entières et positives de l'indice A*, mais les seconds membres des égalités ( 7 ) ayant une signification précise pour h négatif ou fractionnaire, rien n'empêche d'y substituer des valeurs de cette espèce, et quand on aura calculé les valeurs correspondantes de ces seconds membres, cette opération aura fourni deux nombres M*^ N^ satisfaisant encore aux égalités (5) et (6). Faisons par exemple A- = — m; il vient

ou bien, attendu que «'= ~

formules qui permettent d'étendre les séries M et N aux indices négatifs.

Faisons encore k=m-i--y m étant supposé entier ; nous aurons

N,4=-î^(«'-+î-a""+i); or on a aussi, comme on le vérifie de suiie.

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POVTKU SYiliTBIQVBS, ETC. l35

et partant, si l'on représente par i le radical imaginaire i/ »

Donc

Qi^ b\e^, pn gyaal égarfi aux égjilités ( 7 ),

N«+it=i{M«-f-N«).

Par ces formules^ on connaîtra les valeurs de SJ* et N* pour des valeurs de l'indice égaies à la moitié d'un nombre entier impair; on aura donc aussi celles de a'* et a"* dans la même circonstance.

Les séries M et N jouissent de diverses propriétés assei curieuses» et nous allons en démontrer quelques-unes dont nous aurons besoin plus tard.

On rémarquera premièrement que si k et/ désignent deux indices positifs tels, que la différence / — k soit positive et tende vers Tinfini, les deux nombres Ma, N* tendent à s'annuler en comparaison de M/ ou N/. C'est ce que les formules ( 7 ) mettent suffisamment en évidence, car le terme a" l'emportera infiniment sur a"', a'*, a''*. Il convient d'ajouter encore que, Jies valeurs absolues dets nombres M et N ne dépendant que des valeurs absolues de l'indice, on peut écarter la restriction relative aux signes de A* et / : il suffit pour la vérité du résultat que / dépasse k en grandeur absolue, et que la différence augmente indéfiniment.

Soient maintenant les égalités

dans lesquelles /r.et / représentent deux indices entiers ou

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i36 cHAPmB DBuxikm.

égaux à la moilié d*un nombre impair, positifs ou négatifs. La

multiplication membre à membre donne

a'*^^ MkU,-h 3 N*N/+ v^ (M*N/+ M/N*); on a aussi

donc il en résulte

Mifrw4-N*^/s/3 = M*M/-h3N*N/+ ^(M*N/4.M/N*).

Quand les indices A- et / sont entiers, il en est de même dé tous les nombres M et N qui entrent dans cette égalité; si Tun

des deux, k par exemple, égale un nombre entier + -» la

même circonstance existera encore pour M*-|./, Njt+/, M*, N#, en faisant abstraction du facteur î qui entre dans tous les termes de Tégalité; epfin, si k et /sont tous deux des moitiés de nombres impairs, /r -f- / devenant entier, Mt+i et N*+/ le seront aussi, 0t les produits deux à deux du second membre

seront ceux de deux facteurs entiers multipliés par i' ou •

Dans tous les cas, on voit que l'égalité précédente devra nécessairement se décomposer en deux, afin d'égaler séparénient les parties rationnelles et les irrationnelles : donc

On pourrait remplacer / par-— /, et, eu égard aux formules (8), on écrirait

L'hypothèse particulière k = l conduit aux relatioits

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POUTRE SYMÉTRIQUES, ETC. l'ij

La combiBaisbn de la première et de la troisième donnerait

Mi[=I(M^+i),

Enfin, les formules (lo) et(ii) fournissent encore les suivantes par des additions ou soustractions deux à deux :

Mk+i-h Uk-i= 2M*M/,

Sans nous arrêter davantage à ces transformations, qu'on pourrait multiplier à Tinfini, nous terminerons cet article par le tableau de quelques valeurs de Mi et de 'Sk pour A* égal à un

antier -h -.

2A- = i, 3, 5, 7, 9, II, jMk=i, —5, 19, —71, 265, —989,

-rN*=i, — 3, II, — ^i, i53, — 571,

-r 114=3691, — 13775, 51409, — igi86i,

-N4 = 2i3i, — 7953, 29681, — II 0771,

En comparant ce tableau avec celui des nombres N relatifs aux valeurs entières et positives de l'indice, on aperçoit aisé-

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l38 CHAPITRE DBUXtÊlCB.

ment les relations

on les retrouverait par les deux dernières formules (i4), en y faisant /r = wH — j /== -» M- =N, = /= i/

33. autres formes données aux séries u et p ; série h, — Les d^ux séries M et N étant calculées une fois pour toutes (puisqu'elles ne dépendent en rien de la poutre), on peut s'en servir avantageusement, dans certains cas, pour exprimer les nombres u ou (3. Prenons en effet la formule (3); nous l'écrirons ainsi :

Un.= — ^=. [2{a^--« — a-'--')-i-ôV3{a""--ha"'"-)],

ce qui, d'après les formules (7), revient à (i5) ?/.= i(2N^.-4-M„.(5).

