Remarques diverses sur les formules (t) et (S), — Si

Von suppose n infini et m fini (*), le rapport — ^î=^ tend vers

une limite aisée à trouver. On a en effet, d'après les formules (7") du n*» 32, pour une valeur infinie de A*,

parce que a" étant plus petit que 1, a*'* tend vers zéro lorsque Xr grandit au delà de toute limite. Donc, lorsque nelq tendent vers l'infini, on a

par suite la formule (8) devient, pour cette limite,

oa encore, en donnant à A sa valeur limite A = v^ (n** 33),

12^ l 2+dv^3 J

(*) A propos de chaque résultat que nous démontrerons, nous chercherons toujours ce qu'il deyient pour n = oo : cela indiquera la limite yers laquelle il tend (d'une manière ordinairement assez rapide), quand le nombre des travées augmente.

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POUTBB5 SYMÉTUIQUVS, ETC. ï55

Lori^qu'on admet la valeur particulière

fî=y/- = I,22474...,

le binôme 3 — ad' s'annule, et les formules (7) ou (8) montrent que Xm devient constant quel que soit m. Le moment de flexion sur un point d'appui quelconque prend la valeur

— pl^i\ égale à celle qui se produirait sous la mâme charge

si tous les appuis devenaient des encastrements. Ainsi donc, dans une poutre où les travées intermédiaires ont une longueur égale à celle des travées de rive, multipliée par 1,1:1^']^..., tous les appuis intermédiaires se comportent absolument comme des encastrements, sous l'action de la charge permanente.

On arrive à une conséquence analogue dans le cas où 9 et m deviennent tous deux infinis : en effet, N, est alors infini relativement à My+,m (n® 32), de sorte que X« se réduit encore à

— pb^è^ î c'est ce que montre aussi la dernière formule donnée pour exprimer X,„ dans l'hypothèse de n infini, car en faisant grandir m, a"*-' converge vers zéro. Donc, dans une poutre d'un nombre infini de travées, les appuis qui sont infiniment éloignés d'une extrémité fonctionnent comme des encastrements sous l'action de la charge permanente. On peut même dire que dans une poutre ayant un nombre quelconque de travées, les appuis se rapprochent de plus en plus de fonctionner comme des encastrements, sous la charge permanente, à mesure qu'ils sont plus rapprochés du centre, et que le nombre

des travées est plus grand : car le rapport ^^'""' diminue lors-

que 5 H- 1 — m diminue et lorsque q augmente.

Chaque fois que m varie d'une unité, M^+i^m change de signe, puisque les nombres M sont alternativement positifs et négatifs (n° 32) : par conséquent, quand on fait tendre m vers

5 -f- 1 ou 5 H- - (c'est-à-dire vers la valeur qui convient à l'appui central si n est pair, ou à Tappui précédant la travée een-

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i56 cHAFmB DEmoBin.

traie si n est impair), X^ se rapproche de sa limite — pb^S^ à

la manière des réduites successives d'une fraction continue, en passant alternativement au-dessus et au-dessous.

Les moments X., sont généralement positif$ ; toutefois cette rçgle comporte quelques exceptions.

Pour les découvrir, faisons d'abord successivement /» = i et /» = a.

Si iR est égal à i, la formule (9) loaontre immédiate^ieiit qi^e X, a toujours le signe +, car p, 9 et h désignent des quantités essentiellepaent positives. Pour x» = a on a, par la formule (8),

Or la première formule (ii) du n* 32 donne

M^ = M,M, - 3N,N, a= - aM,4- 3N, ; donc

Le signe de X, sera donc celui de

*^+ ''-»*' 3J+^' ou bien, attendu que 3^+2^ est positif, celui de

Cette dernière expression, toute réduction faite, devient

3[^*-ha{A~i)^'4-3~a;*], ce qui peut encore s'écrire

3(^4-i)P»-.(3-a^)^+3-^!iA]; le signe de X, est donc enfin celw du trinôme, du second degré en J, ^*-(3-.aA)^4"3-2A.

Ce trinôme, nécessairement positif pour S=ztco, ne change de signe que dans l'intarvalle des racines cpii le rendent nul) lesquelles racines ont

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POUTMSS STMéTRfQraS^ ETC. l^J

pour expression

(lo) ^ = i[3-.aÀ=fc:^(a/i-3)(aA4-i)].

Pour « = 3, :^ (est égal à i (n**33), et ces racines, deviennent imaginaires; X, est donc toujours positif dans une poutre à trois travées, ce qui était évident à priori, car^ en vertu de la symétrie, X, ne dififière pas d« X,, et ToÉ a déjjà reconnu que ce dernier moment reste'ioujourâ positif* Pour n supérieur à 3, on trouve une racine réelle et poâtive ^\ et une autre . négative; X, sera donc négatif pour les valeurs de ^ inférieures à la prer mière racine. En voici le tableau calculé à Taide de la formule (lo) où Ton a mis pour h les nombres indiqués plus haut (a** 33) :

^'=o,6i8o, 0,4343, o,5ooO) o,48a4, o,4885, 0,4874, 0,4877,

La valeur limite de 9* pour /i = od se trouve en faisant A = y^. Nous allons maintenant attribuer à m une valeur quelconque, en la

choisissant seulement plus petite que -9 ou au plus égale à GBtte limite.

Cette restriction ne nuit évidemment en rien à la généralité des résultats, puisque les deux moitiés de la poutre se trouvent dans des conditions identiques, et qu'il suffit d'étudier ce qui se passe dans Tune d'elles ; mais en outre elle est ici nécessaire, pour ne pas tomber dans la confusion, parce que nous allons avoir à distinguer les cas de m pair et de m impair, et que, dans les poutres ayant un nombre impair de travées, on changerait la parité de m suivant que l'on compterait les rangs à partir de l'une

ou de l'autre extrémité. Avec la convention mS-, il est bien entendu

que Ton compte à partir de l'extrémité la plus voisine, ce qui supprime - la possibilité de toute équivoque.

