ÔV

tiplier par le quotient de deux facteurs très-rapprochés de Tunité. De plus, comme z est < i, le facteur i — z^ct!'^*^ remportera sur I — 2 a''**-* si z est positif; donc (3»^, restera, dans

ce cas, inférieur à =• Il ne lui deviendra rigoureuse-

2H-ôv^3 ^

ment égal que pour 2=0 ou ô= — > et alors on aura p»,= -p

pendant que les autres nombres j3 seront tous égaux à

0,2679*. .. Si z était négatif» (^»-, surpasserait un peu p.

a-+-ôv3

Il nous reste encore à indiquer une dermère expression assez importante de la série u. Appelons, en général, hm la quantité

ces nombres formeront une nouvelle série que nous allons préalablement étudier, dans laquelle chaque terme est défini seu-

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POUTftSS SYMÉTRIQUE», ETC. l43 .

lement pair son indi€e> de sorte qu'elle est à calcslei* utié fois pour toutes. Elle se déduit très-simplement des nombres M et N; car on trouve, en multipliant par «'i" les deux termes de la fraction ;;-?

ou, suivant les, formules (7),

Il n'y a donc qu'à consulter les tableaux déjà donnés de M et N, relatifs aux valeurs entières ou fractionnaires de l'indice, pour en extraire le suivant :

21il --^0

4 II i5 4' ^^ *53' i3, 14, i5.

Il est très-remarquable que les fractions A« soient précisément les réduites de la fraction continue périodique

ce dont -on peut s'assurer par une vérification directe, pour autant de réduites qu'on le voudra.

Ain de démontrer cette loi, supposons qu'on ait ëffectaé la vérification en bornant la fraction continue à l'une des fractions intégrantes -> et que,

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l44 CHAPITRE DEUXIÈME.

A* désignant un nombre entier, on ait trouvé pour les deux dernières ré-

duites ^} ^^^ — ^) ou, ce qui revient au même, d*après les formules (9],

Supposons en outre qu'on se soit arrêté à une valeur paire de /-, afin que les deux nombres M^ et Nj^, tous deux positifs, soient bien le numérateur et le dénominateur de Tavant-dernière réduite, sans changement de signe, ce qui est nécessaire pour la formation des réduites suivantes. Comme les fractions intégrantes, après la dernière qu'on a considérée,

sont alternativement - et -9 l'application de la règle connue donne pour

les quatre premières de ces réduites

(M,H-N,).i-hN, - M.-t.2N/ (aMt4- BNJ.a + Mt-h BN^ SM^ + qM,,

(5M, + 9MJ.i-f-aM,-h3Nt 7M, + i2N, (3M^4-5NJ.i-+-M*4-aN, "" 4Mfc-h7N»^ (7M^-HaNJ.2 + 5M,+ 9N^ ^ i9M,-f-33N, (4M» 4- 7N,) * a + 3M, -h 5N, n M,-h i9N/

Or on a, par les formules (10) appliquées en faisant successivement /= i , /=., /=a, /=-,

M,,,= -2M,- 3K„ N.,.= -M.-aN„

M»,i=-i(5M»+9N,), N,,i=-/(3M,4-5NJ,

M,^| = i(i9M.+ 33N»), N,^A = /{iiM,+ î9N,);

donc les quatre réduites ci-dessUs formées ont pour valeurs respectives

Mé±î, îîîll, ?!!±2, ÎM.

Cela montre que si Tideutité des réduites avec la série ^ a été reconnue vraie pour les 2^ premières réduites, elle doit se trouver également vraie pour les 2(^-4-2) premières; et, comme A^ 4- 2 est pair aussi bien que A, il en résulte qu'elle est vraie aussi jusqu'à l'indice 2 (A- +4), puis jusqu'à l'indice 2 (A + 6), etc., c'est-à-dire qu'elle existe indéfiniment.

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POUTftES STMÉTftIQtrBS, £!9fC. t4§

La fraction continue H prolongée jusqu'à rinftai» et conséquemment ses réduites hm^ tendent, à mesure que m augmente, vers une limite aisée à trouver, soit par l'équation (21), soit par réquation (28). La première donne immédiatement, «"i" étalât nul pour m s=: œ ^

lim. A«=V'5; de la seconde on tire

H-hi

soit, en réduisant,

La firaction continue périodique dont les réduites fournissent les valeurs successives de hm n'est donc autre chose que le développement de >J%y radical qui joue un rôle important dans toute cette théorie des poutres syoïétriques à travées intermédiaires égales.

