TT

on trouve pour cette racine les nombres

et pour les valeurs correspondantes de la fonction j

o,ï6io, ô,i322, 0,1404, o,i383, o,i388,..., o,i388.

dr Au delà des valeurs précédentes de S la dérivée ^ deviendrait négative •

et / diminuerait : c'est donc le maximum de cette fonction que nous venons de donner, et on voit que dans aucun cas il ne dépasse une limite égale à 0,161.

iN' Secondement nous chercherons une limitp ^piériQure ()u facteur ^

ou — 1^^ — - • On a par la seconde formule (iï) du n" 92

d'où il résulte, dans l'hypothèse particulière m — i,

i|^=.-(Mi-AN.)=/'(,-A) = i(/,-,);

h étant toujours au-dessous de 2, -:|^ est donc, dans l'hypothèse en question, tout au plus égal à -• Or, comme la première travée est exclue de

la discussion actuelle, m ne descendra pas au-dessous de 2, et quand on lui donnera une valeur plus forte , on diminuera par cela même l'indice

q — m-\-- ainsi que la valeur absolue du nombre N' correspondant :

donc enfin — ne saurait dépasser la limite -? en valeur absolue.

Ces préliminaires posés, la conclusion devient facile. Rappelons-nous

que pour rendre imaginaires les intersections de la parabole repré^enta-

tive avec l'axe des a:, il faut placer 2 entre ^,-, et ^77— — ? ce qui

exige que ^ soit pris de manière à rendre z positif et supérieur à ^« Or,

POTJTRBS SYMÉTRIi^tÉS, ETC. l65

.'c'est à quoi l'on ne pourra réussir quand m sera impair. En effet,

3 I iN'

^ — /w-h-et q étant de parité différente, le rapport -^ devient

négatif; pour faire £ positif il faut alors prendre S > i /-? mais alors se trouve être le produit de deux facteurs dont les valeurs absolues ont pour limites o,ï6i et -? et par suite il ne peut atteindre ^« La condition nécessaire ne saurait donc être remplie.

En résumé, sauf les cas particuliers provisoirement laissés de côté, nous, pouvons énoncer cette proposition :

Pour qu'il existe des valeurs de ô susceptibles de rendre imaginaires les intersections avec Vaxe des x, de la parabole représentant t dans une travée quelconque, les moments de flexion produits par la charge permanente y il faut et il suffit que le rang de la travée soit pair et le norribre total des travées impair»

Mais ce n'est pas assez d'avoir décidé si les racines Xt et x^ ' sont réelles ou imaginaires : la fonction X que nous venons d'étudier n'étant applicable que dans l'étendue de la travée Am-iAm, depuis j: =o jusqu'à x=c, il y a lieu de rechercher la condition pour que les valeurs Xi, x^ se trouvent dans le même intervalle.

Ces valeurs sont données par l'équation (i3), qu'on peut écrire

si elles sont toutes deux comprises entre o et c, il en sera de même de

leur demi-somme - c (i -h 2;), et par suite z devra tomber entre les limites

— I et + I. Cette condition étant remplie, le sommet de la parabole qui représente" X sera dans l'intervalle des appuis A^^, , A„; et attendu que cette parabole, d'après son équation, tourne sa concavité vers les ordonnées positives, on voit que ses intersections, supposées réelles, avec l'axe des X se feront dans la travée même ou en dehors, suivant que X,,,., et X„ seront positifs ou négatifs. •

On a vu plus haut ( n° 36 ) que le premier cas est de beaucoup le plus ordinaire, pour ne pas dire le seul cas pratique : à cette occasion, nous avons précisé les conditions nécessaires pour le réaliser effectivement. Il

Googk

l66 CHAPltRB DEUXIÈME.

suffit ici d'y joindre les deux inégalités

pour être en droit d'affirmer que les racines or, et x^ seront positives et plus petites que c, toutes les fois qu'elles ne deviendront pas imaginaires. En examinant les choses de plus près, on peut reconnaître que sur les deux inégalités ci-dessus il y en a toujours une satisfait^d d'elle-même, en raison de ce fait que ^, par sa nature propre, reste essentiellement posi-

tif. En effet, si m est pair, t|^ est positif et z ne peut devenir négatif

qu^en prenant.^ > i /-; mais- alors on sait que la valeur absolue de z a

pour limite supérieure - • o,i6i : donc on est certain d'avance de trouver

z > — I , quel que soit 9. Si au contraire m est impair, — change de signe, et le même raisonnement prouve qu'on a nécessairement z < i.