Gela posé, la condition X„<o équivaut, d'après la formule (8), à

^+-^n7--3ït^<°'

soit, en multipliant par le facteur positif -(3^-f-a/i) = «î-|- -r~ > à

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[58 CBAV1TRB DBUXifelCB.

L'indice m pouvant varier de i à - ou çr + 1 , on voit d'abord que, dans

la différence M,— M,^,.^, le premier terme a un indice au moins égal à celui du second ; donc il ne peut pas être inférieur en valeur absolue, et

donne son signe à la différence. Donc le coefficient de ^' a le signe de ^,

c'est-à-dire le signe +• Ainsi les deux premiers termes, en ^* et ^', de rinégalité précédente sont toujours positifs. Quant au troisième, il le sera également pour m impair, car les nombres q et 9 -f* i ~ m, tous deux positifs, étant en outre simultanément pairs ou impairs, M,^,^ et N, auront nécessairement même signe. Donc l'imparité de m exclut la possibilité de rendre X„ négatif.

Si au contraire m est pair, le dernier terme de l'inégalité de condition change de signe, et dès lors il devient possible d'y satisfaire en prenant i suffisamment petit. C'est ce qu'on vient de voir plus haut pour le cas de m = a. En faisant dans l'inégalité successivement m = 4, 6, 8,. . . , et attribuant au nombre n des travées une série de valeurs à partir de n = ^m jusqu'à l'infini, on pourrait de même former le tableau des limites $' dans ces divers cas. On aurait à résoudre, par tâtonnement, une suite d'équations du 3* degré. Mais le calcul suivant, sans donner exactement ces limites, suffit pour montrer leur décroissance rapide à mesure que m augmente.

Remarquons en effet que 9' sera nécessairement au-dessous de la valeur $" capable d'annuler l'ensemble du second et du troisième terme de l'inégalité, laquelle valeur satisfait à la condition

d'où résulte

Par la première formule (10) du n** 32, on a d'ailleurs

et par suite

Donc le rapport ^ " dépasse en valeur absolue M„.„ car N^, a même

signe que M„.„ et K^^^ est toujours positif. Comme, en outre, M„., et

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f OUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. . iSq

^— sont négatifs pour m pair, pu en conclut facilement

*rn-*

Pour m = 4, 6, 8, lo,. . ., la limite supérieure ainsi trouvée devient respectivement 0,2357, 0,0643, 0,017a, 0,0046,. . .. Cela veut dire que X^, par exemple, ne saurait devenir négatif tant que $ ne sera pas inférieur à 0,2357, du moins quand il s'agit d'une poutre à huit travées ou plus, ce qui est nécessaire pour que X^ ne se confonde pas avec un X„ à indice moindre.

Ajoutons enfin que les limites à' au-dessous desquelles il faut prendre à, pour réaliser le fait d'un moment Xm négatif, ne se Tcnconlrenl guère dans la pratique. Nous ne connaissons aucun pont, parmi tous ceux qu'on a construits, dans lequel les travées de rive aient une ouverture supérieure à celles des autres travées : on a donc presque toujours d> 1, et par conséquent le fait en question sera pratiquement trèsrare ; il n'arrivera jamais, notamment, pour les valeurs de i comprises entre 0,7 et i,3, les seules que nous ayons considérées dans nos applications numériques.

37. Moment de flexion produit par la charge permanente, en un point quelconque d'une travée, — Lorsqu'on aura préalablement calculé les moments de flexion sur les points d'appui, en employant les formules du n"* 35, il sera facile d'en déduire le moment de flexion X en un point quelconque d'une travée arbitrairement choisie A„,A«.

Si, par exemple, il s'agît d'une travée intermédiaire, dont la longueur est c = 6d (n*» 30), nous aurons à la distance x de l'appui Am-i, suivant une formule du n^ 1, déjà fréquemment employée dans le chapitre premier,

(11) X = Xi„-.,-H(Xiii — \n^x)- — --px (c — x),

expression où tout est connu, et qui permet de calculer numériquement le moment X, ainsi que de discuter les états de grandeur par lesquels il passe.

i6o cHAnrEB mvxûsia.

Ces grandeurs successives étant représentées par les ordonnées d'une parabole du second degré, donjl les abscisses se^ raient les valeurs de Xy 11 est utile de se demander : i"* les valeurs particulières Xt^ Xj de l'abscisse qui annulent X, c'est-à-dire la position qu'occupent les intersections de la parabole avec l'axe des x ; 2** l'abscisse et l'ordpnnée du sommet. La première question a même une importance assez grande quand on veut déterminer, pour chaque secti<Hi, le plus grand moment absolu sous l'action simultanée de la charge permanente et de la surchai^e, car il faut alors savoir quel est le signe de X, et les changements de signe de ce moment répondent précisément à a: = a:„ x=:a:,.

Pour avoir x, et x^ il faut prendre les racines de réquation Xi=o, savoir :

I € pC*

d'où les racines

eQ dédoublant le signe du radical on obtiendrait Xa et x^. Nous en aurons une autre expression en remplaçant X» et X»^i par leurs valeurs déduites de la formule (8} : cette for^ mule donne, eu égard à la relation bi=zc,

or les 4eux premières relations (i4) du n** 32, en y faisant /= -1 A- = o — m + -9 M, = N, = i/ = 1, don-

nent aussi

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t»OUT&Bft SYMiTaïQVESf £TG. l6l

d'où résulte