Cela posé, revenons aux nombres u. Nous tirons des équations (20)

^oit, en multipliant dans le second membre les deux termes de la fraction par Am-H- v^,

les mêmes équations (20) nous donneront pareillement

Si dans ces valeurs de a'*" et a!''^ nous changeons w en m — i, et que nous portions a'"—' et a'"""' dans la formule (3), il viendra

x[(2-hÔv^)(A^. + V3)'-(2-âv^)(A«.-v^)'],

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X46 CHAPITRB 0CUXIÈMB.

ou bien, toute simplification fiiiie,

Une transformation analogue opérée sur la formule (4) conduit au résultat

(25) W,= — ^/y^2^3x (2 A»-« -f- 33) (2 -^ Shr^,).

Nous prions le lecteur de nous pardonner ces longs détails de calcul, assez arides en eux-mêmes, et dont il n*est pas encore en mesure de bien apprécier Tutilité. Celte préparation était cependant indispensable pour arriver à une solution suffisamment simple du problème principal que nous avons en vue; sans cela le chemin que nous devons parcourir aurait été embarrassé d'une foule d'obstacles, et il fallait bien le déblayer un peu avant de nous y engager.

34. Tableaux numériques relatifs aux séries u et (3. — Nous donnerons plus loin, à la suite du chapitre deuxième, divers tableaux numériques, où l'on trouvera immédiatement et sans, calcul les valeurs de certaines quantités dont nous aurons parlé dans ce chapitre. Toutes les fois que le rapport S devra y figurer comme argument, nous lui attribuerons les huit valeurs :

si l'on cherchait un résultat relatif à une valeur intermédiaire, on pourrait l'jobtenir approximativement par une interpolation. Les tableaux I, II, III, IV sont destinés à faire connaître respectivement «m, Un, (3m, Pi»~i, en fonction dé l'indice et du rapport d. Le premier a été calculé par l'emploi de la formule (iS), en y donnant à d les huit valeurs ci-dessus; il n*est

{* ) U est rare dans les applications que les travées intermédiaires aient une ottTerture inférieure à celle des travées de rive; les trois premières valeurs de ^ seront donc peu utiles aux constructeurs. Toutefois nous n'avons pas cru devoir les exclure, parce que la disposition dont nous parlons, quoique exceptionnelle, pourrait se justifier quelquefois par des sujétions particulières, et Aussi parce qu'il est utile d'avoir les éléments nécessaires pour apprécier l'infliienoe âe ê «ur la résistance de la poutre.

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POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. t^'}

applicables» bien entendu, que pour un indice m inférieur à /i, puisqu'on sait que le dernier nombre u, désigné par u^, est exprimé par une formule spéciale* Oo peut prendre, par exemple, la relation

qui semble la plus commode pour le calcul numérique de u^, et à Taide du tableau I qui fournit Un-.i et i/a-s» on en tirera facilement le tableau II des valeurs de ii„.

Il y a deux remarques à faire au sujet du tableau IL D'abord, si dans une cçlonne verticale on ajoute algébriquement ensemble le quadruple d'un nombre avec le nombre . précédent et le nombre suivant, la somme obtenue sera nulle; en effet, quand on donne à n trois valeurs consécutives dont la différence est I, les quantités Un^t et Un^t satisfont à cette condition (n° 31); il en est donc de même de w„, qui se trouve liée avec elles par la relation linéaire ci-dessus rappelée. Secondement, quand on considère une même colonne horizontale du tableau, n restant le même et ^ variant seul, Kj, passe par un minimum de valeur absolue, pour.une certaine valeur de à voisine de i ,2. Pour le montrer, jOn prendra la formule (16) qui donne

-Un = ^^-^^Y^ N,, -h 4M„.-, ;

le minimum de m, en valeur absolue répond donc à

comme on le trouve en égalant à zéro la dérivée de ^—5 ?

seule quantité variable avec à dans l'expression précédente.

Les nombres formant la série |3m sont inscrits dans le tableaalll, à Texception toutefois de p«-.„ dont la loi de formation n'est pas la même. La valeur de ce dernier nombre est fournie par le tableau IV.

En parcourant ces tableaux, on voit que : ï" à partir de m = 7, et quel que soit à entre 0,7 et i,3, on peut toujours prendre p« = 0,2679492, à moins d'une demi-unité décirpale du septième ordre près, ce qui, permet d'étendre le tableau III

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t48 CHÀPITHË DfitJXlkME.