Ainsi donc, en résumé, les moments sur les points d'appui étant supposés positifs et les abscisses Xt, x-^ réelles, les points que celles-ci représentent seront dans la travée ou en dehors, suivant que ^ vérifiera ou ne vérifiera pas les inégalités

z<i\^ si la travée est de rang pair (en comptant depuis

l'extrémité la plus voisine ), z > — I, dans le cas contraire.

La parabole représentative de X a pour équation Téquation ( i ï) ci-dessus, qui peut se mettre sous 1^ forme

D et D' désignant deux constantes. Son sommet s'obtiendrait en posant -T- = G, ce qui donne ^ = D'; l'ordonnée correspondante serait/? f D D'M? soit C/?fi% si l'on nomme C

un coefficient déterminé par la relation

/Googk

Or Xs, el x^ étant les deux racines de Téquation X = o, on a

de là il résulte : premièrement, que le sommet répond à l'abscisse - (j^i 4-^0» c^ Qu* ^st rendu évident d'ailleurs par la

situation de la parabole; secondement, que le coefficient C peut s'exprimer par la formule

2 \ ac /

L'ordonnée Cp6' est donc toujours négative quand ^j et ;r,

sont réelles. On remarque aussi que la différence — ^ '-

n'est autre chose que le radical de la formule (12), ou celui de la formule (i3) divisé par 2.

38. Cas particuliers d'une travée extrême et d'une travée centrale. — Le cas particulier d'une travée extrême rentre dans les formules (u) el (12) en y remplaçant c par b et supposant nul un des moments X™, X^i-i, ce dernier par exemple, si c'est la première travée qu'on étudie. Mais on ne doit pas appliquer la formule (i3) et ses conséquences, parce que la formule (8) employée pour exprimer les moments X« ne comporte pas les hypothèses m = o, m = w.

Supposons donc, pour fixer les idées, que nous considérions la première travée, ce qui suffit, en raison de la symétrie : nous aurons, Xô étant nul,

(17) X = X,-g. — -pa:(6 — :r),

expression dans laquelle x représente la distance d'une section quelconque à l'origine ou culée Ao. On voit que X s annule pour deux valeurs de x toujours réelles, savoir ^, = 0, ce

l68 CHÀ^ITSE DBUXIÈKE.

qui était connu d'avance, et

Cette équation peut, en vertu de la formule (7), s'écrire ainsi :

on voit alors que ^s devient négatif en prenant d suffisamment grand. La limite inférieure de 9, au delà de laquelle il en sera ainsi, satisfait à l'équation

ô^65 — 3yi = o;

on en tire par tâtonnement (*) les valeurs ci-après :

n = Sy 9, 10,..., 00.

Les valeurs de d égales ou supérieures à celles-là étant à peu près inusitées (**), on peut dire qu'en généval l'abscisse a:,

(*) Dans les cas particulière de /i = 5 et /z = oc , l'équation derient

soit, comme on le reconnaît aisément,

On en tire alors, par la réflohition d'équations du second degréy

<y = i ( I ^ yÇT) = 2,7913, «y = 1 (v/3 -h v/T5 ) = 2,8035.

4o"* (**) Au pont de Montiuçon, sur l'Allier, on a pris ^ = -^ — r = 2,19 ... ;

c'est le maximum réalisé, à notre connaissance, dans les ponts existants. Au reste, ce n'est pas un exemple à imiter : il arrive en effet que sous certaines surcharges les extrémités de la poutre tendent à se soulever et à quitter leurs appuis, ce qui constitue un assez grave inconvénient. — f^oir l'ouvrage de M. Piarron do Mondésir (Calcul des Ponts métalliques, etCy p. 3j et suiv.).

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POUTRfiS SYMÉTRIQUES, ETC. l6g

sera positive et plus petite que 6, ou, en d'autres termes, que la parabole représentative du moment de flexion produit par la charge permanente dans une trafvée extrême coupe ordinairement Taxe des abscisses dans TintervaUe de la travée, non compris, bien entendu, son intersection située sur la culée même.

Le sommet de la parabole répond à x= - ;r, et son ordonnée a pour valeur absolue - p f — j ^ si on l'exprime encore par Cpb^y on aura ici^ pour l'expression du coefficient C,

S'il s'agit de la travée centrale d'une poutre ayant un nombre impair de travées, on a, par raison de symétrie, Xn, = Xm,, d'où résulte