X.-f-X.. i (3 — 2a^)iM^^i pc^ 6"^ 6â'N^(3d

Substituant ces valeurs dans la formule (12) et posant> pour abréger récriture,

il viendra

, c ""'"^Nd^(3d-f-2A) {i3)

/i 2/M^(3 — 2 3') r gN^(3 — 2^^) "]»

V 3 3Nd'(3d+2A)'^LNâ^(3d-f-2A)J*

La présence du symbole imaginaire i n'empêche pas la formule (i3) de ne contenir, so^t sous le radical, soit en dehors, que des quantités réelles : en effet, sur les deux indices q et

q — m-h-iilyena nécessairement un entier et l'autre égal

à un entier augmenté de - ? d'où il résulte que si N ne contient pas le facteur i, ce facteur entrera dans M' et N', et inversèment; .donc les rapports ^j^> -.j^ sont toujours réels, ce

qui justifie notre assertion. Toutefois il peut arriver que le radical recouvre une quantité négative, et partant que Xx et x^ soient imaginaires.

Cherchons les conditions pour qu'il en soit ainsi. Si nous posons

(*) Nous excluons ici, pour y revenir plus loin, le cas particulier où y-j--

serait égal à /«, ce qui rendrait z nul ainsi que N'. Cela se réalise pour la travée centrale d'une poutre ayant un nombre impair de travées*

m. II

l62 CHAPITRE DEUXIEME.

l'expression sous le radical pourra s'écrire

on voit qu'elle s'annule quand on fait

ou bien, en multipliant et divisant ces valeurs par M' qz v/M'*— SN''*,

ou encore, en vertu de la troisième relation (iî) du n° 32,

(i5) ^ = iir^--

donc l'expression (i4) représente le produit

(--Mti)('~Mqr,)^

et il s'agit de reconnaître si elle peut avoir le signe — . Gomme elle est positive pour z = ifc oo , elle ne changera de signe, pour devenir négative, que si z passe entre les deux valeurs (iS); comme, de plus, z désigne une quantité nécessairement réelle, la première condition cherchée consistera en ce que les valeurs (i5) soient elles-mêmes réelles; ce

qui exige que M' et N' le soient aussi, c'est-à-dire que l'indice 7 — m H —

soit un nombre entier. Pour cela il faut que le nombre des travées soit

impair, puisque m est un nombre entier et que q représente i . Ainsi

donc a:^ et x^ ne seront susceptibles de devenir imaginaires que dans les poutres d'un nombre impair de travées.

Si cette condition est remplie, les valeurs (i5) reçoivent encore utile-

ment une nouvelle forme. Nommant /• la moitié de l'indice 7 — /n -f -

de M' et N', nous aurons par la seconde formule (12) et les formules (i3)

du n'' 32

N'=2M,N„ M'-i = 6NJ, M'H-i = 2MJ,

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et par suite