à tomes les valeurs de rindice m au^essus de rni^S; a^à partir de n = 8, et da^s les mêmes limites de i, les nombres ^1 ( bornés aux sept premiers chiffres décimaux) ne i^rient plus avec n, ce qui permet aussi de prolonger indéfiniment le tableau IV. On a vu plus haut (n** 33) que p», converge vers la

limite — a'' ou 0,26794919. . . , et que (3a^i tend vers p-,

!a i^apidité de cette convergence est maintenant rendue sensible.

L'usage des tableaux 1, 11, lïl et IV n'offre aucune difficulté. La seule précaution à observer consiste en ceci : quand le nombre n des travées est fixé numériquement, il ne faut prendre dans le tableau I que w„ m,, m,,. . ., jusqu'à m„-i inclusivement, et recourir, pour m„, ^u tableau II; de même, on ne cherchera dans le tableau III que po, '|3i, ^1,..., jusqu'à P«2 inclusivement, le dernier nombre (3{c'esft-à-dire ^j^i) devant être emprunté au tableau IV. L'oubli de cette règle bien simple exposerait à de graines erreurs.

Exemple : n =: 5, 5 = i,iî5; on a

M, = i, w,== — 3,6, M3 = i3,4, »4 = -— 60, iîfft = io8>a6;

Les deux derniers nombres de chaque série, u^ et (3*, ont été pris respectivement dans les tableaux II et IV. Les tableaux I et III auraient donné !<»= 186,6, ^4 = 0,2679528; mais ces indications ne seraient bonnes que s'il y avait au moins six travées, et ne conviennent pas au cas actuel.

Ces préliminaires établis, nous allons nous oocuf^er d^ courbes enveloppes de moments , en commençant par étudieï* l'effet spécial de la charge permanente»

§ II. — Effet spécial de la charge permanente.

36. Moments de flexion Put les points rf'a/îp«i. -— Quand la poutre supporte seulement une charge permanente, uniformément répartie sur sa longueur entière, à raison de p kilo*

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POVtmEd SYHÂT&IQCJEI, ETC. l49

gratnnie^ par mètre courant, ei que de plus les appuis soni disposés de manière à établir la complète fixité des points qui leur correspondent sur la fibre moyenne primitive, les moments de flexion

Al# Ajl As, • . . J Xl|.^y A»— I

sur les n — -i points d'appui intermédiaires doivent satisfaire au système d'équations

X,+4X3H-X4 = ^/^6'ÔS ^'^ ^ Xs-f-4X4H-X5 = ~/i6»d%

^X^,ô + aX^t(i4-d)=i/?i»{i-hn

qu'on obtient en appliquant la formule (lo) du n*» 6 à tous les groupes de deux travées consécutives, et tenant compte des longueurs de travées indiquées au n° 30. On peut employer pour les résoudre le moyen dont nous avons déjà fait usage •(n^ 31) à l'occasion des nombres u : nommons en effet m un indice quelconque entre i et n — i, et posons

alors toutes les équations du groupe (i) ci-dessus, sauf la première et la dernière, prendront la forme

Zm -h 4Z»i+l + Zm+, = O,

à laquelle on satisfait par l'expression ( 2) du n® 31,

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l5o CHAPITRE DEmCIÈME.

Donc oh aura aussi

(2) .X«==— /?6»d'-^Aa"«-hBa'^'";

et sans allribuer à A et B aucune valeur particulière, cette va-% leur de X« vérifiera les n — 3 équations intermédiaires du groupe (i). Maintenant nous pouvons profiter de Tindétermination de A et B pour que cette même formule (2) vérifie les deux équations extrêmes, et de cette manière on voit que,* quel que soit n, la question est ramenée à ne comporter que deux inconnues.

D'après ce qu'on vient de. dire, on doit tirer A et B des équations

2/i6Mi-f-ô*) = 2(i-|-a)(-j^p&M^-f-Aa'H-B<\

ou, en ordonnant,

— /?6»(3— ad») === Aa' (a + 25-f- ôa') + Ba^(2 -h aa-f-da^'),

ou encore, eu égard aux valeurs numériques de a' et a*' [n? 31) et à la relation a'a^' = ï,

(3) ±j?6^(3 2Ô2) = Aa'(2 — ô/3)-hBa''(2+-ôV3),

{4) — jofc2(3 — 2â') = Aa"»-'(2-hôy^)4-Ba"''-'(2 — ô>/3).