Cette expression est, comme on la voit, entièrement débarrassée d'irrationnelles.

Pareillement, l'expression (4) du nombre m„ s'écrira

«„ = ^=[(4-*-3ô')(a"-^— ;c"«-^)-+-4dv/3{a"'-^-ha"«-»)],

pu bien, en vertu des formules (7),

(16) !/„= — i[{4-4-3ô^)N„,-h4ôM^,].

La quantité entre crochets se décompose en doux facteuir» rationnels «t du premier degré relativement à ^, car Téquation

admet les racines

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POUTBES STUÉTEIQVES, ETC. 1 ^9

c-est-à-dire, à cause de la troisième formule (12),

par suite on a

Or, si nous posons

nous aurons^ par la seconde formule (12] et les deux formules (i3),

M,2-f-i = 2Mj/

M,,-i==6N|; donc aussi

. « + î'-)N..+ ««„-«»,N,(»+5i^j,)('+el|;)

= a(3N/ + aM,)(M/+aN,).

jBasvbsUtuMit ces résnitsts dans «,, on trouve

«.= -|(3N/+2MJ{M,<r+2N,)

On serait parvenu plus simplement encore à la dernière formule, en considérant la quantité entre crochets, dans l'expression (4) de u^, comme la différence des carrés de (2-h^V^) a'^ et de (2 — J y^) a"»; on aurait posé, en conséquence,

soit, en vertu deé relations (5) et (6), ou, si Ton veut, des relations (7),

La série (3 se dédait immédiateinent de la série u; on sait

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l4o CHAPITRE DEUXIÈME.

(ii*»9) qu'il faut toujours prendre p. = o et (î« = • On

aura donc

^""^ 2N«.-hM.â

Mais ces formules ne doivent s'appliquer ni pour m = o, ni pour mz=zn — i; il faut, avons-nous déjà dit, prendre p« = o; quant à |3».i, il faut avoir égard à la forme particulière de u» et poser Tune des formules ci-dessous :

dû) {(K — aN^.-hM,,--,8

^ A P'^'"~2(3N^3-+-2MJ(My3-|-2Ny)'

Nous savons déjà d'une manière générale (n® 9) que les

nombres p„ varient entre o et - dans tous les cas, et, s'il y a

deux limites /, /' assignées au rapport dés longueurs de deux travées adjacentes, les nombres ^m sont alors compris entre

et — ; =====• Dans le cas actuel, on a ;

pourd<i ^^V ^' — ^'

pour3>i / = 3, ^' = t5

donc, si 3 n'atteint pas l'unité, p variera entre —. r- et

et si 3 est au contraire supérieur à 1 , ces li-

mites deviendront —, ^r et . En sup-

POUTRES STMÉTAIQVES, ETC. l4l

posant que 9 ait pour valeurs extrêmes 0,7 et 1,3, les deux limites inférieures de p sont respectivement 0,2059 et 0,2174; quant aux limites supérieures, elles sont de même o,3i45 et o,3o25.

Au reste, on arrive plus directement peut-être, par l'emptoi de la première formule (18), à se faire une idée exacte de la grandeur des rapports p. Cette formule peut en effet s'écrire

a + ôv/3

2 + dv/3

ou, en se rappelant que 7 = — «"=0,267949.. ., et po-

sant, pour abréger» z :

zot

Les puissances de a" décroissent rapidement^ car on a, par exemple,

«"< = 97 — 56 v/3 = o,oo5i5,

«''• = 1881 7 — 1 0864 v^ = o,oooo3 ;

comme d'ailleurs z est nécessairement plus petit que i, on voit que p« doit peu s'écarter de 0,2679* • • 9 pourvu que m soit un nombre notable; pour m = 2, la différence relative n'est que de quelques centièmes tout au plus.

On voit encore que la condition

--sa'

r'^am— 1

1 — za.

,ffim

revient à

Z(x''^-^'>zaf'^. ou 2(3£"»»-^(i— (z"^)>o,

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l43 GHàPITRE DBUXIÈXE*

oo bien> attendu gue al'^^^ et i — «"* sont poiÂtîfe,

Ainsi donc, suivant que Ton aura z positif, nul ou négatif, c'est-à-dlfe 4 inférieur, égal ou supérieur au nomlire

-= = 1,1547.. -, les valeurs de p seront elles-mêmes toutes

inférieures, égales ou supérieures au nombre 0,2679. . ., leur limite commune pour m = oo .

Ceci, bien entendu, ne s'applique pas à ^e, nombre toujours nul, ni à p„,. Pour ce dernier, on a, par la première formule (19),

\2-4-dv/3/

si le nombre des travées atteint seulement trois ou quatre,

(3fl-i différera à peine de =1 car ce nombre doit se mul-