Comme les équations (3) et (4) se représenteront.souvent dans la suite, mais avec d'autres quantités dans les premiers membres, nous allons les résoudre d'une manière générale en re-

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POUnSS âTMÉTIlIQUB», ETC. l5l

présentant par S la somme des premiers membres et par T leur différence, calculée en retranchant la première équation de la seconde. On aura donc, si Ton combine les seconds membres successivement par addition et soustraction,

S = Aa'[2(i-ha'-')-l-ÔV^(a"^-i)] * -h Ba'' [2 ( 1+ «"«-*)-+- d v^ ( I — a^"-')] ,

— Ba" [2 ( I— a"-') 4- d ^ ( I -h a^-»)] . Posons, comme au n*' 33,

et multiplions les seconds membres des deux dernières équations par le facteur a'* a''*, dont la valeur est l'unité : ils pourront alors s'écrire

S == [2 (a'î-f- a"?) -f- d v'â (a'y — a''^)] (Aa'î+' -f- Ba"?"»"),

T = [2{a'f— a"7) + d^/3(a'y+a''^)](Aa'f^' — B«''»+')>

ou bien, en vertu des formules (7) du n" 82,

2(2My -f-3oNy) A o'y-'-' — B a"î+' = — =-

2V3(2N^-+-ÔM,)

ou bien encore, si l'on observe que le rapport ^ exprime h^t

(n*^ 33J, et que, pour abréger, on écrive simplement h au lieu de A^,(*),

Aa'î+' -h Ba''^' = Hv^tIt— m'

Aa'«+' — Ba^^»= =J

2N^V3(2-f-Aa)

('*') Dans la presque totalité des formules et calculs concernant une poutre à n travéeSy nous n'introduirons que le terme h„^ de la série des nombre» A„, définie au n<> 33. Cela justifie pleinement la suppression d'un indice qui se reproduirait toujours le même. II est donc bien entendu que h mis sans indice dans une formule signifiera la même chose que A,^,.

GoDgk

De là résultent immédiatement les formules

- 4 [*M,+ 3âN, ^ ^(-,N,-hiM,)J

4N,L3«-|-2A s/3(2-4-Aa)J'

^jLr__j i i

4N,[3a-Ha/i ^(aH-Ad)j'

qui suffisent pour définir les valeurs de A et de B.

Nous substitueit)ns encore les valeurs (5) daps l'expression A«'"4- Ba'" et nous trouverons

A«'.-HB«^.= • [j^-1^ («'-.- + «"—)

v'5(2N,-|-aM,)

=pr,[?T^(«'-^'-^«'"^')

i3d-f-aA T

v/3(2 4-Ad) Or les formates ( 7 ) et ( 8 ) du n"" 32 donnent

donc enfin

( Agg^^ -v> Ba^" t= i / ^^f-^-*^ TNy^.-„ \

( ""2N^\^3Ô4-2A i-^hày

équations dont nous aurons à faire un usage très-étendu. Bans le problème actuel il faut supposer

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POUXRBS STXteBIQOBdy ETC. l53

on prouve ;iloirs, p«r la formule (6),

et par suite ('expression (2) devient

'' iT.'^ L 2M^ + 3ôN, J

ou bien encore

L'indice 9 + 1 — m pourrait deyenir négatif, si m se rapportait à un appui situé dans ]a seconde moitié de la poutre ; mais on sait {n^ 32) que les nombres M uq changent pas quand leurs indices ciiangent de signe. D'ailleurs on peut toujours n'attribuer à m que des valeurs au plus égales à g -h i ou - ; en raison de la symétrie, dès qu'on connatt les moments X«i sur une moitié de la poutre, on les connati aussi sur l'autre* On a en effet

et cette propriété, évidente à priori, se retrouve dans les formules (7) et (8) ci-dessus.

On arrive à un résultat remarquable en faisant m = i. Dans

ce cas ^^'""'" devient -^ ou h ; donc

ou, en réduisant.

Cette formule serait susceptible, à cause de sa grande simplicité, de se fixer dans la mémoire, comme formule usuelle;

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l54 CHàFITKB DBUXlkHSr

si en même temps on retenait les premières valeurs de A,

savoir (n*» 33) :

pour/i=:3, 4* ^9 6,..*,

on pourrait avoir de suite Xi dans un grand nombre de cas pratiques. Xi étant connu» on calculerait les autres moments Xm de proche en proche par les équations (i). Mais ce procédé ne serait bon à employer que si Ton n'avait pas sous les yeux les éléments nécessaires pour appliquer les formules (7) et (8) qui renferment une solution plus complète du problème.